فيديو السؤال: إيجاد العزم عندما يكون النظام مكافئًا لازدواج الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟﺩ مربع طول ضلعه ٥٠ سنتيمترًا. تؤثر قوى مقاديرها ٣٠، ٦٠، ١٦٠، ١٠ نيوتن في اتجاهات ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﺩ وﺩﺃ، على الترتيب، في حين تؤثر قوتان مقداراهما ٤٠ جذر اثنين و ٩٠ جذر اثنين نيوتن في اتجاهي ﺃﺟ وﺩﺏ، على الترتيب. إذا كان النظام يكافئ ازدواجًا، فأوجد عزمه مع الأخذ في الاعتبار أن الاتجاه الموجب هو ﺩﺟﺏﺃ.

حسنًا، هذا هو المربع الذي نتحدث عنه. وعلمنا من المعطيات أن طول كل ضلع يساوي ٥٠ سنتيمترًا. وهناك أيضًا أربع قوى تؤثر كل منها في ضلع من أضلاع المربع. في الاتجاه ﺃﺏ، تؤثر قوة مقدارها ٣٠ نيوتن، وفي الاتجاه ﺏﺟ، تؤثر قوة مقدارها ٦٠ نيوتن، وفي الاتجاه من ﺟ إلى ﺩ، تؤثر قوة مقدارها ١٦٠ نيوتن، وتؤثر قوة مقدارها ١٠ نيوتن في الاتجاه من ﺩ إلى ﺃ. وإذا تابعنا بعد ذلك، وعرفنا القطرين ﺃﺟ وﺩﺏ، فسنجد أن قوتين مقداراهما ٤٠ جذر اثنين و٩٠ جذر اثنين نيوتن تؤثران في هذين الخطين، على الترتيب. لدينا إذن إجمالي ست قوى تؤثر على المربع. ونحن نعلم من المعطيات أن نظام القوى هذا يكافئ ازدواجًا. هذا يعني أنه على الرغم من أن محصلة القوى المؤثرة على المربع تساوي صفرًا، فسنجد أن محصلة العزوم ليست كذلك.

وهذا بالضبط هو العزم الذي نريد حسابه. وعلينا أن نأخذ في اعتبارنا أن الاتجاه الموجب للدوران هو الاتجاه من ﺩﺟﺏ إلى ﺃ. ونستنتج من هذا أن الدوران في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة موجب، والدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة لا بد أن يكون سالبًا. بينما نبدأ في الحل، يمكننا استرجاع أن العزم الناتج عن قوة واحدة يساوي هذه القوة مضروبة في البعد العمودي بين موضع تأثير القوة ومحور الدوران. في المربع الذي لدينا، يشير محور الدوران إلى داخل الشاشة وخارجها من هذه النقطة في المركز؛ أي هو المستقيم العمودي على مستوى الشاشة. وعليه، بالنسبة إلى القوى الست جميعها، سنوجد ﻕ العمودية مضروبة في ﺩ، ثم نجمعها معًا لنحصل على العزم الكلي.

دعونا نفرغ بعض المساحة للحل. أول قوتين سنتناولهما هما القوتان اللتان تؤثران في قطري المربع. وبما أن هاتين القوتين تؤثران في هذين الاتجاهين، فهذا يعني أن خطي عملهما يمران بمحور الدوران. إذن، بدلالة العزم الناتج عن هاتين القوتين، فإن ﺩ لهما في هذه المعادلة يساوي صفرًا. وهو البعد العمودي بين موضع تأثير القوتين وموضع محور الدوران. وبما أننا نحسب العزم الكلي، فبإمكاننا فعليًّا تجاهل هاتين القوتين اللتين تؤثران في القطرين. إنهما لا تساهمان في العزم الكلي، وبالتالي لن نضمن أيًّا منهما في عملية الحساب.

بالنسبة إلى القوى الأربع الأخرى، فعند رسم خطوط عملها، نلاحظ أن البعد العمودي بين هذه الخطوط والمركز لا يساوي صفرًا. هذا يعني أن كل قوة تساهم في العزم الكلي حول هذه النقطة. لذا، سنبدأ بإيجاد العزم الكلي الناتج عن هذه القوى بضرب مقدار كل قوة من هذه القوى في البعد العمود، ثم جمعها معًا.

سنبدأ بالقوة التي مقدارها ٣٠ نيوتن، والتي تؤثر في الاتجاه من ﺃ إلى ﺏ. ينشأ عن هذه القوة دوران حول المركز في اتجاه دوران عقارب الساعة. ومن ثم، فإن هذه القوة تساهم بعزم سالب. والبعد بين خط عمل هذه القوة والمركز يساوي ٥٠ على اثنين؛ أي ٢٥ سنتيمترًا. وفي الواقع، هذا هو البعد العمودي بين كل القوى الأربع المؤثرة على أضلاع المربع ومركزه.

بمعرفة ذلك، دعونا نتناول مساهمة القوة التي مقدارها ٦٠ نيوتن. ستنشئ هذه القوة أيضًا عزمًا سالبًا. وكما رأينا، فإن قيمة البعد التي نستخدمها هي ٢٥ سنتيمترًا. لذا سننتقل إلى القوة التي مقدارها ١٦٠ نيوتن التي تنشئ أيضًا عزمًا سالبًا. وأخيرًا، سنضمن القوة التي مقدارها ١٠ نيوتن، والتي تنشئ كذلك عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول المركز.

بجمع هذه الحدود الأربعة معًا، نحصل على سالب ٦٥٠٠. والوحدة المستخدمة هنا هي نيوتن في سنتيمتر. وهذه هي الإجابة النهائية. إذن، تكون هذه القوى الست معًا عزمًا يساوي سالب ٦٥٠٠ نيوتن سنتيمتر.