فيديو السؤال: إيجاد التغير في كمية حركة جسم ذي كتلة متغيرة بمعلومية كتلته وإزاحته على صورة دالة في الزمن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

جسم كتلته متغيرة يتحرك في خط مستقيم. عند اللحظة ﻥ ثانية، كانت كتلته تعطى بالعلاقة ﻙ يساوي سبعة في الكمية ﻥ زائد أربعة كيلوجرام. وإزاحته من نقطة ثابتة على الخط تعطى بالعلاقة ﻑ يساوي ربعًا في الكمية ﻥ تربيع ناقص اثنين ﻥ زائد ١٠ متر. احسب التغير في كمية حركة الجسم في الفترة الزمنية بين ﻥ يساوي ١٠ ثوان وﻥ يساوي ١٣ ثانية.

سنسمي قيمتي الزمن عند أي من طرفي الفترة، ﻥ يساوي ١٠ ثوان، وﻥ يساوي ١٣ ثانية، ﻥ صفر وﻥ، على الترتيب. ونريد إيجاد قيمة التغير في كمية حركة الجسم خلال هذه الفترة الزمنية. سنسمي هذا التغير Δم. ولمساعدتنا على إيجاد الحل، لدينا كتلة الجسم على صورة دالة في الزمن كما لدينا إزاحته ﻑ، وهي أيضًا دالة في الزمن.

لنبدأ الحل بتذكر المعادلة الرياضية لكمية الحركة. كمية حركة جسم ذي كتلة تساوي كتلة الجسم في سرعته المتجهة ﻉ. وفي هذه الحالة، نريد إيجاد قيمة التغير في كمية الحركة؛ أي Δم. بناء على التعبير الدال على كمية الحركة، يمكننا كتابة ذلك على صورة معيار الفرق بين الكتلة النهائية في السرعة المتجهة النهائية والكتلة الابتدائية في السرعة المتجهة الابتدائية. سنحتاج إلى السرعتين المتجهتين لحساب قيمة Δم. ولكن، لدينا الإزاحة ﻑ في رأس المسألة. ترتبط الكميتان من خلال التعبير: ﻉ يساوي مشتقة الإزاحة ﻑ بالنسبة إلى الزمن.

لإيجاد قيمة ﻉ صفر وﻉ في النهاية، دعونا أولًا نوجد قيمة ﻉ باعتبارها دالة في الزمن ﻥ. سنفعل ذلك بأخذ مشتقة الإزاحة ﻑ بالنسبة إلى الزمن. بالتعويض عن الإزاحة ﻑ، نحسب مشتقة الإزاحة بالنسبة إلى الزمن لنحصل على: ربع في الكمية اثنين ﻥ ناقص اثنين متر لكل ثانية. وبأخذ اثنين عاملًا مشتركًا من داخل القوسين، نحصل الآن على السرعة المتجهة على صورة دالة في الزمن. ونتذكر أن ما يعنينا تحديدًا هو السرعة المتجهة للجسم عند ﻥ يساوي ﻥ صفر وﻥ يساوي ﻥ. وبالمثل، ما يعنينا هو كتلة الجسم عند هذين الزمنين.

يمكننا كتابة ﻙ صفر في ﻉ صفر على صورة: سبعة في ١٠ زائد أربعة كيلوجرام مضروبًا في نصف مضروب في ١٠ ناقص واحد متر لكل ثانية. وهذا يساوي ٤٩ في تسعة كيلوجرام متر لكل ثانية. إذن، هذه هي قيمة ﻙ صفر في ﻉ صفر.

ننتقل إلى ﻙﻉ، وهو ما يساوي سبعة مضروبًا في ١٣ زائد أربعة كيلوجرام مضروبًا في نصف مضروب في ١٣ ناقص واحد متر لكل ثانية. وهذا يساوي ٤٢ مضروبًا في ١٧ كيلوجرام متر لكل ثانية.

بالتعويض بهذه القيم في التعبير، نكون الآن جاهزين لحساب قيمة Δم؛ أي التغير في كمية الحركة. بحساب هذه القيم على الآلة الحاسبة، نجد أنها تساوي ٢٧٣ كيلوجرام متر لكل ثانية. وهذا هو التغير في كمية حركة هذا الجسم خلال الفترة الزمنية المعطاة.