فيديو: امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني

امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني

٠٧:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان س متغيّرًا عشوائيًّا متقطّعًا؛ مداه المجموعة: صفر، وواحد، واتنين. فأيُّ دالة من الدوال الآتية تمثّل التوزيع الاحتمالي له؟ ومعطى عندنا الاختيارات؛ أ: د س يساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. ب: د س يساوي اتنين س زائد واحد، الكل على تلاتة. ج: د س يساوي واحد على، س زائد اتنين. د: د س يساوي تلاتة س زائد واحد، الكل على ستة.

في البداية معطى عندنا إن س متغيّر عشوائي متقطّع. وهو المتغيّر العشوائي اللي مداه بيكون مجموعة منتهية أو قابلة للحصر من الأعداد الحقيقية. وعشان كده هنلاحظ إن معطى عندنا في السؤال إن مدى المتغيّر العشوائي المتقطّع س؛ هو المجموعة: صفر، وواحد، واتنين. والمطلوب إننا نحدّد أنهي دالة، من الدوال اللي عندنا هنا في الاختيارات، هي اللي بتمثّل التوزيع الاحتمالي له.

وعشان تكون الدالة بتمثّل توزيع احتمالي لمتغيّر عشوائي متقطّع، لازم بتحقّق شرطين. وأول شرط عندنا هو إن د س ر أكبر من أو تساوي الصفر لكل ر يساوي واحد، واتنين، وتلاتة، وهكذا … حتى ن. وَ ن هنا هي عدد قيم المدى للمتغيّر العشوائي المتقطّع س. يعني في السؤال اللي عندنا مثلًا هيبقى عدد قيم المدى هو: تلاتة؛ يعني ن بتساوي تلاتة.

وأمّا تاني شرط، اللي لازم الدالة تحقّقه، فهو إن مجموع قيم الدالة لازم يكون بيساوي واحد. يعني معنى كده إن د س واحد، زائد د س اتنين، زائد د س تلاتة، وهكذا … حتى د س ن؛ لازم يكون مجموعهم بيساوي واحد.

فيبقى همّ دول الشرطين اللي لازم الدالة تحقّقهم؛ عشان تكون بتمثّل التوزيع الاحتمالي لمتغيّر عشوائي متقطّع. فبالتالي عشان نقدر نجاوب عَ السؤال ده، يبقى عايزين نشوف أنهي دالة من الدوال اللي عندنا دي هي اللي هتحقّق الشرطين دول.

فهنبدأ نجرّب في كل دالة من الأربع دوال اللي عندنا في الاختيارات. وهنبدأ بالاختيار الأول اللي هو د س بيساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. فهنكتب الدالة بالشكل ده. وبعد كده هنبدأ نعمل جدول. وهنعوّض فيه عن قيم س، اللي هنا، بقيم المدى اللي معطاة عندنا في السؤال؛ علشان نقدر نوجد قيم د س. فهنعمل الجدول بالشكل ده، وهنبدأ نكتب عند قيم س ر قيم المدى: صفر، وواحد، واتنين.

وأمّا قيم د س ر فعلشان نوجدها؛ يبقى هنعوّض عن س في الدالة اللي عندنا هنا مرة بصفر، ومرة بواحد، ومرة باتنين. فهنبدأ في الأول نعوّض عن س بصفر؛ فهتبقى د س بتساوي صفر تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي واحد على تمنية.

وبنفس الطريقة هنعوّض عن س بواحد؛ فهتبقى د س بتساوي واحد تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي اتنين على تمنية.

وآخِر حاجة عندنا هنعوّض عن س باتنين؛ فهتبقى د س بتساوي اتنين تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي خمسة على تمنية.

فبكده يبقى إحنا عملنا الجدول اللي بيمثّل الدالة: د س بيساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية. بعد كده هنبدأ نشوف هل الدالة دي اتحقّق فيها الشرطين اللي عندنا هنا ولّا لأ.

فهنبدأ نشوف الشرط الأول، وهو إن د س ر أكبر من أو تساوي الصفر. وبما إن قيم د س ر اللي عندنا هي: واحد على تمنية، واتنين على تمنية، وخمسة على تمنية. يعني جميع قيم د س ر اللي عندنا هنا أكبر من الصفر. وبالتالي هيبقى أول شرط عندنا، اللي هو د س ر أكبر من أو يساوي صفر، اتحقّق.

وأمّا الشرط التاني، هو: إن مجموع جميع قيم د س ر لازم يكون بيساوي واحد. وبما إن القيم عندنا هي: واحد على تمنية، واتنين على تمنية، وخمسة على تمنية؛ فهنبدأ نشوف مجموعهم. وبما إن كل القيم ليها المقام نفسه، اللي هو تمنية، فهنجمع البسوط.

فلمّا نجمع في البسط واحد زائد اتنين زائد خمسة، هيبقى المجموع هو تمنية. يعني هيبقى بيساوي تمنية على تمنية، واللي بتساوي واحد. فبالتالي هتبقى مجموع قيم د س ر بيساوي واحد، وهو ده اللي بيحقّق الشرط التاني اللي عندنا. فبما إن الشرطين اتحقّقوا. فمعنى كده إن الدالة د س تساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية؛ هتبقى بتمثّل التوزيع الاحتمالي للمتغيّر العشوائي المتقطّع س.

فمعنى كده إن الاختيار أ هو اختيار صحيح. لكن خلّينا برضو نشوف باقي الاختيارات علشان نتأكّد. وبنفس الطريقة هنبدأ نشوف الدالة د س بتساوي اتنين س زائد واحد، الكل على تلاتة؛ هل هي بتحقّق الشرطين اللي عندنا ولّا لأ.

وبنفس الطريقة هنكتب نفس قيم س، اللي هي: صفر، وواحد، واتنين. وأمّا د س ر فبرضو هنعوّض عن س مرة بصفر، ومرة بواحد، ومرة باتنين. وهنبدأ بنفس الطريقة نعوّض عن س بصفر في الدالة دي. فهتبقى عندنا د س بتساوي اتنين في صفر، زائد واحد؛ الكل على تلاتة. فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي واحد على تلاتة.

وبنفس الطريقة هنكمّل باقي الجدول؛ عن طريق إننا نعوّض عن س مرة واحد، ومرة باتنين. فهتبقى قيم د س ر هي: واحد على تلاتة، وتلاتة على تلاتة، وخمسة على تلاتة.

بعد كده هنبدأ نشوف هل الشرطين اللي عندنا اتحقّقوا في الدالة دي ولّا لأ. وأول شرط هو إن د س ر أكبر من أو تساوي صفر. وبما إن جميع قيم د س ر اللي عندنا هنا أكبر من الصفر، فبالتالي هيبقى أول شرط ده اتحقّق.

وأمّا الشرط التاني، وهو إن مجموع قيم د س ر لازم تكون بتساوي واحد. فمعنى كده إننا هنجرّب نجمع واحد على تلاتة، زائد تلاتة على تلاتة، زائد خمسة على تلاتة؛ وهنشوف بتساوي كام. فلمّا نحسبها هتبقى بتساوي تسعة على تلاتة، واللي بتساوي تلاتة.

فمعنى كده إن مجموع قيم د س ر في الدالة دي بيساوي تلاتة. وبما إن تلاتة أكبر من الواحد، فمعنى كده إن الشرط التاني ما اتحقّقش؛ لأن مجموع قيم د س ر لا تساوي الواحد. فمعنى كده إن هيبقى الاختيار ب: «د س يساوي اتنين س زائد واحد، الكل على تلاتة» اختيار خاطئ. وده لأن الدالة ما حقّقتش الشرطين اللي عندنا.

وبنفس الطريقة لو كنّا جرّبنا برضو أيّ اختيار من الاختيارين ج وَ د. هنلاحظ إن كل دالة فيهم لمّا نحسبها هنلاقي برضو إن هي مش بتحقّق الشرطين اللي عندنا هنا. فمعنى كده إن هيبقى الاختيار الصحيح هو الاختيار أ: «د س بتساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية». وده لأن هي الدالة اللي حقّقت الشرطين.

وبالتالي هيبقى الاختيار الصحيح هو الاختيار أ: «د س يساوي س تربيع زائد واحد، الكل على تمنية». لأن هي دي الدالة اللي هتبقى بتمثّل التوزيع الاحتمالي للمتغيّر العشوائي المتقطّع س. وهتبقى هي دي إجابة السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.