فيديو الدرس: قانون نيوتن الثاني: الكتل المتغيرة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الاشتقاق مع قانون نيوتن الثاني للحركة لجسيم بكتلة متغيرة.

١٨:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

قانون نيوتن الثاني: الكتل المتغيرة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الاشتقاق مع قانون نيوتن الثاني للحركة لجسيم بكتلة متغيرة. هيا نبدأ بتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة باستخدامه مع جسم له كتلة ثابتة.

عندما تؤثر قوة محصلة على جسم ما، يتحرك هذا الجسم بعجلة في اتجاه هذه القوة. المعادلة التي تصف العلاقة بين العجلة والقوة هي ﻕ يساوي ﻙﺟ، حيث ﻕ هي القوة، وﻙ هي الكتلة الثابتة للجسم، وﺟ هي عجلة الجسم. والآن تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا أيضًا التعبير عن قانون نيوتن الثاني بدلالة كمية حركة الجسم. كمية حركة الجسم ﻡ تساوي كتلته ﻙ مضروبة في سرعته ﻉ. ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة المؤثرة على الجسم تساوي معدل تغير كمية حركة الجسم. إذن، ﻕ يساوي ﺩﻡ على ﺩﻥ.

يمكننا التعويض بـ ﻙﻉ في هذه المعادلة. بما أننا نتناول قانون نيوتن الثاني للكتلة الثابتة، فإن ﻙ في هذه المعادلة سيكون ثابتًا. وعليه، يمكننا كتابته في مقدمة المعادلة. لدينا الآن ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ. نعلم الآن أن ﺩﻉ على ﺩﻥ هو ببساطة معدل تغير السرعة، الذي يساوي العجلة أو ﺟ. إذن، نصل إلى أن ﻕ يساوي ﻙﺟ، وهي المعادلة المعروفة لنا.

على الرغم من أننا استخدمنا الكميات المتجهة هنا، تجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت الحركة خطية، يمكننا استخدام المقادير القياسية بدلًا من المتجهات في العمليات الحسابية التي نجريها. هيا نتناول الآن ما سيحدث إذا أردنا استخدام قانون نيوتن الثاني مع كتلة متغيرة. نحن نعلم أن القوة ﻕ تساوي معدل تغير كمية الحركة ﺩﻡ على ﺩﻥ، حيث كمية الحركة تساوي الكتلة مضروبة في السرعة. هذه المرة، كل من ﻙ وﻉ متغيران. إذن، لاشتقاق ﻙﻉ، علينا استخدام قاعدة الضرب. وعند القيام بذلك، نحصل على ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. لقد توصلنا إلى الصيغة التي سنستخدمها لحل مسائل الكتل المتغيرة. يمكننا أيضًا استخدام هذه الصيغة في المرحلة السابقة على إجراء الاشتقاق. إذن، ﻕ يساوي ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻙﻉ.

ثمة أمر آخر يمكننا ملاحظته، وهو أن في الصيغة ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. الحد ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ يكافئ الطرف الأيسر لصيغة قانون نيوتن الثاني الذي يتضمن كتلة ثابتة؛ أي إن ﻕ يساوي ﻙﺟ. عندما نتعامل مع كتلة متغيرة، يكون لدينا هذا الحد الإضافي وهو ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. وهذا منطقي، حيث إنه إذا كان ﻙ ثابتًا، فإن ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي صفرًا، وهذا الحد الثاني يختفي، ويتبقى لدينا ﻕ يساوي ﻙﺟ. لنتناول الآن مثالًا على كيفية حل مسألة تتضمن كتلة متغيرة.

املأ الفراغ. القوة المؤثرة على كتلة تتغير طبقًا للدالة ﻙﻥيساوي خمسة زائد اثنين ﻥ كيلوجرام وتتحرك بسرعة ثابتة مقدارها أربعة أمتار لكل ثانية تساوي _____.

والآن، تذكر أن القوة المؤثرة على جسم كتلته متغيرة تساوي معدل تغير كمية الحركة، أي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. وبما أن السرعة كمية قياسية، فسنستخدم المعادلة باستخدام كميات قياسية لقانون نيوتن الثاني للكتلة المتغيرة بدلًا من الصورة المتجهة. لقد أعطانا السؤال دالة للكتلة وقيمة للسرعة. ونعرف أن ﻙ يساوي خمسة زائد اثنين ﻥ كيلوجرام، وﻉ يساوي أربعة أمتار لكل ثانية. علينا اشتقاق هاتين القيمتين بالنسبة إلى ﻥ. بدءًا بـ ﻙ، عندما نشتق الثابت خمسة، سنحصل على صفر. وعند اشتقاق اثنين ﻥ، سنحصل على اثنين. ومن ثم، ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي اثنين. لقد حصلنا على ﻉ يساوي أربعة، وهو ثابت. إذن، عند اشتقاقه، سنحصل على صفر.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيم في معادلة ﻕ. نعرف أن ﻕ يساوي خمسة زائد اثنين ﻥ مضروبًا في صفر زائد أربعة مضروبًا في اثنين. وبما أن الحد الأول مضروب بأكمله في صفر، فسيختفي هذا الحد. وبذلك، يتبقى لدينا ﻕ يساوي ثمانية نيوتن. وهنا نكون قد توصلنا إلى الحل، وهو أن الجسم الذي كتلته الابتدائية خمسة كيلوجرامات وتزداد بمقدار اثنين كيلوجرام لكل ثانية، ويتحرك بسرعة ثابتة مقدارها أربعة أمتار لكل ثانية يجب أن تؤثر عليه قوة ثابتة مقدارها ثمانية نيوتن. يمكننا أيضًا ملاحظة أن الكتلة الابتدائية للجسم لا تؤثر على القوة اللازمة للحفاظ على هذه السرعة الثابتة. الأمر الوحيد المهم هو معدل تغير الكتلة.

ننتقل الآن إلى المثال الثاني، حيث نرى نظامًا تتغير فيه الكتلة والسرعة مع الزمن.

تحرك جسم في خط مستقيم. عند اللحظة ﻥ ثانية، كانت إزاحة الجسم من نقطة ثابتة تعطى بالعلاقة ﻑ يساوي ستة ﻥ تربيع زائد تسعة ﻥ متر. كانت كتلة الجسم تتغير مع الزمن؛ حيث ﻙ يساوي ثمانية ﻥ زائد تسعة كيلوجرامات. اكتب تعبيرًا يدل على القوة المؤثرة على الجسم عند اللحظة ﻥ.

المطلوب في هذا السؤال هو إيجاد القوة المؤثرة على الجسم؛ لكننا نعلم أن ﻙ يساوي ثمانية ﻥ زائد تسعة كيلوجرامات. وهذا يعني أن ﻙ كتلة متغيرة. لإيجاد هذه القوة، علينا استخدام قانون نيوتن الثاني للكتلة المتغيرة. ينص قانون نيوتن الثاني على أن ﻕ يساوي معدل تغير كمية الحركة أو ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. يمكننا البدء بالنظر إلى الكتلة. نعلم أن ﻙ يساوي ثمانية ﻥ زائد تسعة. سنحتاج أيضًا إلى ﺩﻙ على ﺩﻥ؛ لذا دعونا نشتق هذا المقدار.

ناتج ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي ثمانية. في هذا السؤال، لدينا إزاحة الجسم ﻑ بدلًا من سرعته. لكننا نعلم أن السرعة تساوي معدل تغير الإزاحة، إذن ﻉ يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ. لإيجاد ﻉ، علينا اشتقاق ستة ﻥ تربيع زائد تسعة ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. نجد أن ﻉ يساوي ١٢ﻥ زائد تسعة. والآن، سنحتاج إلى اشتقاق ذلك مرة أخرى لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ. باشتقاق ١٢ﻥ زائد تسعة بالنسبة إلى ﻥ، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي ١٢.

لدينا الآن جميع المركبات للتعويض في الصيغة الخاصة بإيجاد القوة ﻕ. نعرف أن ﻕ يساوي ثمانية ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ١٢ زائد ١٢ﻥ زائد تسعة مضروبًا في ثمانية. بفك الأقواس، نحصل على ٩٦ﻥ زائد ١٠٨ زائد ٩٦ﻥ زائد ٧٢. بتبسيط ذلك، نصل إلى الحل، وهو أن القوة ﻕ تساوي ١٩٢ﻥ زائد ١٨٠ نيوتن. لاحظ أنه في هذه الحالة، ﻕ هي قوة معتمدة على الزمن.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا إجراء هذه العملية في الاتجاه العكسي واستخدام صيغة قانون نيوتن الثاني لكتلة متغيرة لإيجاد معدل تغير كتلة جسم.

تتحرك كرة معدنية في خط مستقيم بسرعة ثابتة مقدارها متر واحد لكل ثانية. دخلت وسطًا متربًا. إذا كانت القوة المؤثرة على الكرة في أي لحظة تساوي ١٠ داين، فأوجد معدل تغير كتلة الكرة بسبب التصاق التراب بسطحها.

أول ما علينا التفكير فيه هنا هو ما طلب منا إيجاده، وهو معدل تغير كتلة الكرة. وهذا يعني أن الكرة ليس لها كتلة ثابتة؛ ومن ثم علينا استخدام قانون نيوتن الثاني للكتل المتغيرة. ينص قانون نيوتن الثاني للكتل المتغيرة على أن ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. المطلوب في السؤال هو إيجاد ﺩﻙ على ﺩﻥ. دعونا نفكر في المعطيات المذكورة في السؤال.

نحن نعلم أن سرعة الكرة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية، وهذه سرعة ثابتة. ومن ثم، فإن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي صفرًا. نعلم أيضًا أن القوة المؤثرة على الكرة تساوي ١٠ داين. لتسهيل العمليات الحسابية، علينا تحويل ذلك إلى وحدة النيوتن. نعرف أن داين واحدًا يساوي ١٠ أس سالب خمسة نيوتن. إذن، القوة تساوي ١٠ مضروبًا في ١٠ أس سالب خمسة نيوتن أو ١٠ أس سالب أربعة نيوتن. وبما أن ﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي صفرًا، فإن الحد الأول في الصيغة التي لدينا لإيجاد القوة سيساوي صفرًا أيضًا. إذن، في هذا السؤال المتعلق بالسرعة الثابتة، نجد أن القوة ﻕ تساوي السرعة المتجهة ﻉ مضروبة في معدل تغير الكتلة ﺩﻙ على ﺩﻥ.

بالتعويض بقيمتي ﻕ وﻉ، نجد أن ١٠ أس سالب أربعة يساوي واحدًا مضروبًا في ﺩﻙ على ﺩﻥ. أو يمكننا كتابة ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي ١٠ أس سالب أربعة. الآن، لنلق نظرة على وحدات هذه القيمة. وحدة السرعة ﻉ هي المتر لكل ثانية، ووحدة القوة ﻕ هي النيوتن. نعلم من هذا أن معدل تغير الكتلة سوف يكون بالكيلوجرام لكل ثانية. نحن نعلم أن الكيلوجرام الواحد يساوي ١٠ تكعيب جرام. ومن ثم، يمكننا كتابة ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي ١٠ أس سالب أربعة مضروبًا في ١٠ تكعيب جرام لكل ثانية. يبسط ذلك إلى ١٠ أس سالب واحد جرام لكل ثانية، وهو ما يمكن كتابته أيضًا على الصورة ﺩﻙ على ﺩﻥ يساوي ٠٫١ جرام لكل ثانية. هذا هو حل السؤال؛ وهو يعني أن معدل تغير كتلة الكرة بسبب التصاق التراب بسطحها يساوي ٠٫١ جرام لكل ثانية.

أعطانا هذا المثال فكرة عن العملية الفيزيائية التي يمكن أن تنتج زيادة في كتلة الجسم. يمكن أن تتراكم على الجسم الكتلة التي يلامسها إذا كانت جزءًا من الوسط الذي يتحرك فيه الجسم. وبطريقة مشابهة، يمكن أن تقل كتلة الجسم، على سبيل المثال، الصاروخ الذي ينفث الوقود. وسنرى كيف يمكن أن يبدو ذلك في المثال التالي.

يتحرك صاروخ رأسيًّا لأعلى، وينفث وقوده المحترق رأسيًّا لأسفل بسرعة ٣٦٠٠ كيلومتر لكل ساعة. إذا كان في كل ثماني ثوان، ينفث ثلاثة كيلوجرامات من الوقود، فأوجد قوة دفع الصاروخ التي يولدها محركه.

مطلوب منا الآن إيجاد قوة الدفع الناتجة عن محرك الصاروخ. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن كتلة الصاروخ تتغير لأنه ينفث الوقود. ومن ثم، علينا استخدام قانون نيوتن الثاني للكتل المتغيرة، الذي ينص على أن ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ.

عندما ننظر إلى السؤال بدقة أكبر، سنلاحظ أن المعطيات تتعلق، في الواقع، بالوقود وليس الصاروخ. يخبرنا السؤال أن الصاروخ ينفث وقوده المحترق بسرعة ٣٦٠٠ كيلومتر لكل ساعة، وأن كل ثماني ثوان ينفث ثلاثة كيلوجرامات من الوقود. هذا يعني أننا إذا كنا نحسب باستخدام هذه القيم، فإننا سنوجد في الواقع القوة المؤثرة على الوقود الذي ينفث من الصاروخ. تؤثر هذه القوة ﻕ رأسيًّا لأسفل.

إذن، لإيجاد قوة الرفع التي تدفع الصاروخ رأسيًّا لأعلى، يمكننا استخدام قانون نيوتن الثالث، الذي ينص على أن هذه القوة مساوية ومضادة لقوة الوقود الذي ينفث رأسيًّا لأسفل. ومن ثم، ستكون قوة لها نفس مقدار القوة ﻕ لكنها تؤثر رأسيًّا لأعلى.

دعونا نستخدم قانون نيوتن الثاني للكتلة المتغيرة لإيجاد القوة المؤثرة على الوقود الذي ينفث رأسيًّا لأسفل. نعلم أن سرعة الوقود تساوي ٣٦٠٠ كيلومتر لكل ساعة. لكن، بما أن هذه السرعة تؤثر رأسيًّا لأسفل، فيمكننا كتابة ذلك على صورة سالب ٣٦٠٠ كيلومتر لكل ساعة. وحدة السرعة هي الكيلومتر لكل ساعة. لكن بما أننا نريد أن نحسب القيم بالكيلوجرام والمتر والثانية والنيوتن؛ إذن علينا تحويل هذه السرعة إلى وحدة المتر لكل ثانية. بما أن هناك ١٠٠٠ متر في الكيلومتر و٣٦٠٠ ثانية في الساعة، فعلينا ضرب سالب ٣٦٠٠ في ١٠٠٠ على ٣٦٠٠. إذن، السرعة تساوي سالب ١٠٠٠ متر لكل ثانية.

وبما أن ﻉ ثابت، فعند اشتقاقه لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ، سنجد أنه يساوي صفرًا. ومن ثم، بالتعويض بهذه القيمة في الصيغة لدينا، سنجد أن الحد الأول يساوي صفرًا. نظرًا لهذه السرعة الثابتة، يمكننا إعادة كتابة صيغة القوة على الصورة ﻕ تساوي ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. لقد أوجدنا ﻉ للتو؛ لذا الشيء الوحيد الذي نحتاجه لإيجاد ﻕ هو ﺩﻙ على ﺩﻥ. هذا هو معدل تغير الكتلة.

نحن نعلم أن كل ثماني ثوان، ينفث الصاروخ ثلاثة كيلوجرامات من الوقود. وبما أننا نتناول القوة المؤثرة على الوقود الذي ينفث من الصاروخ، فإن هذه العبارة تخبرنا أن كتلة الوقود الذي ينفث تزداد بمقدار ثلاثة كيلوجرامات كل ثماني ثوان. ولإيجاد معدل الوقود الذي ينفث كل ثانية، علينا ببساطة أن نقسم ثلاثة كيلوجرامات على ثماني ثوان. إذن، معدل تغير الكتلة يساوي ثلاثة على ثمانية كيلوجرامات لكل ثانية.

يمكننا الآن التعويض بهذه القيمة بالإضافة إلى قيمة السرعة في معادلة القوة. إذن، القوة تساوي سالب ١٠٠٠ مضروبًا في ثلاثة على ثمانية، وهو ما يبسط إلى سالب ٣٧٥ نيوتن. وبذلك نكون قد توصلنا إلى الحل تقريبًا. لكن هذه هي القوة المؤثرة على الوقود الذي ينفث من الصاروخ. وقوة الرفع الناتجة عن محرك الصاروخ ستكون مساوية ومضادة لهذه القوة. إذن، الحل هو أن قوة الرفع تساوي ٣٧٥ نيوتن.

لقد استعرضنا مجموعة متنوعة من الأمثلة. والآن، هيا نلخص بعض النقاط الرئيسية في الفيديو.

النقاط الرئيسية.

ينص قانون نيوتن الثاني للحركة للكتل المتغيرة على أن القوة تساوي معدل تغير كمية الحركة. إذن، ﻕ يساوي ﺩﻡ على ﺩﻥ، وهو ما يساوي أيضًا ﺩ على ﺩﻥ لـ ﻙﻉ. باستخدام قاعدة الضرب، يمكننا أيضًا إيجاد أن ﻕ يساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ. وعندما تكون الحركة خطية والقيم معطاة في صورة كميات قياسية وليس متجهات، يمكننا استخدام الصيغة التي تتضمن كميات قياسية وهي ﻕ تساوي ﻙ ﺩﻉ على ﺩﻥ زائد ﻉ ﺩﻙ على ﺩﻥ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.