فيديو: المسافة والإزاحة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف يمكننا تعريف المسافة بأنها طول المسار بين موضعين وكذلك تعريف الإزاحة بأنها المسافة المستقيمة بين موضعين.

١١:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم تعريفي المسافة والإزاحة: مفهومان متشابهان مع اختلاف طفيف بين تعريفيهما. هيا نتعمق في الأمر. ولنبدأ بتعريف المسافة.

المسافة هي طول المسار بين موضعين. والآن لنفهم ما يعنيه هذا، فلنحدد أولًا هذين الموضعين. لنفترض أن الموضع الأول هو ‪𝐴‬‏ والموضع الثاني هو ‪𝐵‬‏. والآن لنفترض أن لدينا جسمًا عند الموضع ‪𝐴‬‏ في البداية، ويحاول الوصول إلى الموضع ‪𝐵‬‏. ثمة العديد من الطرق المختلفة التي يمكن أن يتحرك الجسم بها.

وأبسط طريقة هي أن يتحرك مباشرة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، وفى هذه الحالة تكون المسافة التي يقطعها الجسم، وسنسميها ‪𝑑‬‏، هي ببساطة المسافة المستقيمة بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. بتحديد أكثر، فإن المسافة التي يقطعها الجسم هي طول المسار الذي يسلكه للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. لذا إذا كان ‪𝐴‬‏ يبعد عن ‪𝐵‬‏ بخمسة أمتار، فإن المسافة التي يقطعها الجسم عندما يسلك هذا المسار هي خمسة أمتار.

ولكن هناك أيضًا العديد من الطرق المختلفة التي يمكن أن ينتقل بها الجسم من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. على سبيل المثال، قد يبدأ الجسم بالحركة في هذا الاتجاه ثم يرجع في هذا الاتجاه. حسنًا، في حالة كهذه، لم تعد المسافة التي يقطعها الجسم خمسة أمتار. بل ستكون أكبر من خمسة أمتار لأنه عند جمع هذا الطول وهذا الطول سيكون الناتج أكبر من خمسة أمتار.

يمكننا أن نرى هذا بإضافة خط متقطع في المنتصف. وينتج عن هذا تكوين مثلثين قائمي الزاوية. أحدهما هو هذا المثلث هنا، والآخر هو المثلث المطابق المنعكس هنا. حسنًا، في هذه الحالة، يمكننا أن نرى أن النصف الأول من مسار الجسم كان على امتداد وتر المثلث قائم الزاوية. والأمر نفسه ينطبق على النصف الثاني.

دائمًا ما يكون الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية ويكون الضلع المقابل للزاوية القائمة. وهذا يعني أن هذا الطول — وهو طول النصف الأول من الرحلة التي قطعها الجسم في هذه الحالة — أكبر من هذا الطول، والذي يمثل نصف الرحلة التي قطعها الجسم في البداية عندما ذكرنا أنه سيتحرك مباشرة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. وينطبق الأمر نفسه على هذا الطول؛ لأنه أطول من هذا النصف في الرحلة الأصلية.

ومن ثم، فمجموع هذا الطول مع هذا الطول سيكون أكبر من مجموع هذا الطول مع هذا الطول. بعبارة أخرى، الرحلة التي يقطعها الجسم الآن تعني أن الجسم يقطع مسافة أطول للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. إذن، تعتمد المسافة على المسار المقطوع بين الموضعين.

والأمر الآخر المهم الذي علينا أن نعرفه عن المسافة هو أنها كمية قياسية. والكمية القياسية لها مقدار، أو قيمة، فقط. وهذا يعني أن الاتجاه الذي يقطع فيه الجسم المسافة لا يعنينا هنا. بل إن ما يتعلق بالمسافة هو طول المسار بين النقطة ‪𝐴‬‏ والنقطة ‪𝐵‬‏ في هذه الحالة.

والآن لنقارن هذا بالإزاحة. الإزاحة هي المسافة المستقيمة بين موضعين. أي إننا إذا رسمنا النقطة ‪𝐴‬‏ والنقطة ‪𝐵‬‏ من جديد، ثم قلنا إن الجسم يبدأ حركته من ‪𝐴‬‏ وينتقل مباشرة إلى ‪𝐵‬‏، فإن إزاحة هذا الجسم تعرف ببساطة بأنها المسافة المستقيمة بين الموضعين.

وهكذا في هذه الحالة، إذا قلنا إن المسافة بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ تساوي خمسة أمتار، فإن إزاحة الجسم عندئذ ستكون خمسة أمتار أيضًا. فما وجه الاختلاف بين هذا التعريف وتعريف المسافة؟ حسنًا، ما ناقشناه هنا هو الحالة التي تتطابق فيها المسافة مع الإزاحة. تصبح الإزاحة قائمة فعلًا بذاتها عندما نستعرض مسارًا آخر من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏.

لذا هيا نفترض الآن أن الجسم يتحرك في هذا الاتجاه ثم في هذا الاتجاه للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ بدلًا من الانتقال مباشرة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. حسنًا، في هذه الحالة، يظل تعريف الإزاحة هو المسافة المستقيمة بين النقطتين. بعبارة أخرى، هي أقصر مسافة، أي المسافة المستقيمة، بين النقطة التي بدأ منها الجسم حركته والنقطة التي انتهى عندها. وهكذا فإنه على الرغم من أن الجسم سلك هذا المسار، فإن إزاحته تظل خمسة أمتار. وهنا يظهر وجه الاختلاف بين المسافة والإزاحة.

ولكن هناك أيضًا أمر آخر لم نذكره بعد. ذكرنا أن المسافة كمية قياسية. والسبب في أننا ذكرنا هذا في المقام الأول هو أن الإزاحة كمية متجهة. هذا يعني أن لها مقدارًا، أو قيمة، واتجاهًا. بعبارة أخرى، لا ينبغي أن نقول إن إزاحة الجسم تساوي خمسة أمتار. بل ينبغي أن نقول إن إزاحة الجسم تساوي خمسة أمتار إلى اليمين؛ لأنه بدأ من النقطة ‪𝐴‬‏ وانتهى عند النقطة ‪𝐵‬‏. والنقطة ‪𝐵‬‏ تقع على يمين النقطة ‪𝐴‬‏.

إذن، من الطرق السهلة للتفكير في هذا هي أن انتقال الجسم من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ بأي مسار يسلكه هو بالضبط كانتقاله نحو اليمين حتى يصل إلى النقطة ‪𝐵‬‏ سالكًا أقصر مسافة، وهي المسافة المستقيمة. فلنوضح هذا قليلًا.

لنفترض أن الجسم ينتقل من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ سالكًا هذا المسار. حسنًا، في هذه الحالة، ستكون المسافة التي يقطعها الجسم أكبر من خمسة أمتار. لنفترض أن المسافة في نهاية المطاف ستكون ثمانية أمتار. وهذا هو الطول الكلي للمسار الذي ينتقل فيه الجسم من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى النقطة ‪𝐵‬‏. ومع ذلك، فهذا لا يمثل إزاحة الجسم.

فالإزاحة ببساطة هي المسافة المستقيمة بين نقطة البداية ونقطة النهاية، وهي هنا خمسة أمتار. ولكن علينا أيضًا أن ندرج الاتجاه؛ لأن الإزاحة متجه. إذن، نقول إن الإزاحة خمسة أمتار إلى اليمين؛ لأن الجسم انتقل من اليسار إلى اليمين عند انتقاله من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. إذن، هذا هو وجه الاختلاف بين المسافة والإزاحة.

هيا الآن نر حالتين مشوقتين. لنعد إلى النحلة التي رأيناها على شاشة بدء هذا الفيديو. لنفترض أن النحلة تطير هنا وهناك سالكة أي مسار تريد للانتقال من موضعها الذي هي عنده الآن إلى الموضع الذي تريد أن تكون عنده. ولنتخيل أيضًا أنها ينتهي بها الحال فجأة إلى العودة إلى موضع بدايتها الأصلي.

حسنًا، في هذا الموقف، ستكون المسافة التي قطعتها النحلة هي ببساطة طول المسار الذي سلكته للانتقال من مكانها الذي كانت فيه عند مركز الشاشة إلى مكانها الحالي وهو عند مركز الشاشة أيضًا. إذن، هذا المسار كله هو المسافة. وسنشير إلى هذه المسافة بـ ‪𝑑‬‏. إنها طول هذا المسار المنحني المتعرج. ولكن، ما الإزاحة التي قطعتها النحلة؟

حسنًا، بدأت النحلة هنا وانتهى بها الحال أيضًا هنا في الموضع نفسه بالضبط. بذلك، تكون المسافة المستقيمة بين نقطة بداية النحلة ونقطة نهايتها هي في الحقيقة صفر. لذا إذا رمزنا إلى الإزاحة بـ ‪𝑠‬‏، يمكننا أن نقول إن ‪𝑠‬‏ تساوي صفرًا. ولكن عندما نفكر في هذا المفهوم نجده غريبًا نوعًا ما.

فالنحلة ذهبت بعيدًا، وقطعت بالفعل مسافات كبيرة جدًا، ولكن الإزاحة التي قطعتها ما تزال صفرًا. ولكن هذا هو السبب في أن الإزاحة قياس جيد للغاية للحركة الإجمالية أو الكلية؛ لأنها لا تعنى بكيفية انتقال النحلة من مكانها الأصلي إلى مكانها الحالي. بل تعنى فقط بموضعها في البداية وموضعها الحالي، والفرق بين هذين الموضعين.

بعبارة أخرى، انتقال النحلة عبر هذا المسار المتعرج الطويل جدًا لم يحدث أي فرق في موضع النحلة. فقد عادت إلى موضعها الأصلي نفسه، وقد يبدو لنا كذلك أنها لم تتحرك على الإطلاق. وحقيقة أن الإزاحة التي قطعتها النحلة تساوي صفرًا، تعكس هذا بدقة.

الأمر الآخر الذي ذكرناه سابقًا هو أن الإزاحة كمية متجهة. إذن، لماذا لم نعط اتجاهًا؟ حسنًا، هذه هي إحدى الحالات الخاصة التي لا يكون عليك فيها أن تعطي اتجاهًا. لأنه إذا كانت الإزاحة تساوي صفرًا، فإن معنى هذا أن النحلة لم تتحرك في أي اتجاه. بعبارة أخرى، الإزاحة صفر إلى اليسار هي نفسها الإزاحة صفر إلى اليمين وهي نفسها الإزاحة صفر إلى أعلى أو إلى أسفل أو إلى الداخل أو إلى الخارج. لم تتحرك النحلة على الإطلاق. إذن، لسنا بحاجة إلى أن نعطي اتجاهًا.

الأمر المثير للاهتمام الذي نستنتجه من هذا المثال أن الجسم قد يقطع مسافات كبيرة جدًا، ولكن قيمة إزاحته قد تظل صفرًا. ولكن هذا لا يحدث إلا إذا عاد الجسم إلى موضع بدايته في نهاية رحلته. والآن بالإضافة إلى هذا، هيا نفكر أيضًا في جسم يحاول الانتقال من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى النقطة ‪𝐵‬‏. ودعنا الآن لا نشغل أنفسنا بالكيفية التي انتقل بها إلى هناك. لنهتم فقط بإزاحته.

الإزاحة هي المسافة المستقيمة أو أقصر مسافة بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. ولكن نظرًا لأن الإزاحة كمية متجهة، أي إنها مسافة — لنفترض أنها ‪10‬‏ أمتار — وهي في هذا الاتجاه لأنه للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ يجب أن تنتقل في هذا الاتجاه، فإن ما يمكننا في الواقع فعله هو تحليل متجه الإزاحة هذا إلى مركبات. بعبارة أخرى، يمكننا أن نقول على سبيل المثال إن ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ هما نقطتا البداية والنهاية لطريق قصير جدًا سلكته منذ بضعة أيام. حسنًا، ليس بالضرورة أن يكون قصيرًا جدًا. كان يمكنني أن أسلك مسارًا طويلًا جدًا للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، ولكن لا يعنينا هذا في الحقيقة الآن.

ما يعنينا حقًا هو أنه قد تمت إزاحتي ‪10‬‏ أمتار في الاتجاه الشمالي الشرقي. إذا قلنا إن هذا الاتجاه هو الشمال، فإن هذا تلقائيًا يعني أن هذا الاتجاه هو الشرق، وهذا الاتجاه هو الجنوب، وهذا الاتجاه هو الغرب. في هذه الحالة، يمكنني تحليل متجه إزاحة الطريق الذي سلكته إلى مركبتين. إذ يمكنني تحليله إلى مركبة شرقية ومركبة شمالية أيضًا.

ولاحظ أننا حصلنا على مثلث قائم الزاوية هنا. لذا بالأساس، تمت إزاحتي ‪10‬‏ أمتار في الاتجاه الشمالي الشرقي تقريبًا. ولكن يمكنني أن أقول إن هذا كان يكافئ التحليل إلى هذه المسافة، وهي إزاحتي في اتجاه الشرق. وستكون أقل من ‪10‬‏ أمتار؛ لأن ‪10‬‏ أمتار هو طول وتر المثلث القائم الزاوية. وهذه المسافة ستكون الإزاحة في اتجاه الشمال.

وهذا مفيد جدًا عند التفكير في الاتجاهات على سبيل المثال. لذلك، من المهم أن نعرف أنه يمكننا تحليل المتجهات إلى مركباتها. والآن بعد أن فهمنا وجه الاختلاف بين المسافة والإزاحة ورأينا حالتين مشوقتين للإزاحة، هيا نلق نظرة على أحد أمثلة الأسئلة.

تطايرت ورقة شجرة بسبب الرياح. تحركت الورقة مسافة خمسة أمتار إلى الأمام، ثم تحركت ثلاثة أمتار إلى الخلف. ما المسافة التي قطعتها الورقة؟ ما الإزاحة الكلية للورقة في اتجاه الأمام؟

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا ورقة شجرة. وتطير هذه الورقة بفعل الرياح، بحيث تتحرك خمسة أمتار للأمام، ثم تتحرك ثلاثة أمتار للخلف. هذا يعني أن ورقة الشجرة تبدأ حركتها من هذا الموضع وتنتهي عند هذا الموضع. والمطلوب منا أولًا هو إيجاد المسافة التي قطعتها الورقة.

حسنًا، نتذكر أن تعريف المسافة هو طول المسار بين موضعين. في هذه الحالة، الموضعان هما موضع بداية حركة ورقة الشجرة وموضع نهايتها. إذن، المسار الذي تسلكه ورقة الشجرة هو التقدم أولًا للأمام خمسة أمتار ثم الرجوع للخلف ثلاثة أمتار. ومن ثم، فالمسافة الكلية التي قطعتها ورقة الشجر — وسنشير إليها بـ ‪𝑑 ‬‏— تساوي خمسة أمتار للأمام زائد ثلاثة أمتار تحركتها للخلف.

وذلك لأنه حتى إذا عادت ورقة الشجرة للخلف وتحركت في الاتجاه المعاكس لحركتها الابتدائية، فإن هذا لا يهم عندما نحاول حساب المسافة. المهم هو طول المسار الكلي. والطول الكلي لهذا المسار هو خمسة أمتار زائد ثلاثة أمتار، أي ثمانية أمتار في نهاية الأمر. إذن، يمكن أن نقول إن المسافة التي قطعتها ورقة الشجرة تساوي ثمانية أمتار.

يطلب منا الجزء الثاني من السؤال إيجاد الإزاحة الكلية للأمام لورقة الشجرة. كلمة «الكلية»، في هذه الحالة، تعني الإجمالية أو المحصلة. إذن، علينا إيجاد الإزاحة الإجمالية للأمام لورقة الشجرة. الإزاحة هي المسافة المستقيمة بين نقطتين، أو بعبارة أخرى هي أقصر مسافة بين نقطتين، وفي هذه الحالة بين موضع البدء وموضع الانتهاء مرة أخرى.

حسنًا، في هذه الحالة، المسافة المستقيمة بين هاتين النقطتين هي هذه المسافة هنا. ولكن تلك المسافة تساوي هذه الأمتار الخمسة كلها ناقص هذه الأمتار الثلاثة هنا. إذن، يمكن أن نقول إن إزاحة ورقة الشجرة، والتي سنسميها ‪𝑠‬‏، تساوي خمسة أمتار — وهي المسافة الكلية التي تحركتها الورقة للأمام — ناقص الأمتار الثلاثة التي تحركتها للخلف. وخمسة أمتار ناقص ثلاثة أمتار يساوي مترين.

والآن، يوجد أمران لم نفكر فيهما هنا. أولًا، علينا أن نتذكر أن الإزاحة هي كمية متجهة. وهذا يعني أن لها مقدارًا، أو قيمة، واتجاهًا. لماذا إذن لم نذكر الاتجاه هنا عندما أوجدنا إزاحة ورقة الشجرة؟ حسنًا، السبب أننا لسنا بحاجة لهذا؛ حيث ذكرها السؤال بالفعل. إذ كان المطلوب منا هو إيجاد الإزاحة الكلية للأمام لورقة الشجرة.

وفي الحقيقة، تتحرك ورقة الشجرة للأمام فعلًا؛ لأن التأثير الكلي أو التأثير الإجمالي لتحركها خمسة أمتار للأمام ثم لعودتها ثلاثة أمتار للخلف، يساوي حركة ورقة الشجرة مترين فقط للأمام. وبهذا، نكون قد حسبنا إزاحة ورقة الشجرة للأمام. ولن نحتاج لكتابة مترين للأمام لأن المطلوب بالفعل هو إيجاد الإزاحة للأمام.

إذن في هذه الحالات، لا نحتاج لكتابة الاتجاه. ولكن بشكل عام، علينا كتابته. من الجيد كتابة الاتجاه بالتأكيد. ولكننا على أي حال توصلنا إلى الإجابة النهائية. وهي أن الإزاحة الكلية للأمام لورقة الشجرة هي متران.

حسنًا، بعد أن تناولنا هذا المثال، هيا نلخص ما تعلمناه في هذا الدرس.

أولًا، عرفنا أن المسافة هي طول المسار بين موضعين. وهي أيضًا كمية قياسية. أي إن لها مقدارًا فقط. وثانيًا، عرفنا أن الإزاحة هي المسافة المستقيمة بين موضعين. وهي أيضًا كمية متجهة. وهذا يعني أن لها مقدارًا واتجاهًا.

وثالثًا، عرفنا أن مقدار، أو قيمة، إزاحة جسم يمكن أن يكون صفرًا حتى إذا كانت المسافة التي قطعها لا تساوى صفرًا. بعبارة أخرى، يمكن لجسم أن يبدأ عند نقطة معينة، ويسلك أي مسار، ثم يعود إلى موضع بدايته الأصلي. وسيكون الجسم قد قطع مسافة ما، وهذه المسافة لن تساوي صفرًا، ولكن إزاحة الجسم ستكون صفرًا؛ لأن نقطة بدايته هي نفسها نقطة نهايته. وبذلك، تصبح المسافة المستقيمة بين نقطتي البداية والنهاية هي صفر.

وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا تحليل الإزاحة إلى مركبتين. بعبارة أخرى، إذا كانت هذه، مثلًا، إزاحة جسم، فيمكننا تحليل هذه الإزاحة إلى مركبة أفقية ومركبة رأسية. وفي هذه الحالة تحديدًا، تشير المركبتان لليسار ولأعلى. إذن، هذه هي الطريقة التي سنتعامل بها مع المسافات والإزاحات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.