فيديو الدرس: تطبيقات على الدوال الأسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل واقعية بها دوال أسية. لكي نفعل ذلك، سنتذكر الصور العامة للدالة الأسية. سنبدأ بالدالة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ، حيث يكون الأساس ﺏ عددًا موجبًا لا يساوي واحدًا. لكن عندما نريد تمثيل بيانات واقعية بالصورة الأسية، فعلينا تعديل ذلك قليلًا. سنستخدم الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ. ويظل ﺏ عددًا موجبًا لا يساوي واحدًا. والمتغير المستقل، أي القوة، يمثل عادة الوحدة الزمنية. والمتغير ﺃ يمثل القيمة الابتدائية التي تقيسها الدالة.

يمكننا بسهولة معرفة القيمة الابتدائية عند ﺱ يساوي صفرًا، أي مع عدم مرور أي زمن. ولقد قلنا بالفعل إن الأساس ﺏ يجب أن يكون عددًا موجبًا لا يساوي واحدًا. تخبرنا قيمة الأساس ﺏ هذه بمعلومة عن معدل تغير الكمية خلال مدة زمنية. فهي توضح لنا كيف تتغير القيمة الابتدائية. وتندرج هذه التغيرات ضمن إحدى فئتين. إما أن تكون لدينا دالة تزداد بمرور الزمن، أو دالة تتناقص بمرور الزمن. وتمثل الزيادة النمو الأسي، بينما يمثل النقصان التضاؤل الأسي. عندما نتعامل مع النمو الأسي، فإن قيمة ﺏ تكون أكبر من واحد. وعندما نتعامل مع التضاؤل الأسي، تكون قيمة ﺏ أقل من واحد.

لكن تذكر أننا قلنا بالفعل إن قيمة ﺏ يجب أن تكون موجبة. وهذا يعني أنه في حالة التضاؤل الأسي، يجب أن تكون قيمة ﺏ بين صفر وواحد. قبل تناول أي أمثلة، هناك أمر آخر علينا ملاحظته بشأن هذا المعدل، أي قيمة ﺏ. في التمثيل الأسي، غالبًا ما نتعامل مع زيادة أو نقصان في النسبة المئوية. وعلينا أن نفكر جيدًا في كيفية تحويل مقدار زيادة النسبة المئوية أو نقصانها إلى أساس لمقدار أسي.

لنفترض أننا نريد تمثيل نقصان بنسبة ثلاثة بالمائة خلال مدة زمنية. وبما أننا نعلم أن هذا نقصان، فإننا نعلم أننا نبحث عن أساس مقدار أسي تكون قيمته بين صفر وواحد. ونعرف أيضًا أن ثلاثة بالمائة يساوي ثلاثة على ١٠٠، أو يكتب في صورة العدد العشري ٠٫٠٣. لكن هذه الدالة تمثل التغير في الكمية الابتدائية خلال مدة زمنية. وهذا يعني أننا لا نمثل الكمية التي فقدناها؛ بل نمثل الكمية المتبقية خلال كل وحدة زمنية. فإذا كان النقصان ثلاثة بالمائة، فسيتبقى ٩٧ بالمائة. وهذا يعني أنه، على صورة دالة، يمكننا التعبير عن ذلك على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ٠٫٩٧ أس ﺱ. يمكننا أيضًا تمثيل هذا في صورة الكسر ٩٧ على ١٠٠ أس ﺱ، لكن الأكثر شيوعًا في هذا النوع من التمثيل هو استخدام الصورة العشرية.

والآن دعونا نفكر كيف يمكننا تمثيل زيادة بنسبة ثلاثة بالمائة. يمكن كتابة هذه النسبة المئوية في صورة العدد العشري ٠٫٠٣. هذا يعني أننا نكتسب في كل وحدة زمنية ثلاثة بالمائة من القيمة الابتدائية. وعند التعامل مع النمو الأسي، فإن قيمة ﺏ تكون أكبر من واحد. وما يحدث هنا هو أن لدينا ١٠٠ بالمائة من القيمة التي بدأنا بها زائد زيادة بنسبة ثلاثة بالمائة لكل وحدة زمنية. ونمثل ذلك على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ١٫٠٣ أس ﺱ. عند التمثيل، نلاحظ وجود بعض النسب الشائعة مرارًا وتكرارًا. إذا كانت القيمة تتضاعف في كل وحدة زمنية، فإن قيمة ﺏ تساوي اثنين. وإذا كان التغير خلال مدة زمنية يساوي نصفًا، فإن قيمة ﺏ تساوي نصفًا. والآن، أصبحنا مستعدين لتناول بعض الأمثلة.

ينخفض عدد الأشخاص الذين يزورون أحد المتاحف بنسبة ثلاثة بالمائة كل عام. زار المتحف ‎٥٠ ألف زائر في هذا العام. بفرض أن الانخفاض يستمر بنفس الوتيرة‎، اكتب معادلة يمكن استخدامها لإيجاد ﺯ، عدد الزائرين في ﻥ سنة.

عندما نتعامل مع تناقص نسبة مئوية، فإننا لا نتعامل مع دالة خطية؛ ومن ثم نعلم أننا سنحتاج إلى دالة أسية لتمثيل ذلك. وهذا يعني أننا سنستخدم الصورة العامة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ. المتغير ﺏ هو معدل التغير. والمتغير ﺱ يمثل الوحدة الزمنية التي نقيسها. وﺃ يمثل القيمة الابتدائية. علينا أن نوضح هنا أننا نريد تمثيل عدد الزوار الذين سيكونون في المتحف.

التناقص بنسبة ثلاثة بالمائة من الزوار يعني أن نسبة الزوار المتبقين هي ٩٧ بالمائة. وبما أننا نمثل عدد الزوار، فسنستخدم النسبة ٩٧ بالمائة. سنكتب هذه النسبة المئوية في صورة العدد العشري ٠٫٩٧. نحن نعلم أن قيمة ﺱ تقاس بعدد ﻥ من السنين. والقيمة الابتدائية هي ٥٠ ألف زائر هذه السنة. يمكن تمثيل المعادلة باستخدام ﺯ حتى نحصل على المعادلة ﺯ يساوي ‎٥٠ ألفًا في ٠٫٩٧ أس ﻥ.

في المثال التالي، سيكون لدينا نموذج وعلينا تفسير البيانات من هذا النموذج.

يقل عدد البكتيريا نتيجة لاستخدام إحدى المعالجات الكيميائية. يمكن تمثيل عدد البكتيريا بعد ﻥ ساعة من استخدام هذه المعالجة بالدالة ﻉﻥ؛ حيث ﻉﻥ تساوي ٦٠٠٠ في ٠٫٤ أس ﻥ. ماذا كان العدد عندما استخدمت المعالجة الكيميائية لأول مرة؟ وما معدل تناقص عدد البكتيريا؟

لدينا هنا الدالة على الصورة العامة ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ. في هذه الصورة، ﺃ يمثل القيمة الابتدائية، وهو ما يعني أن ٦٠٠٠ هو القيمة الابتدائية. إحدى الطرق للتأكد من صحة ذلك هي التعويض عن ﻥ بصفر. عند مرور صفر من الزمن، فإننا نعلم أن عدد البكتيريا هو العدد الأصلي. ‏٠٫٤ أس صفر يساوي واحدًا، و٦٠٠٠ في واحد يساوي ٦٠٠٠، وهو ما يؤكد القيمة الابتدائية للبكتيريا. سننتقل الآن إلى معدل تناقص عدد البكتيريا.

في هذا النموذج، نحن نعلم أن قيمة ﺏ تخبرنا بالمعدل. والدالة مكتوبة بحيث تخبرنا بعدد البكتيريا المتبقية بعد عدد ﻥ من الساعات. إذا تبقى ٠٫٤، فإن ٠٫٦ هو المقدار الذي تناقص. إذا بدأنا بالمقدار الكلي واحد، فسيعطينا معدل التناقص القيمة ٠٫٤ لعدد البكتيريا المتبقية. وقيمة التناقص هنا هي ٠٫٦. عادة ما نرغب في كتابتها في صورة نسبة مئوية، فنقول إن هناك تناقصًا بنسبة ٦٠ بالمائة. يوضح لنا هذا النموذج أنه بعد المعالجة الكيميائية، يقل عدد البكتيريا بمعدل ٦٠ بالمائة في الساعة.

في المثال التالي، سنكتب نموذجًا ونستخدمه لإيجاد كمية بعد فترة زمنية معينة.

يتكاثر كائن حي دقيق بالانشطار الثنائي؛ حيث تنشطر كل خلية إلى خليتين كل ساعة. إذا كان عدد الخلايا في البداية ١٥١٤١ خلية، فأوجد عدد الخلايا بعد مرور خمس ساعات.

بما أن هذا الكائن الحي الدقيق يتكاثر، فسنتوقع عددًا أكبر من الخلايا وليس أقل؛ ما يعني أننا نتوقع نموًّا أسيًّا. وحدة الزمن لدينا هي كل ساعة. هذا يعني أنه يمكننا جعل ﻥ يساوي عدد الساعات التي تمر بعد القيمة الابتدائية. إذا كانت الخلية الواحدة تنقسم إلى خليتين كل ساعة، فهذا يعني أن الخلية الواحدة تصبح خليتين خلال ساعة. وبعد ساعة إضافية، تصبح الخليتان أربعة. وهذا يمثل مضاعفة عدد الخلايا كل ساعة.

إذن، سنستخدم الصورة الأسية ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ، حيث ﺃ هو القيمة الابتدائية ١٥١٤١. وﺏ هو المعدل. وبما أن المعدل يتضاعف، فإن ﺏ يساوي اثنين. وسيكون المتغير لدينا هو ﻥ. وهو الوحدة الزمنية. نريد الآن أن نستخدم هذه الدالة لإيجاد عدد الخلايا الموجودة بعد مرور خمس ساعات؛ ما يعني أن علينا حساب ١٥١٤١ في اثنين أس خمسة، وهو ما يساوي ٤٨٤٥١٢. إذن، بعد مرور خمس ساعات، يمكننا أن نتوقع أن يحتوي هذا الكائن الحي الدقيق على ٤٨٤٥١٢ خلية.

في المثال الأخير، سنأخذ بعض البيانات المعطاة ونستخدمها في تكوين نموذج نمو سكاني.

يجرى تعداد لسكان الولايات المتحدة الأمريكية كل ١٠ أعوام. بلغ تعداد سكان مدينة تكساس ٣٫٠٥ ملايين في عام ١٩٠٠، وبلغ ٢٠٫٩ مليونًا في عام ٢٠٠٠. بتمثيل النمو السكاني باستخدام نموذج أسي، أجب عن الأسئلة الآتية. اكتب دالة أسية على الصورة ﺩﻉ تساوي ﺩ صفر في ﻙ أس ﻉ لتمثيل عدد سكان تكساس، بالمليون، بعد مرور ﻉ من العقود من عام ١٩٠٠. قرب قيمة ﻙ لأقرب ثلاث منازل عشرية إذا لزم الأمر. وفقًا للنموذج، ماذا كان عدد سكان تكساس في عام ١٩٥٠؟ وضح إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. وأخيرًا، أعد كتابة الدالة على الصورة ﺩﺹ تساوي ﺩ صفر في ﺏ أس ﺹ، حيث ﺹ يمثل الزمن بالسنوات بعد عام ١٩٠٠. قرب قيمة ﺏ لأقرب أربع منازل عشرية.

دعونا نبدأ بما نعرفه من معطيات. في عام ١٩٠٠، كان عدد السكان ٣٫٠٥ ملايين. وبحلول عام ٢٠٠٠، أصبحت تلك القيمة ٢٠٫٩ مليونًا. نحن نعلم أن الصورة العامة للدالة الأسية هي ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ. ونتبع هذه الصورة العامة مع الدالة ﺩﻉ تساوي ﺩ صفر في ﻙ أس ﻉ، حيث يمثل ﻉ الزمن بالعقود بعد عام ١٩٠٠. وهذا يعني أن القيمة الابتدائية ﺩ صفر يتعين أن يكون تعداد السكان عام ١٩٠٠. وبما أننا نستخدم وحدة المليون، يمكننا ترك القيمة ٣٫٠٥ كما هي. وﻙ هي القيمة المجهولة لدينا. لإيجاد قيمة ﻙ، يمكننا استخدام نقطة بيانات أخرى.

إننا نعلم أنه في عام ٢٠٠٠ كان التعداد السكاني ٢٠٫٩ مليونًا. كما نعلم أن عام ٢٠٠٠ كان بعد عشرة عقود من عام ١٩٠٠. بالتعويض بكل هذه القيم، يمكننا استخدام هذه المعطيات لإيجاد قيمة ﻙ. لجعل ﻙ في طرف بمفرده، نقسم طرفي المعادلة على ٣٫٠٥، ما يعطينا ٦٫٨٥٢٤ مع توالي الأرقام يساوي ﻙ أس ١٠. وبدلًا من تقريب هذه القيمة، سنتركها على الآلة الحاسبة كما هي. ولعزل ﻙ، نرفع طرفي هذه المعادلة إلى القوة عشر. ‏ﻙ أس ١٠ أس عشر يساوي ﻙ، و٦٫٨٥٢٤ مع توالي الأرقام أس عشر يساوي ١٫٢١٢٢٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام. نحن نريد تقريب قيمة ﻙ هذه لأقرب ثلاث منازل عشرية.

والمنزلة العشرية الرابعة بها اثنان. إذن، يمكننا القول إن ﻙ يساوي ١٫٢١٢. قيمة ﻙ هذه أكبر من واحد؛ ما يعني أننا نتعامل مع نمو سكاني. وإذا فكرنا في العدد العشري ٠٫٢١٢ كنسبة مئوية، فيمكننا القول إن عدد السكان ينمو بمعدل ٢١٫٢ بالمائة تقريبًا كل عقد. وبذلك، نكون قد كونا نموذجًا لحساب عدد السكان بعد مرور عدد ﻉ من العقود من عام ١٩٠٠. ‏ﺩﻉ تساوي ٣٫٠٥ في ١٫٢١٢ أس ﻉ. باستخدام هذا النموذج، نريد تقدير عدد السكان في عام ١٩٥٠. يمثل ١٩٥٠ مرور ٥٠ عامًا بعد عام ١٩٥٠؛ أي مرور خمسة عقود. لحساب هذا، سنجد لدينا ﺩ لخمسة و٣٫٠٥ في ١٫٢١٢ أس خمسة، وهو ما يساوي ٧٫٩٧٦٥ وهكذا مع توالي الأرقام. ونحصل في هذه الحالة على ثلاثة أرقام معنوية بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين. وإذا قربنا لأقرب منزلتين عشريتين، فسنحصل على ٧٫٩٨. استنادًا إلى النموذج الذي لدينا، يمكننا توقع أن إجمالي عدد سكان ولاية تكساس في عام ١٩٥٠ كان ٧٫٩٨ ملايين.

في الجزء الثالث من هذا السؤال، نريد إعادة كتابة النموذج الأسي، حيث تكون الوحدة الزمنية هي السنوات بدلًا من العقود. وسيكون ذلك مشابهًا تمامًا لما فعلناه في الجزء الأول. وستظل القيمة الابتدائية ٣٫٠٥ كما هي. لكن لإيجاد قيمة ﺹ، سنستخدم نقطة البيانات الثانية. في عام ٢٠٠٠، كان عدد السكان ٢٠٫٩ مليونًا. وهذا بعد مرور ١٠٠ عام من القيمة الابتدائية. إذن، سنعوض عن ﺹبـ ١٠٠، ويمكننا بعد ذلك الحل لإيجاد قيمة ﺏ. بقسمة طرفي المعادلة على ٣٫٠٥، نحصل على ٦٫٨٥٢٤ مع توالي الأرقام يساوي ﺏ أس ١٠٠. مرة أخرى، نحن لا نريد حتى الآن تقريب القيمة ٦٫٨٥٢ مع توالي الأرقام. سنتركها فقط على الآلة الحاسبة لكي نتمكن من رفع طرفي هذه المعادلة إلى القوة واحد على ١٠٠.

‏ﺏ أس ١٠٠ الكل أس واحد على ١٠٠ يساوي ﺏ. و ٦٫٨٥٢٤ مع توالي الأرقام أس واحد على ١٠٠ يساوي ١٫٠١٩٤٣ وهكذا مع توالي الأرقام. سنقرب هذه القيمة لأقرب أربع منازل عشرية هذه المرة؛ ما يعني أننا سنستخدم ﺏ يساوي ١٫٠١٩٤. سنجد هنا أن قيمة ﺏ أقل من قيمة ﻙ. ووفقًا لقيمة ﺏ، فإن النمو السكاني في السنة كان ١٫٩٤ بالمائة مقابل النمو السكاني بنسبة ٢١٫٢ بالمائة في العقد. إذن، في هذا النموذج السنوي، لدينا ﺩﺹ تساوي ٣٫٠٥ في ١٫٠١٩٤ أس ﺹ.

والآن، نحن مستعدون لمراجعة النقاط الأساسية التي تناولناها. الصورة الأسية لتمثيل مسائل واقعية هي ﺩﺱ تساوي ﺃ في ﺏ أس ﺱ، حيث ﺃ هو الكمية الابتدائية وﺏ هو مقدار تغير تلك الكمية خلال مدة زمنية؛ فعندما تكون قيمة ﺏ أكبر من واحد، يكون لدينا نمو أسي وعندما تكون قيمة ﺏ بين صفر وواحد، يكون لدينا تضاؤل أسي، وﺱ هي الوحدة الزمنية.