فيديو السؤال: تحديد نوع جذري معادلة تربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حدد نوع جذري المعادلة ﺱ ناقص تسعة ناقص ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا.

حسنًا، أول ما علينا فعله في هذه المسألة هو توزيع الضرب على ما بداخل القوسين ثم التبسيط. لذا، سنفعل ذلك. سنضرب سالب ﺱ الموجود قبل القوسين فيما بداخلهما؛ أي في ﺱ وسالب خمسة. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺱ ناقص تسعة ناقص ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ يساوي صفرًا. علينا بعد ذلك إعادة ترتيب المعادلة لتصبح على هذه الصورة. هذه الصورة هي صورة المعادلة التربيعية؛ ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ﺱ تربيع. ثم موجب ستة ﺱ؛ لأن لدينا موجب خمسة ﺱ ولدينا أيضًا ﺱ. وبجمعهما معًا، نحصل على موجب ستة ﺱ، ثم لدينا سالب تسعة. وكل ذلك يساوي صفرًا.

حسنًا، بما أننا نريد الآن إيجاد نوع جذري المعادلة، سنستخدم ما يسمى بالمميز. يمكن إيجاد قيمة المميز عن طريق تربيع ﺏ، ثم طرح أربعة مضروبًا في ﺃﺟ. لكن إلى ماذا يشير ﺏ وﺃ وﺟ؟ حسنًا، إذا نظرنا لأعلى هنا حيث لدينا المعادلة التربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، فإننا نجد أن ﺃ هو معامل حد ﺱ تربيع، وﺏ هو معامل حد ﺱ، وﺟ هو القيمة العددية في نهاية المعادلة.

لكن يمكننا هنا طرح هذا السؤال: لماذا يعتبر المميز مفيدًا بالفعل؟ حسنًا، إنه مفيد لأنه يخبرنا بنوع جذري المعادلة التربيعية. وذلك لأنه إذا كانت قيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ أكبر من صفر، فإن الجذرين يكونان حقيقيين ومختلفين. وإذا كانت قيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ تساوي صفرًا، فإن الجذرين يكونان حقيقيين ومتساويين. وإذا كانت قيمة ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ أقل من صفر، فإن الجذرين، في الواقع، يكونان مركبين وليسا حقيقيين.

إذا نظرنا إلى المعادلة التربيعية المعطاة، نجد أن لدينا قيم ﺃ وﺏ وﺟ. ‏ﺃ يساوي سالب واحد، وﺏ يساوي ستة، وﺟ يساوي سالب تسعة. حسنًا، إذا حسبنا قيمة المميز، فسنحصل على ستة تربيع، لأن هذه هي قيمة ﺏ تربيع، ناقص أربعة مضروبًا في سالب واحد مضروبًا في سالب تسعة. حسنًا، هذا يعطينا ٣٦؛ حيث ستة تربيع يساوي ٣٦، ناقص ٣٦. وذلك لأن لدينا أربعة مضروبًا في سالب واحد، ما يساوي سالب أربعة، مضروبًا في سالب تسعة. ونحن نعلم أن قيمة سالبة مضروبة في قيمة سالبة تعطينا قيمة موجبة، ومن ثم نحصل على ٣٦. إذن، يصبح لدينا ٣٦ ناقص ٣٦. وهذا يساوي صفرًا.

إذن، يمكننا قول إن قيمة المميز أو ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ تساوي صفرًا. لذلك، يمكننا قول إن إجابة السؤال: ما نوع جذري المعادلة ﺱ ناقص تسعة ناقص ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا، هي أنهما حقيقيان ومتساويان. وذلك لأن قيمة المميز تساوي صفرًا.