فيديو السؤال: إيجاد سرعة جسم باستخدام مقدار يعبر عن الموضع بدلالة الزمن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بدأ جسم في التحرك في خط مستقيم. بعد ﻥ ثانية، كان موضعه بالنسبة إلى نقطة ثابتة يعبر عنه بالمقدار ﺭ يساوي ﻥ تربيع زائد أربعة ﻥ ناقص واحد متر، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد سرعة الجسم عند ﻥ يساوي خمس ثوان.

لدينا في المعطيات موضع جسم بالنسبة لنقطة ثابتة عند الزمن ﻥ ثانية. هذه إذن دالة في الزمن. وهذا يعني أنه ليس بالضرورة أن يتحرك الجسم بسرعة ثابتة. بالتالي علينا إيجاد مقدار يعبر عن سرعة الجسم عند زمن معين ﻥ ثانية.

دعونا إذن نتذكر ما نعنيه بكلمة «سرعة». إنها التغير في إزاحة الجسم عبر الزمن. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد دالة للسرعة عن طريق اشتقاق دالة الإزاحة، أو موضع الجسم بالنسبة لنقطة ثابتة، بالنسبة إلى الزمن.

إذن كيف نشتق المقدار ﻥ تربيع زائد أربعة ﻥ ناقص واحد؟ نضرب كل حد في أسه. ثم ننقص هذا الأس بمقدار واحد. إذن اشتقاق ﻥ تربيع يساوي اثنين في ﻥ أس واحد. وهذا يساوي اثنين ﻥ. واشتقاق أربعة ﻥ يساوي واحدًا في أربعة ﻥ أس صفر. وﻥ أس صفر يساوي واحدًا. إذن اشتقاق ذلك يساوي أربعة. واشتقاق الثابت يساوي صفرًا. والسبب في ذلك أن سالب واحد في ﻥ أس صفر. وبالضرب في الأس صفر، نحصل على صفر.

ومن ثم يمكننا القول إن السرعة عند ﻥ ثانية تعطى بالمقدار اثنين ﻥ زائد أربعة. وبما أن الإزاحة بالمتر والزمن بالثانية، يمكننا القول إن السرعة تساوي اثنين ﻥ زائد أربعة أمتار في الثانية. ولإيجاد السرعة عند ﻥ يساوي خمس ثوان، نعوض بخمسة في هذا المقدار. عند ﻥ يساوي خمسة، ﻉ يساوي اثنين في خمسة زائد أربعة. اثنان في خمسة يساوي ١٠.

إذن السرعة تساوي ١٤ مترًا في الثانية.

وفي هذه المرحلة، من المفيد أن نذكر أنفسنا برسم يمكن أن يساعدنا في استرجاع العلاقة بين الإزاحة، والسرعة، والعجلة. رأينا منذ قليل أنه يمكننا اشتقاق مقدار الإزاحة بالنسبة إلى الزمن لنحصل على مقدار يعبر عن السرعة.

وبالمثل، يمكننا اشتقاق مقدار للسرعة بالنسبة إلى الزمن لنحصل على مقدار يعبر عن العجلة. وبما أن التكامل عكس الاشتقاق، يمكننا إذن إيجاد مقدار يعبر عن السرعة عن طريق تكامل مقدار يعبر عن العجلة بالنسبة إلى الزمن. وأخيرًا، يمكننا تكامل مقدار يعبر عن السرعة بالنسبة إلى الزمن لكي نحصل على مقدار يعبر عن الإزاحة ﺭ.