فيديو السؤال: إيجاد المسافة العمودية من نقطة معطاة إلى خط مستقيم يمر بنقطتين معطاتين الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المسافة العمودية من النقطة سالب ثلاثة، سالب أربعة، صفر إلى المستقيم المار بالنقطتين واحد، ثلاثة، واحد، وأربعة، ثلاثة، اثنين، لأقرب منزلة عشرية.

لعلنا نتذكر أنه يمكننا إيجاد المسافة العمودية بين النقطة ﺏ والمستقيم الذي متجه اتجاهه ﻫ بمعلومية النقطة ﺃ على المستقيم باستخدام الضرب الاتجاهي. بين النقطتين ﺃ وﺏ ونقطة التقاطع بين المستقيم والعمودي عليه من ﺏ، يتكون لدينا مثلث قائم الزاوية طول وتره يساوي معيار المتجه ﺃﺏ.

في هذا المثلث القائم الزاوية، طول الضلع المقابل للزاوية المحصورة بين المتجه ﺃﺏ والمتجه ﻫ يساوي معيار الوتر، وهو المتجه ﺃﺏ، مضروبًا في جيب الزاوية 𝜃 المحصورة بين المتجه ﺃﺏ والمتجه ﻫ. نتذكر أن معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻫ يساوي معيار المتجه ﺃﺏ مضروبًا في معيار المتجه ﻫ مضروبًا في جيب الزاوية المحصورة بين المتجهين، وهي 𝜃.

عند إعادة ترتيب ذلك بالقسمة على معيار المتجه ﻫ، نحصل في الطرف الأيسر على المقدار الذي يمثل المسافة العمودية، وهو معيار المتجه ﺃﺏ مضروبًا في جا 𝜃. إذن يمكننا استخدام هذا المقدار الموجود في الطرف الأيمن لحساب المسافة العمودية بين النقطة والمستقيم.

علينا الآن إيجاد كلا المتجهين في هذا المقدار، وهما المتجه ﺃﺏ والمتجه ﻫ. النقطة ﺏ هي سالب ثلاثة، سالب أربعة، صفر. يمكننا افتراض أن النقطة ﺃ هي أي من النقطتين اللتين تقعان على المستقيم. لذا دعونا نختر النقطة الأولى، وهي واحد، ثلاثة، واحد. سنسمي النقطة الأخرى ﺟ. يمكننا إيجاد متجه اتجاه المستقيم ﻫ بحساب الفرق بين متجه الموضع للنقطة ﺟ، وهو ﻭﺟ، ومتجه الموضع للنقطة ﺃ، وهو ﻭﺃ. تتضمن معطيات السؤال هاتين النقطتين وهما أربعة، ثلاثة، اثنان، وواحد، ثلاثة، واحد، على الترتيب. بحساب هذا الفرق، نحصل على المتجه ﻫ يساوي ثلاثة، صفرًا، واحدًا.

نلاحظ أن متجه الاتجاه هذا ليس المتجه الوحيد. يمكن أيضًا ضرب أي عدد ثابت في ﻫ؛ لأننا نقسم على معيار المتجه ﻫ في المقدار. إذن، لا يهمنا سوى اتجاهه. وبالمثل، نحصل على المتجه ﺃﺏ بحساب متجه الموضع للنقطة ﺏ، وهو ﻭﺏ، ناقص متجه الموضع للنقطة ﺃ، وهو ﻭﺃ. تتضمن معطيات السؤال هاتين النقطتين وهما سالب ثلاثة، سالب أربعة، صفر وواحد، ثلاثة، واحد، على الترتيب. بحساب هذا الفرق، نحصل على المتجه ﺃﺏ يساوي سالب أربعة، سالب سبعة، سالب واحد.

لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لإيجاد قيمة المسافة العمودية. دعونا نفرغ بعض المساحة قبل متابعة الحل. لدينا المتجه ﻫ يساوي ثلاثة، صفر، واحد والمتجه ﺃﺏ يساوي سالب أربعة، سالب سبعة، سالب واحد. نحسب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻫ بكتابة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وعناصرها ﺱ، ﺹ، ‏ﻉ، سالب أربعة، سالب سبعة، سالب واحد، ثلاثة، صفر، واحد. بحساب هذا المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على ﺱ في سالب سبعة ناقص صفر ناقص 𝐣 في سالب أربعة ناقص سالب ثلاثة زائد ﻉ في صفر ناقص سالب ٢١. وبفك الأقواس والتبسيط، نجد أن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻫ يساوي سالب سبعة، واحدًا، ٢١.

معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. إذن، بحساب معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ في المتجه ﻫ على معيار المتجه ﻫ، نحصل على الجذر التربيعي لسالب سبعة تربيع زائد واحد تربيع زائد ٢١ تربيع الكل على الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد صفر تربيع زائد واحد تربيع. يمكن تبسيط هذا المقدار إلى الجذر التربيعي لـ ٤٩١ على الجذر التربيعي لـ ١٠. بإجراء هذه العملية الحسابية، نحصل على المسافة بين النقطة سالب ثلاثة، سالب أربعة، صفر والمستقيم المار بالنقطتين واحد، ثلاثة، واحد، وأربعة، ثلاثة، اثنين، وهي ٧٫٠ وحدات طول لأقرب منزلة عشرية.