فيديو: حالات خاصة لنظم المعادلات الخطية

يوضح الفيديو حالات خاصة لنظم المعادلات الخطية، وهي ألَّا يصل للصورة المثلثية أو أن يكون عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات، وأمثلةً على ذلك.

١٠:٤٤

‏نسخة الفيديو النصية

حالات خاصة لنُظم المعادلات الخطية.

في الفيديو ده هنتعرف على حالات خاصة من نظم المعادلات الخطية، اللي بيكون فيها نظم معادلات خطية بدون حلول، ونظم معادلات خطية ليها عدد لا نهائي من الحلول.

إذا كنا بنحل نظام معادلات خطية باستخدام المصفوفات، ولقينا إننا ما نقدرش نوصل للصورة المثلثية المختزلة، فده بيدل على حاجة من اتنين؛ إما إن نظام المعادلات ليس له حلول، أو إن نظام المعادلات ليه عدد لا نهائي من الحلول.

نحل مثال: أوجد حل نظام المعادلات: سالب خمسة س ناقص اتنين ص زائد ع بيساوي اتنين، أربعة س ناقص ص ناقص ستة ع بيساوي اتنين، سالب تلاتة س ناقص ص زائد ع بيساوي واحد.

نكتب المصفوفة الموسعة المناظرة لنظام المعادلات، ونبدأ العمليات على الصفوف.

أول حاجة هنجمع سالب اتنين في الصف التالت مع الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول. فبالتالي العنصر الأول في الصف الأول بقى بيساوي واحد.

بعدين نجمع سالب أربعة في الصف الأول مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. وبالخطوة دي العنصر الأول في الصف التاني بقى بيساوي صفر.

بعد كده نجمع تلاتة في الصف الأول مع الصف التالت، ونكتب الناتج في الصف التالت. فالعنصر الأول في الصف التالت بقى بيساوي صفر.

بعدين نجمع سالب اتنين في الصف التالت مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. فالعنصر التاني في الصف التاني بقى بيساوي واحد.

ننقل آخر صورة وصلنا لها لصفحة تانية، ونكمل.

بعدين هنلاقي إننا لو جمعنا الصفين التاني والتالت، وكتبنا الناتج في الصف التالت؛ فالصف الأخير في المصفوفة هيبقى بالشكل ده. وده معناه إن صفر س، زائد صفر ص، زائد صفر ع، بيساووا واحد، وده شئ غير ممكن. وبالتالي نظام المعادلات ده ليس له حلول.

نحل مثال تاني: أوجد حل نظام المعادلات: تلاتة س زائد خمسة ص ناقص تمنية ع بيساوي سالب تلاتة، اتنين س زائد خمسة ص ناقص اتنين ع بيساوي سالب سبعة، سالب س ناقص ص زائد أربعة ع بيساوي سالب واحد.

نكتب المصفوفة الموسعة المناظرة لنظام المعادلات، ونبدأ العمليات على الصفوف. أول حاجة نطرح الصف التاني من الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول. فكده العنصر الأول من الصف الأول بقى بيساوي واحد.

بعدين نجمع اتنين في الصف التالت مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. وبالخطوة دي العنصر الأول في الصف التاني بقى بيساوي صفر.

بعد كده هنجمع الصف الأول مع الصف التالت، ونكتب الناتج في الصف التالت. فكده العنصر الأول في الصف التالت بقى بيساوي صفر.

بعدين نجمع اتنين في الصف التالت مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. فكده العنصر التاني في الصف التاني بقى بيساوي واحد.

ننقل اللي وصلنا له في صفحة تانية، ونكمل.

بعدين هنلاقي إننا لو جمعنا الصف التاني مع الصف التالت، وكتبنا الناتج في الصف التالت، فالصف الأخير في المصفوفة بقى كله أصفار. وده معناه إن نظام المعادلات المناظر ليه بقى: س ناقص ستة ع بيساوي أربعة، وَ ص زائد اتنين ع بيساوي سالب تلاتة. يعني معادلتين في تلات متغيرات. وبالتالي نظام المعادلات ده له عدد لا نهائي من الحلول.

ممكن نكتب صورة لحل نظام المعادلات ده، بإننا نوجد س وَ ص بدلالة ع، فحل نظام المعادلات هيبقى: س بتساوي ستة ع زائد أربعة، ص بيساوي سالب اتنين ع ناقص تلاتة، ع حيث ع أي عدد حقيقي.

أو ممكن برضو نعبّر عن الحل بالشكل: ستة ع زائد أربعة، سالب اتنين ع ناقص تلاتة، ع.

نلاحظ إن الحل اللي وصلنا له مش الشكل الوحيد؛ لأننا ممكن نوجد حلول أخرى بدلالة س أو ص بدلًا من ع.

برضو لمّا يكون عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات، فده معناه إن نظام المعادلات ليس له حلول، أو إن نظام المعادلات ليه عدد لا نهائي من الحلول. وبيكون من المهم في الحالة دي إننا نتأكد من الناتج بالتعويض في كل المعادلات الموجودة في النظام؛ لأن من الممكن إن الحل يكون صحيح بالنسبة لبعض المعادلات، وغير صحيح بالنسبة لباقي المعادلات.

نحل مثال: اوجد حل نظام المعادلات: تلاتة س ناقص تمنية ص زائد تسعتاشر ع ناقص اتناشر ل بيساوي ستة، اتنين س ناقص أربعة ص زائد عشرة ع بيساوي سالب تمنية، س ناقص تلاتة ص زائد خمسة ع ناقص اتنين ل بيساوي سالب واحد.

نكتب المصفوفة الموسعة المناظرة لنظام المعادلات، ونبدأ العمليات على الصفوف. أول حاجة هنبدّل الصف الأول مع الصف التالت. وبالشكل ده العنصر الأول في الصف الأول بقى بيساوي واحد.

بعدين نجمع سالب اتنين في الصف الأول مع الصف التاني، ونكتب الناتج في الصف التاني. فالعنصر الأول في الصف التاني بقى بيساوي صفر.

بعدين نجمع سالب تلاتة في الصف الأول مع الصف التالت، ونكتب الناتج في الصف التالت. فكده بقى العنصر الأول في الصف التالت بيساوي صفر.

بعدين نضرب الصف التاني في واحد على اتنين، فكده العنصر التاني في الصف التاني بقى بيساوي واحد.

ننقل اللي وصلنا له في صفحة تانية، ونكمل.

بعدين نجمع سالب واحد في الصف التاني مع الصف التالت، ونكتب الناتج في الصف التالت. فكده العنصر التاني في الصف التالت بقى بيساوي صفر.

بعدين نجمع تلاتة في الصف التاني مع الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول. فكده العنصر التاني في الصف الأول بقى بيساوي صفر.

بعدين نضرب الصف التالت في واحد على أربعة، فالعنصر التالت في الصف التالت بقى بيساوي واحد.

بعدين نجمع سالب خمسة في الصف التالت مع الصف الأول، ونكتب الناتج في الصف الأول. فكده العنصر التالت في الصف الأول بقى بيساوي صفر.

هنلاقي إن الشكل الحالي للمصفوفة صورة قريبه جدًّا من الصورة المثلثية المختزلة. فننقل الصورة دي للمصفوفة لصفحة تانية، ونكتب نظام المعادلات المناظر ليها. وبالتالي نظام المعادلات ليه عدد لا نهائي من الحلول؛ لأن أي قيمة لـ ل هنعوّض بيها في التلات معادلات، هينتج عنها حلول مختلفة.

فنوجد حل نظام المعادلات بدلالة ل. فهيبقى س بتساوي سالب أربعتاشر ل ناقص خمسة وعشرين، وَ ص بتساوي سالب اتنين ل ناقص تلاتة، وَ ع بتساوي اتنين ل زائد تلاتة، وَ ل حيث ل أي عدد حقيقي.

أو ممكن نعبر عنه بالصورة: سالب أربعتاشر ل ناقص خمسة وعشرين، سالب اتنين ل ناقص تلاتة، اتنين ل زائد تلاتة، ل.

دلوقتي عشان نتحقّق من الإجابة هنعوّض بقيمة لـ ل، ونحسب منها قيم س وَ ص وَ ع، ونعوّض بيها في نظام المعادلات الأصلي، ونشوف إذا كانت القيم دي هتحقّق المعادلات ولا لأ.

فهنفرض إن ل بتساوي واحد، فمنها س هتساوي سالب تسعة وتلاتين، وَ ص هتساوي سالب خمسة، وَ ع هتساوي خمسة.

نعوّض بالقيم في المعادلة الأولى من نظام المعادلات الأصلي، فهنلاقي إن تلاتة في سالب تسعة وتلاتين، ناقص تمنية في سالب خمسة، زائد تسعتاشر في خمسة، ناقص اتناشر في واحد؛ بيساوي فعلًا ستة. وبالتالي القيم حققت المعادلة الأولى.

وبالتعويض في المعادلة التانية، فهنلاقي إن اتنين في سالب تسعة وتلاتين، ناقص أربعة في سالب خمسة، زائد عشرة في خمسة؛ بيساوي فعلًا سالب تمنية. وبالتالي القيم حققت المعادلة التانية.

وبالتعويض في المعادلة التالتة، هنلاقي إن سالب تسعة وتلاتين، ناقص تلاتة في سالب خمسة، زائد خمسة في خمسة، ناقص اتنين في واحد؛ بيساوي فعلًا سالب واحد. وبالتالي القيم حقّقت المعادلة التالتة.

يبقى الصورة اللي وصلنا لها لحل نظام المعادلات هي صورة صحيحة.

يبقى في الفيديو ده حلّينا أمثلة على نظم معادلات خطية ما بتوصلش للصورة المثلثية المختزلة.

يبقى في الفيديو ده حلينا أمثلة على نظم معادلات خطية ما بتوصلش للصورة المثلثية المختزلة. وعلى أنظمة معادلات فيها عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. وفي الحالتين يبقى نظام المعادلات بدون حلول إذا كان فيه معادلة خطأ، أو بيكون ليه عدد لا نهائي من الحلول.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.