فيديو: إيجاد القيم المجهولة في دالة متعددة التعريف التي تجعلها قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة

افترض أن ‪𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 3‬‏ لكل ‪𝑥 < 4‬‏، ‪𝑓(𝑥) = 1/(𝑥 − 5)‬‏ ﻟﻜﻞ ‪𝑥 ≥ 4‬‏. إذا كانت 𝑓 قابلة للاشتقاق عند ‪𝑥 = 4‬‏، فأوجد قيمة ‪𝑎‬‏، ‪𝑏‬‏.

١١:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن: الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد ثلاثة ﻟﻜﻞ 𝑥 أقل من أربعة، وواحدًا على 𝑥 ناقص خمسة ﻟﻜﻞ 𝑥 أكبر من أو يساوي أربعة. إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي أربعة، فأوجد قيمة 𝑎، و𝑏.

إن الدالة 𝑓 دالة متعددة التعريف، تتغير قاعدتها عند 𝑥 يساوي أربعة. وما نبحث عنه هو قيمتا 𝑎 و𝑏 اللتان تجعلان الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي أربعة، حيث تتغير قاعدتها. ما معنى أن تكون الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي أربعة؟ يعني ذلك أن مشتقة 𝑓 للعدد أربعة، وهي نهاية 𝑓 لأربعة زائد ℎ ناقص 𝑓 لأربعة، الكل على ℎ عند اقتراب ℎ من الصفر، لا بد أن تكون موجودة

في هذا الفيديو، سنبدأ بإيجاد قيمة كل من 𝑎 و𝑏 اللتين معهما تكون هذه النهاية موجودة. وسنرى بعد ذلك أنه بعد أن نفعل ذلك ربما مرة واحدة، فيمكننا في المستقبل استخدام طريقة تجعل الأمر أسرع كثيرًا. وسنلقي بعد ذلك نظرة على التمثيل البياني للدالة لفهم معنى أن تكون دالة متعددة التعريف قابلة للاشتقاق عند النقطة التي تتغير فيها قاعدتها.

حسنًا، فلنبدأ بمعرفة متى تكون هذه النهاية موجودة؛ أي عند وجود النهايتين اليسرى واليمنى، وعندما تكونا متساويتين. فلنبدأ بالنهاية اليسرى، وهي النهاية عند اقتراب ℎ من الصفر من اليسار، أي بقيم صفر أو أقل من الصفر، ولكن مع الاقتراب أكثر فأكثر من الصفر. وبما أن ℎ أقل من الصفر، إذن أربعة زائد ℎ تكون أقل من أربعة. ونحن نعرف ما تساويه الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تكون 𝑥 أقل من أربعة؛ إنها تساوي 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد ثلاثة. لذا، 𝑓 لأربعة زائد ℎ يساوي 𝑎 في أربعة زائد ℎ تربيع، زائد 𝑏 في أربعة زائد ℎ، زائد ثلاثة.

وماذا عن 𝑓 لأربعة؟ عندما يكون 𝑥 أكبر من أو يساوي أربعة، تكون الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي واحدًا على 𝑥 ناقص خمسة. إذن، 𝑓 لأربعة تساوي واحدًا على أربعة ناقص خمسة. وبعد أن أكملنا البسط، نكتب المقام ℎ أيضًا. والآن، دعنا نبسط البسط عن طريق فك الأقواس والتوزيع. حاصل ضرب 𝑎 في أربعة زائد ℎ تربيع هو 𝑎ℎ تربيع زائد ثمانية 𝑎ℎ زائد 16𝑎، وحاصل ضرب 𝑏 في أربعة زائد ℎ هو أربعة 𝑏 زائد 𝑏ℎ، وثلاثة ناقص واحد على أربعة ناقص خمسة يساوي أربعة.

لدينا داخل النهاية إذن دالة تربيعية في المتغير ℎ بدلالة العددين 𝑎 و𝑏 اللذين يتعين علينا إيجادهما. فلنكتب ذلك بوضوح أكثر في صورة دالة تربيعية في المتغير ℎ. وبعد أن نفعل ذلك، يمكننا تقسيم الكسر إلى ثلاثة كسور. ويمكننا بعد ذلك تبسيط هذه الكسور. الكسر الأول يصبح 𝑎ℎ، والثاني يصبح ثمانية 𝑎 زائد 𝑏. ويمكننا الاستعانة بحقيقة أن نهاية مجموع دالتين هي مجموع نهايتيهما لنكتب هذه النهاية كمجموع نهايتين.

يمكن إيجاد قيمة النهاية الأولى عن طريق التعويض المباشر. نعوض بصفر عن ℎ. ما يعطي 𝑎 في صفر زائد ثمانية 𝑎 زائد 𝑏، وهو ما يساوي ثمانية 𝑎 زائد 𝑏. أما النهاية الأخرى، فهي مضاعفات دالة المقلوب واحد على ℎ عند اقتراب ℎ من الصفر. ونحن نعرف أن هذه النهاية غير معرفة. فما الذي علينا فعله الآن؟ فنحن نريد أن تصبح النهاية اليسرى معرفة. حسنًا، لا يزال من الممكن لهذا أن يحدث في حال كان أربعة زائد 16𝑎 زائد أربعة 𝑏 يساوي صفرًا. فلا يهم كون النهاية غير معرفة، لأننا نضربها في صفر. ويتبقى لدينا فقط ثمانية 𝑎 زائد 𝑏.

لإعادة صياغة هذا، نقول إنه كي تكون النهاية اليسرى موجودة ومن ثم، تكون هناك أي فرصة لمشتقة 𝑓 للعدد أربعة لأن تكون موجودة، فإن أربعة زائد 16𝑎 زائد أربعة 𝑏 يجب أن يساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، تكون قيمة النهاية اليسرى ثمانية 𝑎 زائد 𝑏.

وإذ بلغنا أقصى ما نستطيع بلوغه بخصوص النهاية اليسرى، نحتاج إلى أن نفكر بشأن النهاية اليمنى. تذكر أننا لا نحتاج إلى أن تكون قيمتها معرفة فحسب، بل أيضًا أن تكون مساوية للنهاية اليسرى كي تصبح فترة النهاية موجودة. سنعمل الآن على النهاية اليمنى. ℎ الآن أكبر من صفر، لكنها تقترب أكثر فأكثر من الصفر. ومن ثم، فأربعة زائد ℎ أكبر من أربعة. عندما يكون 𝑥 أكبر من أربعة، تكون الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي واحدًا على 𝑥 ناقص خمسة. إذن، فبالنسبة إلى النهاية اليمنى، فإن 𝑓 لأربعة زائد ℎ تساوي واحدًا على أربعة زائد ℎ ناقص خمسة.

و𝑓 لأربعة على الجانب الآخر لم تتغير. فلا تزال واحدًا على أربعة ناقص خمسة. ويمكننا تبسيط البسط على الفور، لأن سالب واحد على أربعة ناقص خمسة هو موجب واحد، وأربعة زائد ℎ ناقص خمسة هو ℎ ناقص واحد.

وللتبسيط أكثر، نضرب كلًا من البسط والمقام في ℎ ناقص واحد. ومن ثم في البسط، يتحول واحد على ℎ ناقص واحد إلى واحد، وواحد يصبح ℎ ناقص واحد. يمكننا حذف الواحد مع سالب واحد، فيتبقى لدينا ℎ فقط في البسط. ونحذف ℎ في البسط مع العامل ℎ في المقام، ما يترك لنا واحدًا على ℎ ناقص واحد في النهاية.

والآن، يمكن إيجاد قيمة النهاية عن طريق التعويض المباشر. نعوض بصفر عن ℎ، ونحصل على واحد على صفر ناقص واحد، أي واحد على سالب واحد، ما يساوي سالب واحد. إذن، فالنهاية اليمنى موجودة وتساوي سالب واحد.

والآن، إذ أصبح لدينا قيمتا النهايتين اليسرى واليمنى بدلالة 𝑎 و𝑏، يمكننا إذن إيجاد متى تكون فترة النهاية موجودة. حتى تصبح نهاية 𝑓 لأربعة زائد ℎ ناقص 𝑓 لأربعة، الكل على ℎ، عند اقتراب ℎ من الصفر، موجودة، يجب أن تكون النهايتان اليسرى واليمنى موجودتين ومتساويتين. وقد وجدنا أنه كي تكون النهاية اليسرى موجودة، يجب أن يكون أربعة زائد 16𝑎 زائد أربعة 𝑏 يساوي صفرًا. ولا توجد مشكلة مثل هذه في النهاية اليمنى. فهي موجودة وقيمتها سالب واحد.

لكن لكي تصبح النهايتان اليسرى واليمنى متساويتين، لا بد لثمانية 𝑎 زائد 𝑏 أن يساوي سالب واحد. لذا، سنكتب ذلك أيضًا. ومن ثم، يكون لدينا معادلتان خطيتان ومجهولان: 𝑎 و𝑏. ونأمل أن نتمكن من حل المعادلتين في آن واحد لإيجاد قيمتي 𝑎 و𝑏.

توجد طرق كثيرة لفعل ذلك. سأختار أن أعيد ترتيب المعادلة الثانية لكتابة 𝑏 بدلالة 𝑎. فبطرح ثمانية 𝑎 من كلا الطرفين نحصل على 𝑏 يساوي سالب واحد ناقص ثمانية 𝑎. والآن، يمكننا التعويض بسالب واحد ناقص ثمانية 𝑎 عن 𝑏 في المعادلة الأولى، لنحصل على معادلة بدلالة 𝑎 وحدها.

نجري التوزيع والتبسيط، فنحذف الأربعتين لنصل إلى أن 𝑎 يساوي صفرًا، ونستخدم هذه القيمة لـ 𝑎 لإيجاد قيمة 𝑏. ومن ثم، يساوي 𝑏 سالب واحد ناقص ثمانية في صفر، ما يساوي سالب واحد. إذن، هذه هي الإجابة. وبذلك، نكون قد نجحنا في إيجاد قيمتي 𝑎 و𝑏 اللتين تجعلان الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي أربعة. أوجدنا ذلك من التعريف الأساسي للاشتقاق باستخدام تعريف أن الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي أربعة.

والآن، دعنا ننظر إلى الشرطين اللازمين هنا، ونر ما إذا كان باستطاعتنا إيجاد القيمتين المجهولتين من دون كل هذه الخطوات. هذا الشرط الذي يبرز ضرورة أن يكون أربعة زائد 16𝑎 زائد أربعة 𝑏 يساوي صفرًا، والذي احتجناه لتصبح النهاية اليسرى موجودة، يأتي من حقيقة وجوب أن تكون الدالة 𝑓 متصلة عند 𝑥 يساوي أربعة. أي أن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عند اقتراب 𝑥 من أربعة لا بد أن تكون 𝑓 لأربعة. وحتى تصبح الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة، فلا بد أن تكون متصلة عند هذه النقطة.

أما الشرط الآخر، وهو وجوب أن تكون النهاية اليسرى ثمانية 𝑎 زائد 𝑏 مساوية للنهاية اليمنى، سالب واحد، فهو يأتي من مشتقتي قاعدتي الدالة 𝑓 على كل جهة من 𝑥 يساوي أربعة. يمكنك التأكد من أن ثمانية 𝑎 زائد 𝑏 هو مشتقة 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد ثلاثة عند 𝑥 يساوي أربعة، وسالب واحد هو مشتقة واحد على 𝑥 ناقص خمسة عند 𝑥 يساوي أربعة.

فلنعتبر أن الدالة العامة متعددة التعريف 𝑓 في المتغير 𝑥 هي الدالة 𝑔 في المتغير 𝑥 إذا كان 𝑥 أقل من 𝑐، وهي الدالة ℎ في المتغير 𝑥 إذا كان 𝑥 أكبر من أو يساوي 𝑐، وافترض أنك تريد أن تعرف ما إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة للاشتقاق عند 𝑥 يساوي 𝑐. لتيسير الأمر على أنفسنا، دعنا نفترض كذلك أن كلًا من الدالتين 𝑔 وℎ قابلتان للاشتقاق عند 𝑥 يساوي 𝑐. ومن ثم، فالمشكلة الوحيدة تكمن في خاصية تعدد التعريف للدالة 𝑓. والإجابة هي أن هذا صحيح إذا كانت الدالة 𝑔 لـ 𝑐 تساوي الدالة ℎ لـ 𝑐، ومشتقة الدالة 𝑔 عند 𝑐 تساوي مشتقة الدالة ℎ لـ 𝑐. يضمن الشرط الأول، 𝑔 لـ 𝑐 يساوي ℎ لـ 𝑐، أن 𝑓 متصلة عند 𝑥 يساوي 𝑐. ولا يتعين فقط على قيم الدالتين 𝑔 و𝑐 التساوي عند 𝑥 يساوي 𝑐، بل يتعين ذلك على مشتقاتهما أيضًا.

فلنرجع إلى المسألة ونلق نظرة على اثنين من التمثيلات البيانية. هذا هو التمثيل البياني للدالة التي انتهينا إليها، ومشار هنا إلى نقطة تغيير عند 𝑥 يساوي أربعة. على يسار هذه النقطة، الدالة معطاة بالقاعدة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي 𝑎𝑥 تربيع زائد 𝑏𝑥 زائد ثلاثة، حيث 𝑎 يساوي صفرًا و𝑏 يساوي سالب واحد كما أوجدنا.

إذن، فالمعادلة هنا هي 𝑦 يساوي صفرًا 𝑥 تربيع ناقص واحد 𝑥 زائد ثلاثة، أو ببساطة 𝑦 يساوي سالب 𝑥 زائد ثلاثة. وإلى يمين تلك النقطة على التمثيل البياني، المعادلة هي 𝑦 يساوي واحدًا على 𝑥 ناقص خمسة. لاحظ أن جزئي التمثيل البياني يلتقيان عند هذه النقطة. لا يوجد هنا عدم اتصال قفزي ولا حافة حادة أثناء الانتقال من أحدهما إلى الآخر.

قارن ذلك الآن بهذا التمثيل البياني، حيث قيمتي 𝑎 و𝑏 تحددا بسالب واحد وثلاثة، على الترتيب. لا تزال الدالة متصلة عند 𝑥 يساوي أربعة. لا يوجد عدم اتصال قفزي هنا. لكن هناك حافة عند نقطة الالتقاء، حيث تتغير القاعدة. ما نفهم منه أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة. يمكنك تصور جسيم يتحرك على طول التمثيل البياني لهذه الدالة، ثم يغير اتجاهه فجأة عند وصوله إلى 𝑥 يساوي أربعة.

أما إذا كان هذا التمثيل البياني للإزاحة مع الزمن، فستمثل هذه النقطة، 𝑥 يساوي أربعة، الزمن الذي تغيرت عنده السرعة فجأة. وهذا التغير اللحظي في السرعة يعني تسارعًا لا نهائيًا. ولن يكون ذلك بالأمر الجيد بالنسبة لك إذا كان هذا التمثيل البياني يعبر عن الإزاحة خلال الزمن لحركتك أنت، لأن التسارع اللانهائي سوف يقتلك.

هناك تطبيقات عديدة للدوال متعددة التعريف، حيث لا تريدها فقط أن تكون متصلة عند نقطة تغير القاعدة، بل تريدها أيضًا أن تكون قابلة للاشتقاق. ورغم أن الأمر ليس دائمًا مسألة حياة أو موت، فأن تكون قادرًا على اختيار المعايير التي تجعل الدالة متعددة التعريف قابلة للاشتقاق لهو من المهارات المهمة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.