تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: إيجاد قيم المتسلسلات جبريًّا الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيم المتسلسلات الخطية والتربيعية من خلال تطبيق الطرق الجبرية والصيغ.

١٦:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيم المتسلسلات الخطية والتربيعية من خلال تطبيق الطرق الجبرية والصيغ. نتذكر أن المتتابعة الخطية لها أساس وحد عام، يرمز إليه بـ ﺃﻥ زائد ﺏ. الحد العام للمتتابعة التربيعية هو ﺃﻥ تربيع زائد ﺏﻥ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ لا يساوي صفرًا.

لنتذكر أولًا ما نعنيه بالمتسلسلات؛ كونها مجموع الحدود في متتابعة، وكيف نستخدم رمز التجميع لتمثيلها. يمكننا إيجاد مجموع الحد ﺃر، وهو دالة في ر، من ر يساوي واحدًا إلى القيمة ﻥ، باستخدام رمز التجميع المشار إليه، كما هو موضح. مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﺃ واحدًا زائد ﺃ اثنين زائد ﺃ ثلاثة، وهكذا وصولًا إلى ﻥﺃ. تبدأ هذه المتسلسلة من ر يساوي واحدًا. لكن ليس من الضروري أن تبدأ هكذا. على سبيل المثال، يمكننا أن نبدأ من ر يساوي ﻡ؛ حيث ﻡ أصغر من ﻥ، كما هو موضح.

يمكن كتابة مجموع ﺃر من ر يساوي ﻡ إلى ر يساوي ﻥ على صورة مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ ناقص مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻡ ناقص واحد. ذلك لأن المتسلسلة الأولى تحتوي على كل الحدود من ﺃ واحد إلى ﻥﺃ. بطرح الحدود التي هي من ر يساوي واحدًا إلى ر يساوي ﻡ ناقص واحد، يتبقى لدينا ﺃﻡ زائد ﺃﻡ زائد واحد، وهكذا وصولًا إلى ﻥﺃ. وهذا يعرف بالفرق بين متسلسلتين.

لإيجاد قيم هذه المتسلسلات جبريًّا، سنتناول الآن بعض الخواص باستخدام رمز التجميع. هذه الخواص تتبع الطريقة نفسها التي نتعامل بها مع المقادير الجبرية.

أولًا، مجموع 𝜆 مضروبًا في ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي 𝜆 مضروبًا في مجموع ﺃر بين ر يساوي واحدًا وﻥ. هذه الخاصية تكون صحيحة إذا كان 𝜆 ثابتًا حقيقيًّا. بعد ذلك، نعرف أن مجموع ﺃر زائد ﺏر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي مجموع قيم ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ زائد مجموع ﺏر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. ويمكن دمج هاتين الخاصيتين كما يأتي. مجموع 𝜆 واحد ﺃر زائد 𝜆 اثنين ﺏر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي 𝜆 واحدًا مضروبًا في مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ زائد 𝜆 اثنين مضروبًا في مجموع ﺏر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. وتعرف هذه الخاصية بالخاصية الخطية للتجميع.

وأخيرًا، يمكننا أيضًا تقسيم التجميع لقيمة ما بين البداية والنهاية، وهي في هذه الحالة القيمة ﻡ، وهي أكبر من واحد وأصغر من ﻥ. مجموع ﺃر بين ر يساوي واحدًا وﻥ يساوي مجموع قيم ﺃر بين ر يساوي واحدًا وﻡ زائد مجموع ﺃ ر من ر يساوي ﻡ زائد واحد إلى ﻥ. هذه الخاصية تكون صحيحة بما أن المتسلسلة الأولى في الطرف الأيسر تساوي ﺃ واحدًا زائد ﺃ اثنين، وهكذا حتى ﺃﻡ. والمتسلسلة الثانية هي مجموع الحدود المتبقية حتى ﻥﺃ. وبتجميعهما، نحصل على المجموع في الطرف الأيمن. في المثال الأول، سنستخدم هذه الخاصية لإعادة كتابة التجميع.

مجموع أربعة ر زائد واحد من ر يساوي واحدًا إلى ١٢ زائد مجموع أربعة ر زائد واحد من ر يساوي ١٣ إلى ٢٥ ماذا يساوي؟ هل هو (أ) مجموع ثمانية ر زائد اثنين من ر يساوي واحدًا إلى ٢٥، أم (ب) مجموع أربعة ر زائد واحد تربيع من ر يساوي واحدًا إلى ٢٥، أم (ج) مجموع أربعة ر زائد اثنين من ر يساوي واحدًا إلى ٢٥، أم (د) مجموع أربعة ر زائد واحد من ر يساوي واحدًا إلى ٢٥ ؟

للإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم خاصية المتسلسلات التي تنص على أن مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻡ زائد مجموع ﺃر من ر يساوي ﻡ زائد واحد إلى ﻥ يساوي مجموع ﺃر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. تكون هذه الخاصية صحيحة عندما يكون ﻡ أصغر من ﻥ. بالنظر إلى المقدار المعطى، نجد أن قيمة ﻡ تساوي ١٢. إذن ﻡ زائد واحد يساوي ١٣، وهي قيمة البداية للتجميع الثاني. نلاحظ أيضًا أن ﻥ يساوي ٢٥، وﺃر يساوي أربعة ر زائد واحد. ومن ثم المقدار الموجود في الطرف الأيمن للمعادلة يساوي مجموع أربعة ر زائد واحد من ر يساوي واحدًا إلى ٢٥. هذا يعني أن الإجابة الصحيحة من بين الخيارات الأربعة هي الخيار (د).

دعونا الآن نلق نظرة على كيفية حساب مجموع متسلسلة تضم ثابتًا. لنفترض أن علينا حساب مجموع الثابت 𝛼 من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. ونحن نعلم بالفعل أنه يمكننا نقل الثابت خارج المجموع. إذن هذا يساوي 𝛼 مضروبًا في مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. الجزء الخاص بالمجموع يساوي واحدًا زائد واحد زائد واحد، وهكذا؛ حيث يوجد العدد ﻥ من الرقم واحد. وهذا يساوي ﻥ. إذن مجموع أي ثابت 𝛼 من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي 𝛼 مضروبًا في ﻥ.

والآن سوف نتناول كيف يمكننا إيجاد مجموع قيمة خطية ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. وهو ما يساوي مجموع الأعداد الصحيحة من واحد إلى ﻥ. وبما أن الجمع عملية إبدالية، يمكننا كتابة الحدود بترتيب عكسي. سنضيف بعد ذلك هاتين المعادلتين. فنحصل على اثنين مضروبًا في مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ زائد واحد زائد ﻥ زائد واحد، وهكذا؛ حيث يوجد عدد ﻥ من قيم ﻥ زائد واحد. إذن الطرف الأيسر يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد. بقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على اثنين. سنستخدم الآن هاتين الصيغتين لإيجاد مجموع متسلسلة على الصورة: 𝛼ر زائد 𝛽.

أوجد مجموع ر ناقص ثمانية من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ، إذا كان مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين.

نبدأ حل هذا السؤال بتذكر الخاصية الخطية للتجميع. وهو ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة التجميع المعطى على الصورة: مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ ناقص ثمانية مضروبًا في مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. يخبرنا السؤال أن الحد الأول في الطرف الأيسر يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين. بتذكر أن مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ، فإن الحد الثاني في الطرف الأيسر يساوي ثمانية ﻥ. إذن لدينا ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين ناقص ثمانية ﻥ.

بتوزيع الأقواس وتكوين مقام مشترك، نحصل على ﻥ تربيع زائد ﻥ ناقص ١٦ﻥ الكل على اثنين. وهذا بدوره يبسط إلى ﻥ تربيع ناقص ١٥ﻥ على اثنين. وهذا هو مجموع ر ناقص ثمانية من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ.

سنتناول الآن مثالًا يكون فيه دليل البدء أكبر من واحد.

أوجد مجموع تسعة مضروبًا في ر ناقص ٣٧ من ر يساوي ثمانية إلى ١٢ باستخدام خواص رمز التجميع، إذا كان مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين.

نبدأ بتوزيع الأقواس بحيث يكون المقدار الخطي يساوي تسعة ر ناقص ٣٣٣. علينا حساب مجموع هذا المقدار من ر يساوي ثمانية إلى ر يساوي ١٢ باستخدام خواص التجميع.

عندما يكون دليل البدء أكبر من واحد، يمكننا استخدام خاصية الفرق بين متسلسلتين. وبما أن قيمة ﻡ تساوي ثمانية وﻥ تساوي ١٢، يمكننا إعادة كتابة المقدار كما هو موضح. بعد ذلك، يمكننا استخدام الخاصية الخطية للتجميع. بتذكر أنه عند طرح عدد سالب نحصل على ناتج موجب، يتبقى لدينا تسعة مضروبًا في مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ١٢ ناقص ٣٣٣ مضروبًا في مجموع واحد من واحد إلى ١٢ ناقص تسعة مضروبًا في مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى سبعة زائد ٣٣٣ في مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى سبعة.

لدينا مقدار يعبر عن مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. في هذا السؤال، ﻥ سوف يساوي ١٢ وسبعة، على الترتيب. وهو ما يعني أن الحد الأول يساوي تسعة مضروبًا في ١٢ مضروبًا في ١٣ مقسومًا على اثنين. الحد الثالث يساوي تسعة مضروبًا في سبعة مضروبًا في ثمانية مقسومًا على اثنين. يمكن تبسيط هذين العددين إلى تسعة مضروبًا في ٧٨، وتسعة مضروبًا في ٢٨.

نتذكر أن مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ. إذن يصبح المقدار لدينا تسعة مضروبًا في ٧٨ ناقص ٣٣٣ مضروبًا في ١٢ ناقص تسعة مضروبًا في ٢٨ زائد ٣٣٣ مضروبًا في سبعة. وهذا يساوي سالب ١٢١٥. وهو مجموع تسعة مضروبًا في ر ناقص ٣٧ من ر يساوي ثمانية إلى ١٢.

وتوجد طريقة بديلة؛ وهي التعويض بالأعداد الصحيحة من ثمانية إلى ١٢ في المقدار ثم إيجاد مجموع هذه القيم.

قبل أن نطرح مثالًا أخيرًا، سوف نتناول ما يحدث عندما يكون لدينا مقدار تربيعي. بالنسبة إلى مجموع ثابت وحد خطي ر، ثمة صيغة يمكننا استخدامها إذا أردنا حساب مجموع ر تربيع من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ. لغرض هذا الفيديو، لن نتناول إثبات هذه الصيغة. لكن باستخدام معرفتنا بمفكوكات ذات الحدين، يمكننا استنتاج أن مجموع ر تربيع من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على ستة.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا؛ حيث نستخدم جميع هذه الصيغ الثلاث لإيجاد قيمة متسلسلة تربيعية.

إذا كان مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين، ومجموع ر تربيع من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على ستة، فأوجد باستخدام خواص رمز التجميع ∑ مجموع قيمة سبعة ر تربيع ناقص سبعة ر ناقص ٢١ من ر يساوي واحدًا إلى أربعة.

سنبدأ بإعادة كتابة المقدار باستخدام الخاصية الخطية للتجميع. فنحصل على سبعة مضروبًا في مجموع ر تربيع من ر يساوي واحدًا إلى أربعة ناقص سبعة مضروبًا في مجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى أربعة ناقص ٢١ مضروبًا في مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى أربعة. لدينا مقداران بدلالة ﻥ لمجموع ر ومجموع ر تربيع. نتذكر أيضًا أن مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ.

في هذا السؤال، قيمة ﻥ هي أربعة. الحد الأول في هذا المقدار يصبح سبعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في خمسة مضروبًا في تسعة الكل مقسوم على ستة. يمكن تبسيط ذلك كما هو موضح، فنحصل على سبعة مضروبًا في ٣٠. الحد الثاني يساوي سبعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في خمسة مقسومًا على اثنين. وهذا يساوي سبعة مضروبًا في ١٠. وبما أن الحد الثالث يصبح ٢١ مضروبًا في أربعة، يتبقى لدينا سبعة مضروبًا في ٣٠ ناقص سبعة مضروبًا في ١٠ ناقص ٢١ مضروبًا في أربعة. وهذا يساوي ٥٦. مجموع سبعة ر تربيع ناقص سبعة ر ناقص ٢١ من ر يساوي واحدًا إلى أربعة يساوي ٥٦.

بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا التعويض بالأعداد الصحيحة من واحد إلى أربعة في المقدار، ثم إيجاد مجموع هذه القيم الأربع. إذا كان ر يساوي واحدًا، فإن سبعة ر تربيع ناقص سبعة ر ناقص ٢١ يساوي سالب ٢١. إذا كان ر يساوي اثنين، فإن المقدار يساوي سالب سبعة. وعند ر يساوي ثلاثة، نحصل على ٢١. وعند ر يساوي أربعة، فإن المقدار يساوي ٦٣. وبما أن مجموع هذه الأعداد الأربعة يساوي ٥٦، فهذا يؤكد أن الإجابة صحيحة.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، أوجدنا قيمة المتسلسلات المكتوبة على صورة مجموع 𝛼ر تربيع زائد 𝛽ر زائد 𝛾 من ر يساوي ﻡ إلى ﻥ، مع ملاحظة أنه عند 𝛼 يساوي صفرًا، تكون لدينا متسلسلة خطية، وعند 𝛼 لا يساوي صفرًا، يصبح لدينا متسلسلة تربيعية. استفدنا من خاصيتين من خواص المتسلسلات: الأولى، خاصية الفرق. ثانيًا، استخدمنا الخاصية الخطية للتجميع. واستخدمنا أيضًا حقيقة أن مجموع واحد من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ. ومجموع ر من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مقسومًا على اثنين. ومجموع ر تربيع من ر يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد مضروبًا في اثنين ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.