فيديو الدرس: الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي. توضح لنا هذه الزاوية، كما سنرى، كيف يسقط الضوء على حد فاصل دون أن يتجاوزه. يؤدي ذلك إلى حدوث تأثير بصري مهم يسمى: «الانعكاس الداخلي الكلي».

في البداية، دعونا نتذكر بعض الأمور المتعلقة بسقوط شعاع من الضوء على حد فاصل. أحد أوائل الأمور التي يمكننا قولها هنا هو أن ما يجعل الحد البصري الفاصل على ما هو عليه هو اختلاف معاملي الانكسار على كلا جانبيه. لذا لدينا هنا هذان المعاملان، ‪𝑛‬‏ واحد و‪𝑛‬‏ اثنان، وهما غير متساويين.

أمر آخر يمكننا تذكره وهو أن شعاع الضوء يسقط على الحد الفاصل بزاوية ما. ونقيس هذه الزاوية بالنسبة إلى خط مرسوم عموديًا على السطح عند النقطة التي يصل إليها شعاع الضوء. من الشائع تسمية هذه الزاوية التي يسقط بها شعاع الضوء على الحد الفاصل: «زاوية السقوط»، ونرمز لها بالرمز ‪𝜃𝑖‬‏.

عندما يسقط الشعاع بهذه الزاوية، ولا ينحرف أو ينكسر أثناء تجاوزه هذا الحد الفاصل، سيبدو مساره كهذا الخط المتقطع. لكننا نعرف أن هذا ليس المسار الذي يتخذه شعاع الضوء؛ لأن ‪𝑛‬‏ واحد يختلف عن ‪𝑛‬‏ اثنين. فيمكننا القول إن هذا الحد يفصل بين مادتين مختلفتين بصريًا. ولهذا السبب، إذا انتقل شعاع الضوء إلى المادة ذات معامل الانكسار ‪𝑛‬‏ اثنين، سينكسر. وهو ما يعني أنه سينحرف عن هذا الخط المتقطع الذي رسمناه هنا.

وتجدر الإشارة إلى أنه، عمومًا، سينعكس جزء من ضوء الشعاع الساقط عن هذا السطح الفاصل. لكننا سنركز فقط، في الوقت الحالي، على الجزء الذي ينتقل إلى المادة الجديدة وينكسر. يمكن أن ينكسر الشعاع بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي أن ينحرف بشكل أقرب إلى هذا العمود المقام الموجود هنا. يحدث هذا النوع من الانحراف إذا كان معامل انكسار المادة التي انطلق منها الضوء أقل من معامل انكسار المادة التي سينتقل إليها. ومن ثم، إذا كان ‪𝑛‬‏ واحد أقل من ‪𝑛‬‏ اثنين، نقول إن الشعاع ينحرف نحو العمود المقام.

الطريقة الثانية هي أن ينحرف شعاع الضوء بعيدًا عن هذا العمود المقام. وهذا يحدث عندما يكون ‪𝑛‬‏ واحد أكبر من ‪𝑛‬‏ اثنين. بعبارة أخرى، عندما يكون معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع أكبر من معامل انكسار المادة التي سينتقل إليها.

الآن، لنقل إن لدينا حالة بالفعل يكون فيها ‪𝑛‬‏ واحد أكبر من ‪𝑛‬‏ اثنين. وانحرف شعاع الضوء بهذا الشكل. يمكننا أن نحدد هنا زاوية أخرى، وهي هذه الزاوية، وهي تسمى «زاوية الانكسار»، ويرمز لها عادة بالرمز ‪𝜃𝑟‬‏. ونتذكر هنا أمرًا أخيرًا، وهو وجود علاقة رياضية تربط هذه المتغيرات معًا: ‪𝜃𝑖‬‏، و‪𝜃𝑟‬‏، و‪𝑛‬‏ واحد، و‪𝑛‬‏ اثنان. هذه العلاقة تسمى «قانون سنل». وتنص على أن معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع مضروبًا في جيب زاوية السقوط يساوي معامل انكسار المادة التي ينتقل إليها الشعاع مضروبًا في جيب زاوية الانكسار.

الآن، مع الوضع في الاعتبار أن معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع أكبر من معامل انكسار المادة التي ينتقل إليها، لنفترض أننا بدأنا في تغيير زاوية سقوط الشعاع القادم. وبالتحديد، لنفترض أننا بدأنا في زيادة هذه الزاوية. بدت زاوية السقوط بهذا الشكل في السابق، لكن دعونا نقل إن هذه هي زاوية السقوط ذات القياس الأكبر الآن.

عندما نفعل ذلك، ستتغير كيفية انكسار شعاع الضوء عند تجاوزه الحد الفاصل. على وجه التحديد، ستؤدي زيادة زاوية السقوط إلى زيادة زاوية الانكسار أيضًا. ومن ثم، سينكسر الشعاع الجديد ليصبح بهذا الشكل.

والآن بعد أن حصلنا على زاويتي السقوط والانكسار الجديدتين هاتين، لنفترض أننا زدناهما بدرجة أكبر. هذه هي زاوية السقوط الجديدة، وهذه هي زاوية الانكسار الجديدة. يمكننا أن نلاحظ أن زاوية الانكسار تقترب للغاية من حد معين. ولكي تصل إلى هذا الحد، لنفترض أننا زدنا زاوية سقوط الشعاع مرة أخرى، وعند هذه الزاوية يتحرك الشعاع المنكسر على هذا النحو. إنه يتحرك على امتداد الحد الفاصل بين المادتين.

عندما يحدث ذلك، أي عندما تبلغ زاوية انكسار الشعاع ‪90‬‏ درجة، نكون قد وصلنا إلى الحد الذي يغادر عنده الشعاع القادم المادة الأولى، وينتقل إلى المادة الثانية. عند زاوية السقوط هذه، لا يفعل الشعاع في الواقع أيًا من ذلك. وإنما يتحرك على امتداد الحد الفاصل بين المادتين. عند وصول زاوية السقوط إلى هذا الحد، نطلق عليها اسمًا محددًا. نسميها «الزاوية الحرجة»، ونرمز لها عادة بالرمز ‪𝜃𝑐‬‏.

والآن بعد أن علمنا بوجود هذه الزاوية، لنر ماذا سيحدث عندما نعوض بها عن ‪𝜃𝑖‬‏ في معادلة قانون سنل. عندما نفعل ذلك، سيكون لدينا في الطرف الأيسر ‪𝑛‬‏ واحد في ‪sin 𝜃𝑐‬‏. وفي الطرف الأيمن، سيكون لدينا ‪𝑛‬‏ اثنان في ‪sin‬‏ زاوية الانكسار التي تقابل زاوية السقوط الحرجة. من الشكل الموجود لدينا، يمكننا أن نلاحظ أن هذه الزاوية تساوي ‪90‬‏ درجة.

عندما يسقط شعاع الضوء على السطح الفاصل بالزاوية الحرجة، تساوي زاوية الانكسار دائمًا ‪90‬‏ درجة. بمعرفة ذلك، يمكننا تذكر أن ‪sin 90‬‏ درجة يساوي واحدًا. ويعني ذلك أن الطرف الأيمن من المعادلة يبسط إلى ‪𝑛‬‏ اثنين. إذا قسمنا بعد ذلك طرفي المعادلة على ‪𝑛‬‏ واحد، يلغي هذان الحدان أحدهما الآخر في الطرف الأيسر. وأخيرًا، إذا طبقنا الدالة العكسية للجيب على طرفي المعادلة، فسيلغي ذلك عمل دالة الجيب في الطرف الأيسر. ومن ثم تتبقى لدينا هذه المعادلة.

إذا عرفنا معاملي الانكسار للمادتين الموجودتين على جانبي السطح الفاصل، يمكننا استخدام هذه المعطيات لإيجاد زاوية السقوط الحرجة. وأحد الأمور المهمة التي علينا وضعها في الاعتبار ضرورة أن يكون ‪𝑛‬‏ واحد، معامل الانكسار على هذا الجانب من السطح الفاصل، أكبر من ‪𝑛‬‏ اثنين، معامل الانكسار على هذا الجانب. إن لم يكن الأمر كذلك، أي أن يكون ‪𝑛‬‏ واحد أقل من أو يساوي ‪𝑛‬‏ اثنين، فلن تكون هناك زاوية حرجة ‪𝜃𝑐‬‏. ببساطة لن يكون لها وجود. على سبيل المثال، إذا كان ‪𝑛‬‏ اثنان أكبر من ‪𝑛‬‏ واحد، فلن تكون هناك زاوية سقوط ‪𝜃𝑖‬‏ يمكننا استخدامها وتؤدي إلى انحراف الشعاع المنكسر بزاوية ‪90‬‏ درجة.

إذن فإننا لا نحصل على زاوية حرجة إلا إذا تحرك الشعاع من وسط له معامل انكسار أكبر من معامل انكسار الوسط الذي ينتقل إليه. قد يكون من الصعب علينا تذكر كل ذلك. لكن لحسن الحظ، تساعدنا معادلة الزاوية الحرجة في هذا الأمر. لنفترض أننا نسينا أن وجود ‪𝜃𝑐‬‏ يلزمه أن يكون ‪𝑛‬‏ واحد أكبر من ‪𝑛‬‏ اثنين، وأننا عوضنا عن ‪𝑛‬‏ اثنين بقيمة أكبر من ‪𝑛‬‏ واحد. إذا حاولنا حساب دالة الجيب العكسية لعدد أكبر من واحد على الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر، فستظهر لنا رسالة خطأ أو عدد تخيلي. وتشير كلتا النتيجتين إلى أنه لا توجد زاوية حرجة في حالة المدخلات التي أدخلناها.

أحد الأسباب التي تجعل الزاوية ‪𝜃𝑐‬‏ مفيدة للغاية هو أنها تخبرنا بأصغر زاوية سقوط تجعل شعاع الضوء لا يغادر المادة التي انطلق منها. فعند أي زاوية سقوط أكبر من ‪𝜃𝑐‬‏، مثل زاوية السقوط هذه الموجودة هنا، سيتخذ الشعاع القادم مسارًا ينعكس فيه بالكامل عن سطح المادة بدلًا من انكسار جزء منه. عندما يحدث ذلك، نقول إن الشعاع انعكس انعكاسًا داخليًا كليًا. وهو ما يعني أنه لم يغادر المادة التي انطلق منها.

تكون ظاهرة الانعكاس الداخلي الكلي مفيدة للغاية عندما نرغب في نقل إشارات ضوئية لمسافات طويلة. عندما نفعل ذلك، من الشائع استخدام ما يسمى «كبل الألياف الضوئية». هذا الكبل مصمم ليكون له معامل انكسار أعلى نسبيًا مما يحيط به. وهو ما يعني أنه عندما يدخل الضوء في الكبل ثم يواجه سطحًا فاصلًا، سينعكس داخل الكبل بدلًا من أن ينكسر خارجه. وفي المرة القادمة التي يصل فيها إلى سطح فاصل، يحدث الأمر نفسه. ينعكس شعاع الضوء داخليًا. ويحدث ذلك مرارًا وتكرارًا حتى يصل الشعاع إلى الجانب الآخر من الكبل الضوئي.

تتطلب تقنية كهذه معرفة الزاوية الحرجة لسقوط الضوء على كل حد من الحدود الفاصلة داخل الألياف الضوئية. لذا، ما دام أن زاوية السقوط تكون دائمًا أكبر من أو تساوي الزاوية الحرجة، يظل الضوء داخل الألياف حتى عند انحنائها.

بعد أن عرفنا كل هذه المعلومات عن الزاوية الحرجة، لنتدرب على أحد الأمثلة.

أي المعادلات الآتية توضح بطريقة صحيحة العلاقة بين الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي ‪𝜃𝑐‬‏ لشعاع ضوء، ومعامل الانكسار ‪𝑛𝑖‬‏ للمادة التي ينتشر خلالها الضوء، ومعامل انكسار المادة ‪𝑛𝑟‬‏ التي ينعكس الضوء عن سطحها؟ (أ) ‪sin 𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ على ‪𝑛𝑖‬‏. (ب) ‪sin 𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪𝑛𝑖‬‏ على ‪𝑛𝑟‬‏. (ج) ‪sin 𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪sin 𝑛𝑟‬‏ على ‪𝑛𝑖‬‏. (د) ‪𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ على ‪𝑛𝑖‬‏. (هـ) ‪𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪sin 𝑛𝑟‬‏ على ‪𝑛𝑖‬‏.

في جميع هذه الخيارات، نجد علاقات ممكنة بين ثلاثة متغيرات. وهي ‪𝜃𝑐‬‏ زاوية السقوط الحرجة، و‪𝑛𝑖‬‏ معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع، و‪𝑛𝑟‬‏ معامل انكسار المادة التي ينعكس الضوء عنها.

يمكننا البدء برسم شكل يوضح ما يحدث هنا من الناحية الفيزيائية. يخبرنا السؤال أن لدينا سطحًا ما. لنفترض أن هذا هو السطح. وهو موجود لأن على أحد جانبيه، لنقل أعلاه، معامل انكسار المادة هو ‪𝑛𝑖‬‏. بينما أسفل هذا الحد الفاصل، معامل انكسار المادة يسمى ‪𝑛𝑟‬‏.

يخبرنا السؤال أن ‪𝑛𝑖‬‏ هو معامل انكسار المادة التي ينتشر خلالها شعاع الضوء في البداية. لذلك، دعونا نرسم شعاع الضوء بهذا الشكل. وفيما يلي ما نعرفه من معلومات. إذا كانت زاوية سقوط شعاع الضوء القادم هي ‪𝜃𝑐‬‏، أي الزاوية الحرجة، إذن في هذه الحالة عندما يصل هذا الشعاع إلى السطح، أي الحد الذي يفصل بين هاتين المادتين، فإنه سيتحرك على امتداد السطح. بعبارة أخرى، لن ينكسر الشعاع خلال هذه المادة أو ينعكس إلى تلك. وإنما سيتحرك على امتداد الحد الفاصل بينهما. إذا نظرنا إلى الحد الفاصل الذي يتحرك شعاع الضوء على امتداده، والعمود المقام على هذا الحد، فسنرى أن هذا الشعاع يصنع زاوية ‪90‬‏ درجة مع هذا العمود المقام.

ورغم أن شعاع الضوء هذا لا يبدو أنه ينكسر، يمكننا القول في هذه الحالة الخاصة إن زاوية الانكسار تساوي ‪90‬‏ درجة. وهذه بالتأكيد الحالة التي تكون فيها زاوية السقوط مساوية للزاوية الحرجة ‪𝜃𝑐‬‏. وهذا ما يحدث في هذه الحالة. لدينا معاملا انكسار، وشعاع ضوء يسقط على الحد الفاصل بين هاتين المادتين بالزاوية الحرجة.

ورغم معرفة كل هذا، لا نزال بحاجة إلى اختيار العلاقة الرياضية الصحيحة التي تربط هذه المتغيرات الثلاثة من بين هذه الخيارات الخمسة. إليك كيف نبدأ في الحل. يمكننا تذكر قانون في علم البصريات يسمى قانون سنل. يتعلق هذا القانون بالحالات التي يسقط فيها شعاع ضوء على حد يفصل بين مادتين مختلفتين بصريًا. في هذه الحالات تكون هناك علاقة بين زاوية سقوط هذا الشعاع ‪𝜃𝑖‬‏ وزاوية انكساره ‪𝜃𝑟‬‏، بالإضافة إلى معاملي انكسار المادتين، وتمثل هذه العلاقة بهذه المعادلة. ‏‏‪𝑛𝑖‬‏ في جيب زاوية السقوط يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ في جيب زاوية الانكسار.

هذا القانون صحيح عمومًا، لكنه مفيد لنا أيضًا في هذه الحالة الخاصة التي تكون فيها زاوية السقوط مساوية للزاوية الحرجة ‪𝜃𝑐‬‏. عندما يحدث ذلك، أي عندما تتساوى ‪𝜃𝑖‬‏ و‪𝜃𝑐‬‏، يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن ‪𝜃𝑟‬‏ تساوي ‪90‬‏ درجة. إذن لدينا قيمتان يمكننا التعويض بهما عن المتغيرات الموجودة في قانون سنل. إذا كتبنا معادلة قانون سنل باستخدام هاتين القيمتين، ونظرنا إلى الطرف الأيمن، فسنجد أنه يمكننا تبسيطه بعض الشيء. ‏‏‪sin 90‬‏ درجة يساوي واحدًا، ما يعني أنه يمكننا كتابة المعادلة بهذه الطريقة.

وإذا قسمنا بعد ذلك كلا طرفي المعادلة على ‪𝑛𝑖‬‏، وهو معامل انكسار المادة التي ينتشر الضوء خلالها، فسيلغي حدا ‪𝑛𝑖‬‏ أحدهما الآخر في الطرف الأيسر. وبذلك يتبقى لدينا هذا التعبير. جيب الزاوية الحرجة ‪𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ مقسومًا على ‪𝑛𝑖‬‏. يمكننا الآن أخذ هذا التعبير ومقارنته بخيارات الإجابة الخمسة. نلاحظ على الفور أنه يطابق الخيار (أ). إذن باستخدام قانون سنل، ثم تطبيق الشروط الخاصة لزاوية السقوط الحرجة، وجدنا أن ‪sin 𝜃𝑐‬‏ يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ مقسومًا على ‪𝑛𝑖‬‏.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي. في هذا الدرس، تعلمنا أنه عندما يسقط شعاع ضوء على حد فاصل، ثم ينكسر بزاوية ‪90‬‏ درجة، تسمى زاوية سقوطه «الزاوية الحرجة». وعرفنا أيضًا أن وجود زاوية حرجة يتطلب أن يكون ‪𝑛𝑖‬‏، وهو معامل انكسار المادة التي ينطلق منها شعاع الضوء، أكبر من ‪𝑛𝑟‬‏، وهو معامل انكسار المادة الموجودة على الجانب الآخر من الحد الفاصل. ورأينا أنه عند تحقق هذا الشرط، يكون جيب الزاوية الحرجة، الذي رمزنا له بالرمز ‪𝜃𝑐‬‏، يساوي ‪𝑛𝑟‬‏ مقسومًا على ‪𝑛𝑖‬‏. وأخيرًا، عرفنا أن الضوء الذي يسقط على حد فاصل بزاوية أكبر من أو تساوي الزاوية الحرجة ينعكس انعكاسًا داخليًا كليًا.