تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: العمليات على المتجهات في بعدين

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات جبريًا، مثل: جمع المتجهات، وطرحها، والضرب في عدد ثابت في بعدين.

١٥:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري عمليات على المتجهات جبريًا، مثل: جمع المتجهات، وطرحها، والضرب في عدد ثابت في بعدين. هيا نبدأ باسترجاع المقصود بالمتجه. المتجه له طول، يعرف بالمعيار، وله أيضًا اتجاه. والمتجه الثنائي الأبعاد له مركبة أفقية، ومركبة رأسية. وغالبًا ما يشار إليهما بمتجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

كما هو الأمر في التمثيل على شبكة الإحداثيات، فإن التحرك جهة اليمين يمثل الاتجاه الموجب على المحور الأفقي، والتحرك جهة اليسار يمثل الاتجاه السالب على المحور الأفقي. كذلك فإن التحرك لأعلى يمثل الاتجاه الموجب على المحور الرأسي، والتحرك لأسفل يمثل الاتجاه السالب على المحور الرأسي. المتجه ﻭ يساوي أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ سينتقل أربع وحدات في الاتجاه الأفقي، وسينتقل ثلاث وحدات إلى أعلى في الاتجاه الرأسي. ويمكن الإشارة إلى هذا على الصورة: أربعة، ثلاثة، بين قوسين دائريين، كما هو موضح. عند جمع متجهين أو طرحهما، نتعامل مع المركبتين الأفقيتين والرأسيتين كل على حدة. وينطبق هذا أيضًا عند ضرب متجه في كمية قياسية.

سنتناول الآن بعض الأسئلة؛ حيث نحتاج إلى جمع متجهين وطرحهما.

الشبكة التي تحتوي على مربعات الوحدة توضح المتجهات ﺱ وﺵ وﺱ زائد ﺵ. ما مركبتا المتجه ﺱ؟ ما مركبتا المتجه ﺵ؟ ما مركبتا المتجه ﺱ زائد ﺵ؟

لنبدأ بتناول المتجه ﺱ. لهذا المتجه نقطة بداية ونقطة نهاية، كأي متجه آخر. ويشير السهم إلى أنه يتحرك يمينا إلى الأعلى. المركبة الأفقية لهذا المتجه ستساوي أربعة، إذ إننا نتحرك أربع وحدات إلى اليمين. والمركبة الرأسية ستساوي واحدًا، إذ إننا نتحرك وحدة واحدة لأعلى. وعليه، فإن مركبتي المتجه ﺱ هما: أربعة، واحد. ودائمًا تكتب المركبة الأفقية أولًا.

يمكننا حساب مركبتي المتجه ﺵ بالطريقة نفسها. يتحرك هذا المتجه يسارًا إلى الأعلى. ويعني ذلك أن مركبته الأفقية ستكون سالبة. سننتقل خمسة مربعات إلى اليسار، ومربعًا واحدًا إلى الأعلى. إذن، مركبتا المتجه ﺵ هما: سالب خمسة، واحد.

ثمة طريقتان لحل الجزء الثالث من هذا السؤال، أي لكي نحسب مركبتي المتجه ﺱ زائد ﺵ. يمكننا استنتاج ذلك من الشكل مباشرة، إذ إن المتجه ﺱ زائد ﺵ يتحرك مربعًا واحدًا إلى اليسار، ومربعين لأعلى. أي إنه يساوي المتجه سالب واحد، اثنين. أما إذا لم يكن لدينا مخطط يحتوي على مربعات الوحدة كما في هذه الحالة، فيمكننا استخدام حقيقة أن المتجه ﺱ زائد ﺵ يساوي المتجه ﺱ زائد المتجه ﺵ. ومن ثم، علينا جمع المتجه: أربعة، واحد، والمتجه: سالب خمسة، واحد.

عند جمع أو طرح المتجهات، نتعامل مع مركباتها الأفقية ومركباتها الرأسية كل على حدة. إذن، في هذه الحالة، علينا جمع أربعة وسالب خمسة أولًا، وبعد ذلك واحد وواحد. أربعة زائد سالب خمسة هو نفسه أربعة ناقص خمسة، وهو ما يساوي سالب واحد. وواحد زائد واحد يساوي اثنين. ومن ثم، فإن المركبة الرأسية للمتجه ﺱ زائد ﺵ هي اثنان. ويعطينا هذا الناتج نفسه الذي استنتجناه من الشكل؛ وهو المتجه: سالب واحد، اثنان.

في المثال التالي، سنجيب عن سؤال مشابه ولكن دون وجود مخطط.

إذا كان المتجه ﻭ يساوي صفرًا، أربعة، والمتجه ﻉ يساوي صفرًا، سالب خمسة؛ فأوجد مركبتي المتجه ﻭ زائد ﻉ.

نتذكر أن كل متجه ثنائي الأبعاد يتكون من مركبتين أفقية ورأسية. إذا كانت المركبة الأفقية موجبة، فإن المتجه يتحرك إلى اليمين، وإذا كانت سالبة، فإنه يتحرك إلى اليسار. وبالمثل، إذا كانت المركبة الرأسية موجبة، فإن المتجه يتحرك إلى أعلى، وإذا كانت سالبة، فإنه يتحرك إلى أسفل.

نتذكر أيضًا أنه عند جمع متجهين، وهما في هذه الحالة ﻭ وﻉ، فإننا نجمع المركبتين الأفقيتين والمركبتين الرأسيتين كل على حدة. فالمتجه ﻭ زائد ﻉ يساوي المتجه ﻭ، ومركبتاه صفر، أربعة؛ زائد المتجه ﻉ، ومركبتاه صفر، سالب خمسة. صفر زائد صفر يساوي صفرًا. وعليه، فإن المركبة الأفقية للمتجه ﻭ زائد ﻉ هي صفر. أربعة زائد سالب خمسة يساوي سالب واحد. وعليه، فإن المركبة الرأسية هي سالب واحد. إذن، المتجه ﻭ زائد ﻉ يساوي صفرًا، سالب واحد.

في السؤال التالي، علينا التعبير عن متجه واحد بدلالة متجهين آخرين باستخدام المضاعفات القياسية.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب أربعة، سالب واحد، والمتجه ﺏ يساوي سالب اثنين، سالب واحد؛ فاكتب المتجه ﺟ سالب ثمانية، سالب واحد بدلالة كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

بما أننا نريد التعبير عن المتجه ﺟ بدلالة المتجهين ﺃ وﺏ، فإننا نعلم أن ﺟ يساوي ثابتًا، وليكن ﻝ، مضروبًا في المتجه ﺃ زائد ثابت، وليكن ﻙ، مضروبًا في المتجه ﺏ. بالتعويض بالمتجهات ﺃ وﺏ وﺟ، يصبح لدينا سالب ثمانية، سالب واحد يساوي ﻝ مضروبًا في سالب أربعة، سالب واحد زائد ﻙ مضروبًا في سالب اثنين، سالب واحد.

نتذكر أنه عند ضرب متجه في أي ثابت أو كمية قياسية، علينا التعامل مع المركبات الأفقية والمركبات الرأسية كل على حدة. إذا تناولنا المركبات الأفقية أولًا، لدينا سالب ثمانية يساوي سالب أربعة ﻝ زائد سالب اثنين ﻙ. ويشبه ذلك القول إن سالب ثمانية يساوي سالب أربعة ﻝ ناقص اثنين ﻙ. يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على سالب اثنين. وهو ما يعطينا: أربعة يساوي اثنين ﻝ زائد ﻙ. سنسمي هذه المعادلة «واحد».

يمكننا الآن تكرار العملية نفسها مع المركبات الرأسية. سالب واحد يساوي سالب ﻝ زائد سالب ﻙ. يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على سالب واحد. ويعطينا هذا: واحد يساوي ﻝ زائد ﻙ، وسنسميها المعادلة «اثنين».

لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما بطريقة الحذف. إذ يمكننا طرح المعادلة «اثنين» من المعادلة «واحد». في الطرف الأيمن، لدينا أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة، ثم لدينا اثنان ﻝ ناقص ﻝ يساوي ﻝ، وﻙ ناقص ﻙ يساوي صفرًا. إذن، ﻝ يساوي ثلاثة. بالتعويض بقيمة ﻝ هذه في المعادلة «اثنين»، نجد أن واحدًا يساوي ثلاثة زائد ﻙ. وبطرح ثلاثة من طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﻙ يساوي سالب اثنين. إذن، المتجه ﺟ سالب ثمانية، سالب واحد يساوي ثلاثة مضروبًا في المتجه ﺃ ناقص اثنين مضروبًا في المتجه ﺏ. وبذلك نكون قد عبرنا عن المتجه ﺟ بدلالة المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

سؤالنا التالي عبارة عن مسألة أكثر تعقيدًا تتضمن مضاعفات قياسية وجمع متجهات.

على شبكة الإحداثيات، إذا كان المتجه ﺃﺟ يساوي ثلاثة، ثلاثة؛ والمتجه ﺏﺟ يساوي ١٣، سالب سبعة؛ واثنان في المتجه ﺟ زائد اثنين في المتجه ﺃﺏ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة؛ فأوجد إحداثيات النقطة ﺟ.

في هذا السؤال، لدينا المتجه ﺃﺟ والمتجه ﺏﺟ. ويمكننا استخدامهما لحساب المتجه ﺃﺏ. إذا نظرنا إلى النقاط الثلاث ﺃ وﺏ وﺟ كما هي موضحة في الشكل، نجد أن المتجه ﺃﺟ يساوي ثلاثة، ثلاثة. والمتجه ﺏﺟ يساوي ١٣، سالب سبعة. وعلينا حساب المتجه ﺃﺏ. للانتقال من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ عبر النقطة ﺟ، يمكننا جمع المتجه ﺃﺟ والمتجه ﺟﺏ. وبما أن اتجاه المتجه ﺟﺏ عكس اتجاه المتجه ﺏﺟ، فإن المتجه ﺃﺏ سيساوي ﺃﺟ ناقص ﺏﺟ. علينا إذن طرح المتجه: ١٣، سالب سبعة، من المتجه: ثلاثة، ثلاثة.

عند جمع أو طرح المتجهات، فإننا نتعامل مع المركبات الأفقية والمركبات الرأسية كل على حدة. ثلاثة ناقص ١٣ يساوي سالب ١٠. وثلاثة ناقص سالب سبعة هو نفسه ثلاثة زائد سبعة، وهو ما يساوي ١٠. وعليه، المتجه ﺃﺏ يساوي سالب ١٠، ١٠. إذا افترضنا أن إحداثيي النقطة ﺟ هما: ﺱ، ﺹ، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في معادلتنا. اثنان مضروبًا في ﺱ، ﺹ زائد اثنين مضروبًا في سالب ١٠، ١٠ يساوي سالب أربعة، سالب أربعة.

مرة أخرى، يمكننا التعامل مع المركبتين الأفقيتين والمركبتين الرأسيتين كل على حدة لتكوين معادلتين. المركبتان الأفقيتان تكونان المعادلة: اثنان ﺱ ناقص ٢٠ يساوي سالب أربعة. والمركبتان الرأسيتان تكونان المعادلة: اثنان ﺹ زائد ٢٠ يساوي سالب أربعة. في المعادلة الأولى، نضيف ٢٠ إلى كلا الطرفين، وهو ما يعطينا: اثنان ﺱ يساوي ١٦. وبقسمة كلا الطرفين على اثنين، نحصل على ﺱ تساوي ثمانية. في المعادلة الثانية، نطرح ٢٠ من كلا الطرفين، لنحصل على: اثنان ﺹ يساوي سالب ٢٤. مرة أخرى، يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي سالب ١٢. وبما أن ﺱ يساوي ثمانية، وﺹ يساوي سالب ١٢، فإن إحداثيي النقطة ﺟ هما: ثمانية، سالب ١٢.

يتضمن السؤال الأخير حساب معيار متجه أو مقياسه.

إذا كان المتجه ﺃﺏ يساوي سبعة ﺱ زائد ستة ﺹ، والمتجه ﺏﺟ يساوي ﺱ؛ فإن معيار المتجه ﺃﺟ يساوي (فراغ).

نتذكر أن المتجه سبعة ﺱ زائد ستة ﺹ يمكن كتابته بين قوسين دائريين على الصورة: سبعة، ستة. ويمكن كتابة المتجه ﺱ على الصورة: واحد، صفر؛ إذ إن المركبة الرأسية ﺹ غير موجودة. نتذكر كذلك أنه عند التعامل مع المتجهات، فإن المتجه ﺃﺟ يساوي المتجه ﺃﺏ زائد المتجه ﺏﺟ. في هذا السؤال، يمكننا حساب المتجه ﺃﺟ بجمع المتجه: سبعة، ستة، والمتجه: واحد، صفر.

عند جمع متجهين، نجمع المركبتين الأفقيتين والمركبتين الرأسيتين كل على حدة. إذن، سبعة زائد واحد يساوي ثمانية. وستة زائد صفر يساوي ستة. وعليه، فإن المتجه ﺃﺟ يساوي ثمانية، ستة. لكن هذه ليست الإجابة النهائية لهذا السؤال؛ فالمطلوب هو حساب معيار المتجه ﺃﺟ أو مقياسه. ولكي نفعل ذلك، علينا معرفة القاعدة التالية. إذا كان المتجه ﻭ يساوي ﺱ، ﺹ؛ فإن معيار المتجه ﻭ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. نستخدم نظرية فيثاغورس لحساب معيار المتجه ﻭ أو طوله، وذلك بتربيع المركبتين الأفقية والرأسية، ثم إيجاد مجموعهما، ثم أخذ الجذر التربيعي للناتج.

إذن، معيار المتجه ﺃﺟ يساوي الجذر التربيعي لثمانية تربيع زائد ستة تربيع. ثمانية تربيع يساوي ٦٤، وستة تربيع يساوي ٣٦. وبجمع هذين العددين معًا نحصل على الجذر التربيعي لـ ١٠٠، وهو ما يساوي ١٠. إذا كان المتجه ﺃﺏ يساوي سبعة ﺱ زائد ستة ﺹ، والمتجه ﺏﺟ يساوي ﺱ؛ فإن معيار المتجه ﺃﺟ يساوي ١٠.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن المتجه له مركبة أفقية ومركبة رأسية. تأتي المركبة الأفقية أولًا، ويمكن كتابة مركبتي المتجه بين قوسين دائريين على الصورة: أربعة، سالب ثلاثة، أو على الصورة: أربعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ؛ حيث ﺱ وﺹ متجها الوحدة. وعند جمع المتجهات أو طرحها، فإننا نتعامل مع المركبات الأفقية والرأسية كل على حدة. وينطبق الأمر نفسه عند ضرب متجه في كمية قياسية. كما عرفنا أن معيار المتجه هو طوله. ورأينا في السؤال الأخير أنه يمكننا حساب هذا المعيار باستخدام نظرية فيثاغورس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.