فيديو السؤال: استخدام قاعدة الجمع من مبادئ العد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ما التعبير العددي الذي يتيح لنا حساب عدد الطرق التي يمكن بها تكوين مجموعة من ١٠ أشخاص بالاختيار من بين ١٠ فتيان و١٢ فتاة بحيث يكون في هذه المجموعة ثماني فتيات على الأقل؟ هل هو (أ) ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين زائد ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد زائد ١٢ توافيق ١٠؟ الخيار (ب) ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين زائد ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد. الخيار (ج) ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق واحد زائد ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق صفر. الخيار (د) ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين مضروبًا في ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد مضروبًا في ١٢ توافيق ١٠. أم الخيار (هـ) ١٢ توافيق ثمانية زائد ١٠ توافيق اثنين مضروبًا في ١٢ توافيق تسعة زائد ١٠ توافيق واحد مضروبًا في ١٢ توافيق ١٠.

في هذا السؤال، نحاول اختيار مجموعة من ١٠ أشخاص من بين ١٠ فتيان و١٢ فتاة، بشرط أن يكون بهذه المجموعة ثماني فتيات على الأقل. وهذا يعني أنه يمكننا اختيار ثماني فتيات وفتيين اثنين. ويمكننا أيضًا اختيار تسع فتيات وفتى واحد. وخيارنا الأخير هو اختيار ١٠ فتيات بدون فتيان.

في هذا السؤال، لا يهم ترتيب اختيار الفتيان والفتيات. لعلنا نتذكر أن عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر من بين ﻥ من العناصر عندما لا يكون الترتيب مهمًّا هو ﻥ توافيق ﺭ. هذا يعني أن اختيار ثمانية من بين ١٢ فتاة سوف يكتب على صورة ١٢ توافيق ثمانية. وبما أنه يوجد ١٠ فتيان في المجمل، فإن اختيار اثنين منهم سوف يكتب على صورة ١٠ توافيق اثنين. يمكننا تكرار ذلك مع تسع فتيات، وفتى واحد، وأخيرًا مع ١٠ فتيات وصفر من الفتيان.

وحيث إننا نريد اختيار ثماني فتيات وفتيين اثنين، يمكننا استخدام مبدأ العد الأساسي. ينص هذا المبدأ على أن إجمالي عدد النواتج يساوي حاصل ضرب عدد نواتج كل حدث. إذن اختيار ثماني فتيات وفتيين اثنين يساوي ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين. وبالمثل، اختيار تسع فتيات وفتى واحد يساوي ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد. وأخيرًا، اختيار ١٠ فتيات وصفر من الفتيان يساوي ١٢ توافيق ١٠ مضروبًا في ١٠ توافيق صفر. تجدر الإشارة هنا إلى أن كلًّا من ﻥ توافيق صفر وﻥ توافيق ﻥ يساوي واحدًا. وهذا يعني أن اختيار ١٠ فتيات وصفر من الفتيان يساوي ببساطة ١٢ توافيق ١٠.

نحن نشترط حدوث أحد هذه الخيارات الثلاثة. ونعرف أن الأحداث متنافية. لعلنا نتذكر أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين متنافيين، حيث ﺃ له عدد ﻡ من النواتج المختلفة وﺏ له عدد ﻥ من النواتج المختلفة، فإن إجمالي عدد النواتج هو ﻡ زائد ﻥ. وهذا يعرف بقاعدة الجمع. علينا جمع ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين مع ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد مع ١٢ توافيق ١٠. وهذا يتوافق مع الإجابة المعطاة في الخيار (أ). إذن، عدد طرق اختيار مجموعة من ١٠ أشخاص من بين ١٠ فتيان و١٢ فتاة بحيث يكون في هذه المجموعة ثماني فتيات على الأقل هو ١٢ توافيق ثمانية مضروبًا في ١٠ توافيق اثنين زائد ١٢ توافيق تسعة مضروبًا في ١٠ توافيق واحد زائد ١٢ توافيق ١٠.