فيديو السؤال: إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلة المتجهة للخط المستقيم الذي يمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين سالب ثمانية ﺱ ناقص ﺹ يساوي سبعة، وسالب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي اثنين والنقطة ١٢، ثمانية.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المعادلة المتجهة لخط مستقيم. علمنا من المعطيات أن هذا الخط المستقيم يمر بنقطتين مختلفتين. أولًا، يمر بنقطة تقاطع الخطين المستقيمين سالب ثمانية ﺱ ناقص ﺹ يساوي سبعة، وسالب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ يساوي اثنين. كما علمنا أيضًا أن هذا الخط يمر بالنقطة التي إحداثياتها ١٢، ثمانية.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بالمعادلة المتجهة لخط مستقيم. المعادلة المتجهة لخط مستقيم هي معادلة خط مستقيم تكون على الصورة ﺭ يساوي ﺭ صفر زائد ﻙ في ﺩ، حيث المتجه ﺭ صفر هو متجه موضع نقطة على المستقيم، والمتجه ﺩ هو متجه اتجاه المستقيم. وهو أي متجه لا يساوي صفرًا ويوازي الخط المستقيم، وﻙ يمثل أي قيمة قياسية. لذلك علينا تحديد متجه الموضع لنقطة تقع على الخط المستقيم، ومتجه اتجاه هذا المستقيم. نحن نعلم بالفعل أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ١٢، ثمانية. ومتجه الموضع لهذه النقطة هو المتجه ١٢، ثمانية. يمكننا مساواة ذلك بالمتجه ﺭ صفر في المعادلة المتجهة لهذا الخط المستقيم.

هذا يعني أنه ليس علينا سوى تحديد متجه الاتجاه للخط المستقيم. ويمكننا إيجاد متجه الاتجاه لأي خط مستقيم باستخدام إحداثيات نقطتين على المستقيم. يعني هذا أن علينا إيجاد إحداثيات نقطة أخرى على المستقيم. ونفعل ذلك بإيجاد نقطة تقاطع الخطين المستقيمين المعطيين. يمكننا فعل ذلك بتذكر كيفية إيجاد نقطة تقاطع خطين مستقيمين معطيين، حيث علينا فقط حلهما في صورة معادلتين آنيتين. بعبارة أخرى، الإحداثيان ﺱ وﺹ لنقطة التقاطع بين الخطين المستقيمين يجب أن يحققا معادلة كل من المستقيمين.

هناك عدة طرق مختلفة يمكننا بها حل هاتين المعادلتين آنيًّا. وسنتناول إحداها فقط. سنعيد كتابة المعادلة الأولى لجعل ﺹ المتغير التابع. نضيف ﺹ إلى طرفي المعادلة، ونطرح سبعة من الطرفين. وهذا يعطينا ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ ناقص سبعة. يمكننا الآن التعويض بهذا المقدار عن ﺹ في المعادلة الثانية. فنحصل على سالب خمسة ﺱ ناقص ثلاثة في سالب ثمانية ﺱ ناقص سبعة يساوي اثنين.

هذه معادلة في ﺱ، لذا علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. ولحل هذه المعادلة، سنبدأ بتوزيع سالب ثلاثة على القوسين. فنحصل على سالب خمسة ﺱ زائد ٢٤ﺱ زائد ٢١ يساوي اثنين. يمكننا بعد ذلك الاستمرار في تبسيط هذه المعادلة. بجمع حدي ﺱ معًا، نحصل على ١٩ﺱ. يمكننا طرح ٢١ من طرفي المعادلة لنحصل على ١٩ﺱ يساوي سالب ١٩. ويمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على ١٩ لنجد أن ﺱ يساوي سالب واحد. وهذه هي قيمة الإحداثي ﺱ لنقطة تقاطع الخطين المستقيمين. يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في معادلة أي من هذين الخطين المستقيمين لإيجاد قيمة الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع.

سنعوض بذلك في معادلة الخط المستقيم الأول. تجدر الإشارة هنا إلى أن هذا يكافئ التعويض في هذه المعادلة المعاد ترتيبها. وفي كلتا الحالتين، يمكننا حل المعادلة لإيجاد أن قيمة ﺹ تساوي واحدًا. أصبح لدينا الآن إحداثيات نقطتين تقعان على هذا الخط المستقيم. وسيسمح لنا هذا بحساب متجه اتجاه هذا المستقيم. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن متجه الاتجاه لخط مستقيم يمر بنقطتين مختلفتين ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين هو المتجه ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين، ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن أي مضاعف قياسي لا يساوي صفرًا لهذا المتجه هو متجه اتجاه لهذا الخط المستقيم.

علمنا من السؤال أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها ١٢، ثمانية. ولقد أوجدنا للتو نقطة تقاطع الخطين المستقيمين. وهي النقطة سالب واحد، واحد. وبما أن الخط المستقيم يمر بهذه النقطة، يمكننا جعل ﺱ واحد، ﺹ واحد يساوي ١٢، ثمانية؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين يساوي سالب واحد، واحد. سيمكننا هذا من إيجاد متجه اتجاه هذا الخط المستقيم. فنحصل على ﺩ يساوي المتجه ١٢ ناقص سالب واحد، ثمانية ناقص واحد. ويمكننا إيجاد قيمة كل مركبة على حدة. هذا هو المتجه ١٣، سبعة.

والآن، لا يتبقى لنا سوى التعويض بمتجه الموضع ومتجه الاتجاه في المعادلة المتجهة للخط المستقيم. نجد أن ﺭ يساوي المتجه ١٢، ثمانية زائد ﻙ في المتجه ١٣، سبعة، وهي الإجابة النهائية.