تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد قيم المركبات لقوتين من مجموع عزميهما حول نقطتين الرياضيات

ﻕ_١ = ﻡﺱ + ﺹ، ﻕ_٢ = ﻥﺱ − ٥ﺹ، حيث ﻕ_١، ﻕ_٢ قوتان تؤثران في النقطتين ﺃ (٣‎، ١)، ﺏ (−١‎، −١) على الترتيب. مجموع العزوم حول نقطة الأصل يساوي صفرًا. وكذلك مجموع العزوم حول النقطة ﺟ (١‎، ٢) يساوي صفرًا. عين قيمتي ﻡ، ﻥ.

٠٦:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﻕ واحد تساوي ﻡﺱ زائد ﺹ، ﻕ اثنان تساوي ﻥﺱ ناقص خمسة ﺹ؛ حيث ﻕ واحد، ﻕ اثنان قوتان تؤثران في النقطتين ﺃ ثلاثة، واحد، وﺏ سالب واحد، وسالب واحد على الترتيب. مجموع العزوم حول نقطة الأصل يساوي صفرًا. وكذلك مجموع العزوم حول النقطة ﺟ واحد، اثنين يساوي صفرًا. عين قيمتي ﻡ وﻥ.

تذكر أن العزم ﺝ لقوة ﻕ حول النقطة ﻫ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭ في ﻕ؛ حيث ﺭ هو المتجه من ﻫ إلى النقطة التي تؤثر منها القوة، أي ﺃ. النقطة ﻫ يمكن أن تكون هي نقطة الأصل أو أي نقطة أخرى في الفضاء. إذا كانت هذه النقطة هي نقطة الأصل، فإن ﺭ ببساطة هو متجه موضع النقطة ﺃ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمتي مجهولين، وهما ﻡ وﻥ. ولإيجاد قيمة هذين المجهولين، سنحتاج إلى معادلتين آنيتين منفصلتين. في هذه الحالة، سنحصل على المعادلة الأولى عن طريق مجموع العزمين حول نقطة الأصل، الذي يساوي صفرًا. وسنحصل على المعادلة الثانية عن طريق مجموع العزمين حول النقطة ﺟ الذي يساوي صفرًا.

لنبدأ بكتابة المعادلة الأولى حول نقطة الأصل. متجه الموضع ﺭﺃ للنقطة ﺃ يساوي ثلاثة، واحدًا. ومتجه الموضع ﺭﺏ للنقطة ﺏ يساوي سالب واحد، سالب واحد. ومن ثم، فإن العزم ﺝ واحدًا للقوة ﻕ واحد يساوي ﺭﺃ ضرب اتجاهي ﻕ واحد. والعزم ﺝ اثنان للقوة ﻕ اثنين يساوي ﺭﺏ ضرب اتجاهي ﻕ اثنين. وبحساب حاصل الضرب الاتجاهي الأول، ﺭﺃ ضرب اتجاهي ﻕ واحد، يصبح لدينا محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ، ثلاثة، واحد، صفر، ﻡ، واحد، صفر. تقع كل من القوتين ومتجهي الموضع في المستوى ﺱﺹ. ومن ثم، فإن كل شيء يكون ثنائي الأبعاد، ولدينا في العمود ﻉ عمود يتضمن صفرين.

ولهذا السبب، فإن المركبة ﻉ فقط لكلا العزمين لن تساوي صفرًا. وهذا منطقي؛ لأن حاصل الضرب الاتجاهي، كما نتذكر، يكون عموديًّا على كلا المتجهين دائمًا. وبما أن كلا المتجهين يقعان في المستوى ﺱﺹ، فلا بد أن يكون الناتج موازيًا للمحور 𝑧. وبحساب هذا المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، يصبح لدينا ثلاثة ناقص ﻡ في ﻉ. وبالمثل، بالنسبة إلى ﺝ اثنين، لدينا محدد المصفوفة التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ، سالب واحد، سالب واحد، صفر، ﻥ، سالب خمسة، صفر. ومرة أخرى، يقع هذان المتجهان في المستوى ﺱﺹ، والعمود ﻉ يساوي صفرًا. إذن، المركبة ﻉ فقط لن تساوي صفرًا. وبحساب هذا المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف العلوي، نحصل على خمسة زائد ﻥ في ﻉ. بجمع هذين العزمين معًا، نحصل على ثمانية ناقص ﻡ زائد ﻥ في ﻉ.

علمنا من السؤال أن مجموع هذين العزمين يساوي صفرًا أو متجهًا صفريًّا. ولكي يكون المتجه مساويًا لمتجه صفري، فلا بد لجميع مركباته أن تساوي صفرًا أيضًا. لذلك، فإن الكمية القياسية ثمانية ناقص ﻡ زائد ﻥ يجب أن تساوي صفرًا. وهكذا، نحصل على المعادلة الأولى: ثمانية ناقص ﻡ زائد ﻥ يساوي صفرًا.

والآن، علينا إيجاد معادلة ثانية من مجموع العزمين حول النقطة ﺟ واحد، اثنين يساوي صفرًا. بما أننا نريد إيجاد العزم حول النقطة ﺟ بدلًا من نقطة الأصل، فإن المتجهين ﺭﺃ، ﺭﺏ سيكونان مختلفين. يمكننا أن نحصل على قيمة ﺭﺃ من خلال متجه الموضع للنقطة ﺃ ثلاثة، واحد ناقص متجه الموضع للنقطة ﺟ واحد، اثنين. وهذا سيساوي اثنين، سالب واحد. وبالمثل، فإن ﺭﺏ سيساوي متجه الموضع للنقطة ﺏ سالب واحد، سالب واحد ناقص متجه الموضع للنقطة ﺟ واحد، اثنين؛ وهو ما يساوي سالب اثنين، سالب ثلاثة.

مرة أخرى، العزم ﺝ واحد للقوة ﻕ واحد حول النقطة ﺟ سيساوي ﺭﺃ ضرب اتجاهي ﻕ واحد. والعزم ﺝ اثنان للقوة ﻕ اثنين حول النقطة ﺟ سيساوي ﺭﺏ ضرب اتجاهي ﻕ اثنين. بحساب حاصل الضرب الاتجاهي الأول نحصل على محدد المصفوفة التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ، اثنان، سالب واحد، صفر، ﻡ، واحد، صفر. ومرة أخرى، لدينا كل شيء في المستوى ﺱﺹ. ويتبقى لدينا المركبة ﻉ فقط، ومن ثم يصبح لدينا اثنان زائد ﻡ في ﻉ. وبالمثل، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺭﺏ ضرب اتجاهي ﻕ اثنين يعطينا محدد المصفوفة التي عناصرها ﺱ، ﺹ، ﻉ، سالب اثنين، سالب ثلاثة، صفر، ﻥ، سالب خمسة، صفر. وذلك، يساوي ١٠ زائد ثلاثة ﻥ في ﻉ.

ومرة أخرى، نعلم من السؤال أن مجموع هذين العزمين، ﺝ واحد زائد ﺝ اثنين، يساوي المتجه الصفري. ومن ثم، يكون لدينا ١٢ زائد ﻡ زائد ثلاثة ﻥ في ﻉ يساوي المتجه الصفري. وهذا يعني أن المركبة ﻉ يجب أن تساوي صفرًا أيضًا. ومنه، نحصل على المعادلة الآنية الثانية: ١٢ زائد ﻡ زائد ثلاثة ﻥ يساوي صفرًا.

يمكننا الآن حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيمتي ﻡ وﻥ. إذا جمعنا المعادلة الأولى والمعادلة الثانية، يحذف ﻡ وسالب ﻡ، ويتبقى لدينا ٢٠ زائد أربعة ﻥ يساوي صفرًا. وعند الحل لإيجاد قيمة ﻥ، نجد أن ﻥ يساوي سالب خمسة. وبالتعويض بقيمة ﻥ في المعادلة الأولى، يصبح لدينا ثمانية ناقص ﻡ ناقص خمسة يساوي صفرًا. وبحل ذلك لإيجاد قيمة ﻡ، نجد أن ﻡ يساوي ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.