نسخة الفيديو النصية
تتدرب منى في الصالة الرياضية. على المشاية الرياضية تجري ٢٥٠ مترًا في الدقيقة الأولى. وتقل المسافة التي تجريها بنسبة ١٠ بالمائة في كل دقيقة لاحقة. ما المسافة التي تجريها في ١٠ دقائق؟ قرب إجابتك لأقرب متر.
حسنًا، دعونا نفكر فيما يحدث هنا. في الدقيقة الأولى، تجري منى مسافة ٢٥٠ مترًا. وفي الدقيقة الثانية، تجري منى عددًا أقل من الأمتار بنسبة ١٠ بالمائة. إذن سنحسب النسبة ١٠ بالمائة من عدد الأمتار التي جرتها في الدقيقة الأولى، والنسبة ١٠ بالمائة في صورة عدد عشري تساوي ٠٫١٠. ٢٥٠ في ٠٫١٠ يساوي ٢٥. إذن جرت منى في الدقيقة الثانية مسافة أقل بمقدار ٢٥ مترًا. وهذا يعني أن علينا طرح ٢٥ من ٢٥٠، مما يعطينا ٢٢٥ مترًا. وبذلك تكون منى قد جرت مسافة ٢٢٥ مترًا في الدقيقة الثانية. وحساب المسافة التي جرتها في الدقيقة الثانية بهذه الطريقة يتطلب إجراء خطوتين. علينا أولًا أن نحسب النسبة ١٠ بالمائة، ثم نطرح الناتج.
في الواقع، توجد طريقة أبسط لفعل ذلك؛ حيث سيكون علينا إجراء خطوة واحدة فقط. حسنًا، مسافة أقل بمقدار ١٠ بالمائة تعني أن منى تحافظ على ٩٠ بالمائة من سرعتها. وهذا يعني أننا يمكننا ضرب المسافة ٢٥٠ مترًا التي جرتها في الدقيقة الأولى في النسبة ٩٠ بالمائة التي تحافظ عليها من سرعتها. بعد ذلك نكتب هذه النسبة في صورة عدد عشري؛ أي ٠٫٩٠، و٢٥٠ في ٠٫٩٠ يساوي ٢٢٥ مترًا. وهذه طريقة مباشرة لحساب المسافة. حسنًا، دعونا نرجع إلى المسافات. في الدقيقة الثالثة، جرت منى مسافة مقدارها ٩٠ بالمائة من المسافة التي جرتها في الدقيقة الثانية. تذكر أن النسبة ٩٠ بالمائة من المسافة التي جرتها في الدقيقة الثانية تمثل مسافة أقل بنسبة ١٠ بالمائة. إذن ٩٠ بالمائة من ٢٢٥ يساوي ٢٠٢٫٥.
يمكننا المواصلة على نفس المنوال حتى نصل إلى الدقيقة ١٠. علينا إجراء ١٠ عمليات حسابية مختلفة ثم جمع النواتج معًا. لكنني أتساءل إذا ما كان بإمكاننا ملاحظة نمط آخر هنا. تذكر أن ٢٢٥ يساوي ٩٠ بالمائة من ٢٥٠. دعونا نعوض إذن بالنسبة ٩٠ بالمائة من ٢٥٠ في المواضع التي نرى فيها العدد ٢٢٥. إذا كانت الدقيقة الثانية تناظر ٢٥٠ في ٠٫٩٠، فيمكننا إعادة كتابة ما لدينا في الدقيقة الثالثة على الصورة: ٢٥٠ في ٠٫٩٠ في ٠٫٩٠؛ أي ٢٥٠ في ٠٫٩٠ تربيع. وبهذه الطريقة، يمكننا قول: إن الدقيقة الثانية تناظر ٢٥٠ في ٠٫٩٠ أس واحد. ويمكننا أيضًا قول: إن الدقيقة الأولى تناظر ٢٥٠ في ٠٫٩٠ أس صفر. ونحن نعلم أن أي قيمة أس صفر تساوي واحدًا. إذن ٢٥٠ في ٠٫٩٠ أس صفر يساوي ٢٥٠.
حسنًا، علينا هنا الانتباه إلى العلاقة بين الأس والدقيقة. في الدقيقة الثانية قيمة الأس هي واحد. وفي الدقيقة الثالثة قيمة الأس هي اثنان. إذن ما المعادلة التي يمكن استخدامها لحساب المسافة التي جرتها منى في الدقيقة الرابعة؟ في الدقيقة الرابعة جرت منى مسافة مقدارها ٢٥٠ في ٠٫٩٠ تكعيب متر. وهذا النمط يذكرنا بالمتتابعة الهندسية. في أي متتابعة هندسية، يحسب أي حد، ﺡﻥ، بضرب الحد الأول ﺃ، في ﺭ، وهو معدل تغيره، مرفوعًا للأس ﻥ ناقص واحد؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.
لكن كيف يساعدنا ذلك؟ حسنًا، هذه الحقيقة في حد ذاتها لن تساعدنا بالضرورة. لكننا نعلم صيغة لحساب مجموع عدد ﻥ من الحدود لمتتابعة هندسية. مجموع عدد ﻥ من الحدود يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ الكل مقسومًا على واحد ناقص ﺭ، ما دام أن المعدل لا يساوي واحدًا. حسنًا، دعونا نجرب استخدام هذه الصيغة. إننا نريد إيجاد مجموع أول ١٠ قيم؛ ولدينا ﺃ، وهو مقدار المسافة التي جرتها منى بعد مرور دقيقة واحدة؛ أي ٢٥٠. لدينا بعد ذلك واحد ناقص المعدل. وهو النسبة ٩٠ بالمائة؛ أي معدل التغير، أس ١٠ الكل مقسومًا على واحد ناقص ٠٫٩٠.
إذا حسبنا ذلك على الآلة الحاسبة، فسنحصل على ١٦٢٨٫٣٠٣٩. وإذا أردنا التقريب لأقرب متر، فعلينا النظر إلى الرقم الذي يقع على يمين هذه القيمة. إنه ثلاثة في هذه الحالة. وبما أنه أصغر من خمسة، فسنقرب لأسفل، مما يعني أن الرقم ثمانية في خانة الآحاد سيظل كما هو. إذن يمكننا قول: إن منى جرت مسافة ١٦٢٨ مترًا في ١٠ دقائق. والآن، في هذا السؤال، هل كان علينا إدراك أن هذه متتابعة هندسية؟ حسنًا، لا. لكن إذا لم ندرك ذلك، فإليك ما يجب فعله.
دعونا نرجع إلى طريقة الجدول. في الدقيقة الأولى لدينا، جرت منى مسافة ٢٥٠ مترًا. وفي الدقيقة الثانية، سنضرب ٠٫٩٠ في ٢٥٠ لنحصل بذلك على ٢٢٥. وإذا استخدمنا الآلة الحاسبة، فيمكننا استخدام الزر ANS؛ وبذلك يمكننا قول: إن الدقيقة الثالثة تناظر ٠٫٩٠ مضروبًا في الناتج لدينا. هذا يعني أننا سنحسب ٠٫٩٠ مضروبًا في الناتج السابق؛ أي ٢٢٥، مما يعطينا ٢٠٢٫٥. ومرة أخرى، يمكننا إكمال هذه العملية على الآلة الحاسبة عن طريق ضرب ٠٫٩٠ في الناتج؛ أي الناتج السابق. وبمجرد حساب جميع هذه القيم الـ ١٠، سنجمعها معًا. إذن مجموع هذه القيم يساوي ١٦٢٨٫٣٠٣٩، وهو ما سنقربه بعد ذلك إلى ١٦٢٨ مترًا.
