نسخة الفيديو النصية
في أي ربع يقع المرافق المركب للعدد ﻉ؟
في هذا السؤال، لدينا مخطط أرجاند يحتوي على النقطة ﻉ. ولكي نفعل ذلك، علينا تحديد الربع الذي يقع فيه المرافق المركب للعدد ﻉ. وقبل البدء، تجدر الإشارة هنا إلى أمر يتعلق برمز المرافق المركب. في بعض الأحيان، ستراه مكتوبًا بشرطة أفقية. أو في أحيان أخرى، ستجده مكتوبًا بنجمة. وكلاهما يعنيان الشيء نفسه؛ فكل من ﻉ ستار وﻉ بار يشير إلى المرافق المركب للعدد المركب ﻉ. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا تذكر ما نعنيه بالضبط عندما نقول إننا سنوجد المرافق المركب لعدد مركب ما.
لإجراء ذلك، دعونا نبدأ بالقول إن لدينا عددًا مركبًا على الصورة الجبرية. إذن، ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. وإيجاد المرافق المركب لهذا العدد يعني فقط أننا سنبدل إشارة معامل ﺕ. لذا، بدلًا من جمع ﺏ في ﺕ، سنطرح ﺏ في ﺕ. إذن، المرافق المركب للعدد ﻉ سيكون ﺃ ناقص ﺏﺕ. بذلك أصبحنا نعلم الآن كيفية إيجاد المرافق المركب للعدد ﻉ، إذا كان ﻉ على الصورة الجبرية. لكن هذه ليست الصورة التي عليها العدد ﻉ في السؤال. وبدلًا من ذلك، لدينا ﻉ على مخطط أرجاند. إذن، علينا تذكر ما نعنيه بنقطة على مخطط أرجاند.
في مخطط أرجاند، تمثل كل نقطة عددًا مركبًا. يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي من العدد المركب ويمثل المحور الرأسي الجزء التخيلي من العدد المركب. وهذا يساعدنا على وجه التحديد في إيجاد الصورة الجبرية للعدد المركب على مخطط أرجاند. إذا كان ﻉ معطى على الصورة الجبرية ﺃ زائد ﺏﺕ، فيمكننا القول إن ﺃ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب، والمعامل ﺏ هو الجزء التخيلي من العدد المركب. ويمكننا تمثيل ذلك بالترميز التالي. الجزء الحقيقي من ﻉ يساوي ﺃ والجزء التخيلي من ﻉ يساوي ﺏ.
وفي مخطط أرجاند، يمثل محور الإحداثيات الأفقي الجزء الحقيقي من العدد المركب، ويمثل محور الإحداثيات الرأسي جزءه التخيلي. إذن، يمكننا استخدام مخطط أرجاند لإيجاد قيمة ﻉ. أولًا، نريد إيجاد إحداثيه الأفقي. نلاحظ من هذا التمثيل البياني أنه تقريبًا عند سالب ٣٫٨. تذكر أن هذا يخبرنا عن الجزء الحقيقي من العدد التخيلي ﻉ. بعبارة أخرى، هذا يعطينا قيمة ﺃ. إذن، سنكتب قيمة ﺃ تساوي سالب ٣٫٨. ويمكننا إجراء الشيء نفسه لإيجاد الإحداثي الرأسي للعدد ﻉ. نلاحظ من المخطط أنه يقع عند ثلاثة، وهذا سيخبرنا عن الجزء التخيلي من العدد ﻉ، أي قيمة ﺏ. إذن، قيمة ﺏ ستساوي فقط ثلاثة.
وهكذا، بمجرد النظر إلى مخطط أرجاند، تمكنا من توضيح أن ﻉ يساوي سالب ٣٫٨ زائد ثلاثة ﺕ. لكن هذا ليس المطلوب منا في السؤال. فالمطلوب هو تحديد الربع الذي سيقع فيه المرافق المركب للعدد ﻉ. لكن تذكر أنه لإيجاد المرافق المركب للعدد ﻉ، علينا فقط تغيير إشارة معامل ﺕ. وبذلك، كل ما علينا فعله لإيجاد المرافق المركب للعدد ﻉ هو أننا سنطرح الآن ثلاثة ﺕ بدلًا من جمع ثلاثة ﺕ. لكننا نريد معرفة الربع الذي يقع فيه هذا المرافق على مخطط أرجاند. إذن، علينا تمثيل هذه النقطة على مخطط أرجاند.
للقيام بذلك، نلاحظ أن الجزء الحقيقي من العدد ﻉ هو سالب ٣٫٨، والجزء الحقيقي من مرافقه المركب هو أيضًا سالب ٣٫٨. إذن، عند تحديد المرافق المركب للعدد ﻉ، فإن الإحداثي الأفقي له يساوي سالب ٣٫٨ أيضًا. لكن إذا قارنا بين الجزء التخيلي لهذين العددين، يمكننا أن نلاحظ أننا قد غيرنا الإشارة. فالجزء التخيلي من المرافق المركب للعدد ﻉ يساوي سالب ثلاثة. إذن، المرافق المركب للعدد ﻉ سيكون له الإحداثي الرأسي سالب ثلاثة، ونحن نعلم بالفعل أن الإحداثي الأفقي له هو سالب ٣٫٨، ويمكننا الآن تحديد هذه النقطة على المخطط لدينا.
كل ما نحتاج الآن إلى تحديده هو الربع الذي يقع فيه هذا المرافق. نسمي الأرباع في مخطط أرجاند بالطريقة نفسها التي نتبعها في التمثيل البياني الكارتيزي. عندما يكون الجزآن الحقيقي والتخيلي موجبين، نسمي هذا بالربع الأول. ثم نرقم الأرباع عكس اتجاه حركة عقارب الساعة. ستجدها أحيانًا مكتوبة بالأحرف بصورة كاملة. لكن، ستراها غالبًا مكتوبة بالأرقام الرومانية. في كلتا الحالتين، يمكننا ملاحظة أن المرافق المركب للعدد ﻉ يقع في الربع الثالث. وهكذا، تمكنا من توضيح أن المرافق المركب للعدد ﻉ سيقع في الربع الثالث من مخطط أرجاند.
ولكن يوجد أمر واحد تجدر الإشارة إليه هنا؛ وهو أنه عندما نحصل على العدد ﻉ، نلاحظ أن الشيء الوحيد الذي نفعله لإيجاد المرافق المركب للعدد ﻉ هو تبديل إشارة الجزء التخيلي. لذا، فنحن لا نغير الجزء الحقيقي من هذا العدد المركب أبدًا. هذا يعني أننا لا نغير الإحداثي الأفقي له على مخطط أرجاند أبدًا. وبدلًا من ذلك، نغير دائمًا إشارة الإحداثي الرأسي له. أي إننا نغير إشارة الجزء التخيلي من هذا العدد. وهذا يماثل تمامًا عكس هذه النقطة حول المحور الأفقي. لذا، في الواقع، كان بإمكاننا الإجابة عن هذا السؤال عن طريق عكس النقطة ﻉ في المحور الأفقي وملاحظة وقوعها في الربع الثالث، وهذه طريقة صحيحة أيضًا للإجابة عن هذا السؤال.
وهكذا، تمكنا من توضيح طريقتين مختلفتين لتحديد الربع الذي يقع فيه المرافق المركب للعدد ﻉ بمعلومية ﻉ في مخطط أرجاند. وباستخدام كلتا الطريقتين، تمكنا من إثبات وقوعه في الربع الثالث.