نسخة الفيديو النصية
مساحة قطاع دائري تساوي ١٦ سنتيمترًا مربعًا. أوجد نصف القطر نق الذي يجعل محيط القطاع الدائري أقل ما يمكن، ثم أوجد قياس الزاوية 𝜃 المناظرة بالراديان.
لحل مسألة كهذه، علينا استخدام الحل الأمثل. القيمتان العظمى والصغرى تتحققان عندما يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا. عندما تكون قيمة المشتقة الثانية ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع أكبر من صفر، يكون لدينا قيمة صغرى. وعندما تكون قيمة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع أصغر من صفر، تكون لدينا قيمة عظمى. وبما أننا نتعامل بالراديان، فإن مساحة القطاع تساوي نصف نق تربيع 𝜃؛ حيث 𝜃 زاوية القطاع، ونق نصف القطر. محيط القطاع يساوي نق𝜃، وهو طول القوس، زائد اثنين نق، أي اثنين مضروبًا في نصف القطر.
في هذا السؤال، علمنا أن المساحة تساوي ١٦ سنتيمترًا مربعًا. وبالتعويض بهذه القيمة، نحصل على نصف نق تربيع 𝜃 يساوي ١٦. بضرب الطرفين في اثنين، نحصل على نق تربيع 𝜃 يساوي ٣٢. وأخيرًا، بالقسمة على نق تربيع، نحصل على 𝜃 تساوي ٣٢ على نق تربيع. يمكننا التعويض بذلك في معادلة المحيط لدينا. المحيط يساوي نق مضروبًا في ٣٢ على نق تربيع زائد اثنين نق. في الحد الأول، نحذف نق. هذا يعني أن ﺡ يساوي ٣٢ على نق زائد اثنين نق. ويمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة ٣٢نق أس سالب واحد زائد اثنين نق.
وبما أننا نريد المحيط أقل ما يمكن، علينا اشتقاق هذه الدالة. ﺩﺡ على ﺩنق يساوي سالب ٣٢نق أس سالب اثنين زائد اثنين. ويمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة سالب ٣٢ على نق تربيع زائد اثنين. لإيجاد القيمة الصغرى، نساوي هذا المقدار بصفر. بضرب الطرفين في نق تربيع، نحصل على صفر يساوي سالب ٣٢ زائد اثنين نق تربيع. يمكننا إذن إضافة ٣٢ إلى الطرفين. إذن، اثنان نق تربيع يساوي ٣٢. بالقسمة على اثنين، نحصل على نق تربيع يساوي ١٦. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على نق يساوي موجب أو سالب أربعة. وبما أننا نتعامل مع طول، فلا بد أن يكون ذلك موجبًا. ومن ثم، فإن نصف القطر يساوي أربعة سنتيمترات.
إذن، قياس الزاوية 𝜃 المناظرة يساوي ٣٢ على أربعة تربيع. أربعة تربيع يساوي ١٦. ٣٢ مقسومًا على ١٦ يساوي اثنين. إذن، الزاوية تساوي اثنين راديان. وعلينا التأكد من أن هذه هي القيمة الصغرى من خلال إيجاد قيمة ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع. إذا كانت هذه القيمة أكبر من صفر، تكون إجابتنا إذن قيمة صغرى. نتذكر أن ﺡ يساوي ٣٢نق أس سالب واحد زائد اثنين نق. وكان ﺩﺡ على ﺩنق يساوي سالب ٣٢نق أس سالب اثنين زائد اثنين.
باشتقاق ذلك مرة أخرى، نحصل على ﺩ اثنين ﺡ على ﺩنق تربيع. وهذا يساوي ٦٤نق أس سالب ثلاثة؛ لأن سالب اثنين مضروبًا في سالب ٣٢ يساوي ٦٤. وبطرح واحد من الأس، نحصل على سالب ثلاثة. باشتقاق الثابت اثنين، نحصل على صفر. المشتقة الثانية تساوي ٦٤ على نق تكعيب. بالتعويض بقيمة نق، نحصل على ٦٤ على أربعة تكعيب. وبما أن أربعة تكعيب يساوي ٦٤، فإن ٦٤ مقسومًا على أربعة تكعيب يساوي واحدًا. وبما أن هذا أكبر من صفر، فإن نصف القطر الذي يساوي أربعة سنتيمترات هو القيمة الصغرى.
نصف القطر الذي يجعل المحيط أقل ما يمكن هو أربعة سنتيمترات. والزاوية المناظرة هي اثنان راديان.
