فيديو السؤال: إيجاد مقلوبات الأعداد المركبة على الصورة الأسية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي ثلاثة مضروبًا في جتا ١١‏𝜋‏ على ستة زائد ﺕ جا ١١‏𝜋‏ على ستة، فأوجد واحد على ﻉ على الصورة الأسية.

لقد اعتدنا على كتابة الأعداد المركبة على صورتها القطبية والمثلثية. لكن، باستخدام صيغة أويلر، يمكننا إعادة كتابة الصورة القطبية والمثلثية للعدد المركب إلى الصورة الأسية. قد يفيدنا ذلك تحديدًا عند إيجاد مقلوب أي عدد مركب.

في هذه الحالة، يمكن كتابة المعكوس الضربي بالصيغة الموضحة. لنبدأ إذن بتحديد المقياس ﻝ والسعة 𝜃. يمكن معرفة المقياس عن طريق المقارنة بين المعاملين في الصورة القطبية العامة الموضحة هنا وفي العدد المركب الوارد في السؤال. وفي هذا المثال، المقياس يساوي ثلاثة. لكن قيمة السعة يصعب قليلًا الحصول عليها.

حسنًا، يخبرنا المفهوم الرياضي أن السعة يجب أن تتراوح قيمتها ما بين 𝜋 وسالب 𝜋. لكن قيمة 𝜃 في هذا السؤال خارج هذا النطاق، وتقع عند ١١‏𝜋‏ على ستة. في حالة دائرة الوحدة، بما أن الدورة الكاملة تساوي اثنين 𝜋، فيمكننا طرح ١١‏𝜋‏ على ستة من اثنين 𝜋. اثنان 𝜋 ناقص ١١‏𝜋‏ على ستة يساوي ‏𝜋‏ على ستة. ولأننا نقيس هذه الزاوية في اتجاه حركة عقارب الساعة، فإن قيمة السعة تساوي سالب ‏𝜋‏ على ستة.

بمجرد الانتهاء من إيجاد قيمتي المقياس والسعة، يمكننا ببساطة التعويض بهاتين القيمتين في صيغة المقلوب. واحد على ﻉ يساوي ثلث ﻫ أس ﺕ مضروبًا في سالب سالب ‏𝜋‏ على ستة. وبتبسيط المقدار إلى أبسط صورة، يصبح المقلوب يساوي ثلث ﻫ أس ‏𝜋‏ على ستة مضروبًا في ﺕ.