فيديو: استخدام التغير الطردي لحل المسائل

يوضح الفيديو مفهوم التغير الطردي، ومعادلة التغير الطردي، وكيفية تحديد الدالة الخطية المتناسبة التي تمثل تغير طردي، مع حل أمثلة توضيحية.

١٠:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

استخدام التغير الطردي لحل المسائل.

في الفيديو ده هنتكلّم عن مفهوم التغير الطردي، ومعادلة التغير الطردي. وإزاي نقدر نحدد الدالة الخطية المتناسبة التي تمثّل التغير الطردي. مع حل أمثلة باستخدام التغير الطردي.

التغير الطردي هو علاقة بين متغيرين، النسبة بينهما مقدار ثابت. ويسمى المقدار الثابت ثابت التغيُّر.

مثال على التغير الطردي: يقرأ أحمد عشرين صفحة في الساعة الواحدة. وعدد الصفحات الذي يقرأها أحمد تتناسب طرديًّا مع عدد ساعات القراءة.

بنجد أن هذا التغير الطردي يمكن تمثيله بيانيًّا. بنجد أن المحور الأفقي يمثّل عدد الساعات، والمحور الرأسي يمثّل عدد الصفحات التي يقرأها أحمد. بنلاحظ أيضًا أن التغير الطردي يمثَّل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل النقطة صفر وصفر. وبالتالي نجد أن إذا قضى أحمد ساعة في القراءة، فسوف يقرأ عشرين صفحة. وإذا قضى أحمد ساعتين في القراءة، فسوف يقرأ أربعين صفحة.

بعد كده هنحل مثال آخر على التغير الطردي. نفتح صفحة جديدة.

بنكمّل المثال، بيقول: إذا كان أجر عامل في مصنع موضَّح في الشكل البياني التالي. اوجد أجر العامل في الساعة الواحدة.

بنلاقي عندنا إن المحور الأفقي بيمثّل ساعات العمل. والمحور الرأسي يمثّل الأجر بالجنيه. والعلاقة بين ساعات العمل وأجر العامل تمثَّل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل. وبالتالي نجد أن العلاقة بينهما علاقة طردية.

بنلاحظ أيضًا إن النسبة بين الأجر وساعات العمل ثابتة؛ حيث أن ستين على الاتنين تساوي تلاتين. مية وعشرين على الأربعة تساوي ثلاثين. مية وتمانين على الستة تساوي تلاتين. وطبعًا المعلومات دي قدرنا نحصل عليها من التمثيل البياني لهذه العلاقة بين ساعات العمل والأجر.

بنلاحظ لما ساعات العمل بتكون اتنين، الأجر عبارة عن ستين جنيه. ولما ساعات العمل أربعة، الأجر مية وعشرين. ولما ساعات العمل ستة، الأجر مية وتمانين جنيه. وبذلك إحنا وجدنا إن النسبة ثابتة، والعلاقة هي علاقة تغير طردي. ونجد أن أجر العامل في الساعة الواحدة ثلاثون جنيه لكل ساعة. ويمثّل ثابت التغير.

بعد كده هنعرف معادلة التغير الطردي. نفتح صفحة جديدة ونكمّل.

بنكمّل ونتكلم عن معادلة التغير الطردي. إذا كانت العلاقة بين ص وَ س علاقة طردية. فإن ص تساوي أ س؛ حيث أ لا يساوي صفر، وَ أ هو ثابت التغير.

مثال: ص تساوي تلاتة س.

بنلاحظ إن العلاقة بين س وَ ص هي علاقة طردية، وتمثّل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل. وثابت التغير مقداره تلاتة. أي أن كلَّما زادت س بمقدار الوحدة، تزداد قيمة ص بمقدار تلات وحدات. بعد كده هنكمّل ونحل مثال آخر.

نفتح صفحة جديدة. بنكمّل مثال علي التغير الطردي. ومطلوب تحديد هل الدالة الخطية الممثَّلة في جدول الدالة التالي، هي علاقة تغير الطردي أم لا؟

شرط أن تكون الدالة الخطية تمثّل علاقة تغير طردي، أن تكون النسب بين المتغيرين نفسها، وهي ثابت التغير. لو حسبنا النِّسَب بين المتغيرين ص وَ س، عبارة عن واحد على خمسة وعشرين. واتنين على خمسين، اللي هي واحد على خمسة وعشرين باختصار البسط مع المقام. وتلاتة على خمسة وسبعين، باختصار البسط مع المقام تصبح واحد على خمسة وعشرين. وأربعة على مية، باختصار البسط مع المقام تصبح واحد على خمسة وعشرين.

وبالتالي النِّسَب بين المتغيرين ثابتة دائمًا، وهي تساوي واحد على خمسة وعشرين. وبكده بنلاقي إن الدالة تمثّل علاقة تغير طردي، وثابت التغير واحد على خمسة وعشرين.

بنكمّل المثال، ومطلوب تحديد هل الدالة الخطية الممثَّلة في جدول الدالة التالي هي علاقة تغير طردي أم لا. وبنلاقي في جدول لدالة خطية أخرى. لو حسبنا النّسَب بين المتغيرين ص وَ س. فبنلاقي عندنا ستة وتلاتين عَ الاتنين تساوي تمنتاشر. واتنين وخمسين عَ الأربعة تساوي تلتاشر. وتمنية وستين على ستة تساوي حداشر وتلاتة وتلاتين من مائة. وأربعة وتمانين على التمنية تساوي عشرة وخمسة من عشرة. أي أن النسب بين المتغيرين ليست نفسها. وبالتالي الدالة الخطية لا تمثّل علاقة تغير طردي.

بنكمّل مثال آخر. نفتح صفحة جديدة. مثال: إذا علمت أن سنة واحدة من عمر الحصان تقابل تلات سنوات من عمر الإنسان. افترض أن عمر الحصان يتناسب طرديًّا مع ما يكافئه من عمر الإنسان. فما عمر الإنسان الذي يكافئ ست سنوات من عمر الحصان؟

نفرض أن عمر الحصان س. وعمر الإنسان ص. وثابت التغير ك. وبالتالي تكون معادلة التغير الطردي: ص تساوي ك س. هي معادلة التغير الطردي بين عمر الإنسان وعمر الحصان. توجد معلومة بالمثال وهي واضحة أن سنة واحدة من عمر الحصان تقابل تلات سنوات من عمر الإنسان. أي أن عند ص تساوي تلاتة، س تساوي واحد. وبالتالي بالتعويض في معادلة التغير الطردي، نجد أن ص تساوي تلاتة عند س تساوي واحد. إذن ك تساوي تلاتة، وَ ك تعبّر عن ثابت التغير. وبالتالي ص تساوي تلاتة س معادلة التغير الطردي، بعد التعويض عن ك بتلاتة.

آخر مطلوب ما عمر الإنسان الذي يكافئ ست سنوات من عمر الحصان؟

بنكمّل في صفحة جديدة. بنكمّل وآخر حاجة حصلنا عليها إن ص تساوي تلاتة س. وَ ص تمثّل عمر الإنسان. وَ س تمثّل عمر الحصان. وبالتالي فإن عمر الإنسان الذي يكافئ ست سنوات من عمر الحصان، يساوي تلاتة في ستة، يساوي تمنتاشر سنة. أي أن ست سنوات من عمر حصان، تكافئ تمنتاشر سنة من عمر الإنسان.

بعد كده بنتكلم عن الدوال الخطية المتناسبة والغير متناسبة، وعلاقتها بالتغير الطردي. بنكمّل في صفحة جديدة. بنكمّل ونتكلم عن الدوال الخطية المتناسبة والغير متناسبة، وعلاقتها بالتغير الطردي. بنجد أن الدوال الخطية المتناسبة بتكون على الصورة ص تساوي أ س؛ حيث أ عدد حقيقي لا يساوي صفر. مثال ص تساوي تلاتة س. بنلاقي إن التمثيل البياني لهذه الدالة زي ما واضح كده، يمثّل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل صفر وصفر. وبالتالي الدوال الخطية المتناسبة بتمثَّل علاقة تغير طردي. أما الدوال الخطية الغير متناسبة تكون على الصورة ص تساوي أ س زائد ج. وَ أ وَ ج أعداد حقيقية لا تساوي صفر.

مثال: ص تساوي اتنين س ناقص واحد.

من التمثيل البياني لهذه الدالة بنلاحظ إنها تُمثَّل بخط مستقيم، ولكن لا يمر بنقطة الأصل. وبالتالي الدوال الخطية الغير متناسبة لا تُمثِّل علاقة تغير طردي.

يبقى في الفيديو ده اتكلمنا عن مفهوم التغير الطردي. ومعنى ثابت التغير. وشرط أن تكون العلاقة بين متغيرين علاقة تغير طردي. والدوال الخطية المتناسبة، والغير متناسبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.