تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة معطاة تتضمن دوال مثلثية وجذرية الرياضيات

أوجد المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩ(ﺱ) = ٤ جا ﺱ + ٣ − (٢‏/‏٣ جذر ﺱ).

٠٥:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة جا ﺱ زائد ثلاثة ناقص اثنين على ثلاثة جذر ﺱ.

المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ هي الدالة ﺕ ﺱ زائد ﺙ؛ حيث المشتقة الأولى للدالة ﺕ ﺱ تساوي الدالة ﺩﺱ، وﺙ أي ثابت حقيقي. المشتقة العكسية ليست وحيدة، وهناك العديد من الدوال التي تختلف باختلاف قيمة هذا الثابت لكنها تعطي المشتقة نفسها. الدالة ﺩﺱ هنا هي مجموع حد يتضمن دالة مثلثية، وثابتًا، وحد يتضمن قوة ما لـ ﺱ. دعونا نبسط هذا الحد الأخير أولًا.

لعلنا نتذكر أن دالة الجذر التربيعي تكافئ قوة أو أسًّا يساوي نصفًا. ومن ثم، فإن هذا الحد يساوي سالب اثنين على ثلاثة ﺱ أس نصف. نتذكر بعد ذلك أن المقلوبات تعرف بالأسس السالبة. وعليه، فإن واحدًا على ﺱ أس نصف يساوي ﺱ أس سالب نصف. يمكننا إذن إعادة كتابة هذا الحد الأخير على الصورة سالب ثلثين ﺱ أس سالب نصف. بذلك، نكون قد أعدنا كتابة الدالة ﺩﺱ على صورة مختلفة قليلًا.

المشتقة العكسية خطية؛ لذا فإن المشتقة العكسية لأي مجموع هي مجموع المشتقات العكسية. عملية إيجاد المشتقة العكسية هي العملية العكسية لاشتقاق دالة ما. يمكننا الآن استرجاع بعض القواعد العامة لإيجاد المشتقات العكسية. المشتقة العكسية العامة للدالة جا ﺃﺱ، بشرط أن ﺃ لا يساوي صفرًا، هي سالب واحد على ﺃ مضروبًا في جتا ﺃﺱ زائد ﺙ. نستنتج هذا مباشرة من حقيقة أن مشتقة سالب واحد على ﺃ في جتا ﺃﺱ زائد ﺙ تساوي جا ﺃﺱ.

القيمة المدخلة لدالة الجيب هنا هي ﺱ. لذا، فإن قيمة ﺃ تساوي واحدًا. نعلم كذلك أنه إذا ضربنا المشتقة في ثابت ما، فإننا نضرب المشتقة العكسية أيضًا في الثابت نفسه. ومن ثم، نجد أن المشتقة العكسية للحد الأول هي سالب أربعة جتا ﺱ زائد ثابت الاشتقاق العكسي ﺙ واحد.

الحد الثاني في الدالة ﺩﺱ هو مجرد ثابت، لكن يمكننا التفكير فيه على أنه ثلاثة مضروبًا في ﺱ أس صفر إذا أردنا ذلك؛ لأن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك إيجاد المشتقتين العكسيتين للحدين الثاني والثالث بالطريقة نفسها. باسترجاع قاعدة القوة للاشتقاق، نعرف أن المشتقة الأولى لـ ﺱ أس ﺃ زائد واحد على ﺃ زائد واحد تساوي ﺱ أس ﺃ، بشرط أن ﺃ لا يساوي سالب واحد. وعليه، فإن المشتقة العكسية العامة لـ ﺱ أس ﺃ تساوي ﺱ أس ﺃ زائد واحد على ﺃ زائد واحد زائد ﺙ.

هذا يعني أنه لإيجاد المشتقة العكسية لقوة ما لـ ﺱ، حيث القوة لا تساوي سالب واحد، فإننا نضيف واحدًا إلى القوة أو الأس، ثم نقسم على الأس الجديد ونضيف أيضًا ثابت الاشتقاق العكسي ﺙ. بهذا، نجد أن المشتقة العكسية لثلاثة ﺱ أس صفر تساوي ثلاثة ﺱ أس واحد على واحد زائد ثابت الاشتقاق العكسي ﺙ اثنين. يمكننا كتابة ذلك على الصورة ثلاثة ﺱ زائد ﺙ اثنين.

بالنسبة إلى الحد الثالث لدينا، فإن المشتقة العكسية لسالب ثلثين ﺱ أس سالب نصف تساوي سالب ثلثين مضروبًا في ﺱ أس نصف. نقسم بعد ذلك على نصف، وهذا يكافئ الضرب في اثنين، زائد ثابت الاشتقاق العكسي ﺙ ثلاثة. يبسط هذا الحد إلى سالب أربعة أثلاث مضروبًا في ﺱ أس نصف. ومن ثم، نجمع ثوابت الاشتقاق العكسي الثلاثة في ثابت واحد، وهو ﺙ.

وأخيرًا، يمكننا كتابة حدود المشتقة العكسية بأي ترتيب، وسنعيد أيضًا كتابة الأس نصف باستخدام رمز الجذر التربيعي. بذلك، نكون قد توصلنا إلى الإجابة النهائية. المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة جا ﺱ زائد ثلاثة ناقص اثنين على ثلاثة جذر ﺱ هي الدالة ﺕ ﺱ، وتساوي سالب أربعة جذر ﺱ على ثلاثة زائد ثلاثة ﺱ ناقص أربعة جتا ﺱ زائد ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.