نسخة الفيديو النصية
استخدم المحددات لحل نظام المعادلات الآتي.
إذا كان لدينا نظام من معادلات خطية، فإن قاعدة كريمر هي طريقة سهلة لإيجاد قيمة أحد المتغيرات فقط دون الحاجة إلى حل نظام المعادلات بالكامل. لكن في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيم جميع المتغيرات؛ ﺱ وﺹ وﻉ.
حسنًا، دعونا نبدأ بنقل الثوابت إلى الطرف الأيسر. بهذه الطريقة، سنجعل المعادلات على صورة معادلة مصفوفية. والآن بعد عزل الثوابت في الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا تحويل هذا النظام من المعادلات إلى معادلة مصفوفية.
سنبدأ بكتابة جميع المعاملات في مصفوفة. بعد ذلك، علينا ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ. سيكون عمود النواتج هو واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد. تنص قاعدة كريمر على أنه يمكننا إيجاد قيم ﺱ وﺹ وﻉ باستخدام هذه الصيغة. لكن ما الذي تعنيه كل هذه الرموز؟ المثلث نفسه يمثل محدد مصفوفة المعاملات الموجودة هنا. إذن، مثلث ﺱ هذا يعني أن هذا هو محدد المصفوفة التي سيحل فيها عمود النواتج محل عمود معاملات ﺱ، والشيء نفسه مع ﺹ وﻉ. حسنًا، ماذا عن هذه الخطوط التي تبدو مثل علامة القيمة المطلقة؟ إنها تمثل قيمة المحدد. إذن، سيكون علينا إيجاد قيمة محدد كل مصفوفة من هذه المصفوفات.
حسنًا، دعونا نبدأ بإيجاد قيمة محدد مصفوفة المعاملات الموجود في مقام كل كسر. إن إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة يبدأ بتحديد العدد بالركن الأيمن العلوي؛ وهو ثلاثة. ثم نضربه في محدد الأعداد غير الموجودة في الصف أو العمود الذي يتضمن العدد ثلاثة الذي بدأنا به. وبعد ذلك، نطرح العدد الأوسط العلوي؛ وهو اثنان، ونضربه في محدد كل الأعداد غير الموجودة في الصف أو العمود الذي يتضمن العدد اثنين. ثم نضيف سالب اثنين مضروبًا في محدد هذه الأعداد؛ وهي الأعداد غير الموجودة في الصف أو العمود الذي يتضمن العدد سالب اثنين. بعد ذلك، نضرب ثلاثة في قيمة هذا المحدد.
لكن كيف نوجد قيمة المحدد إذن؟ سنضرب الأعداد القطرية، ثم نطرح حاصل ضرب الأعداد القطرية الأخرى، وسنكرر الآن ما قمنا به. علينا طرح العدد اثنين مضروبًا في العدد بالركن العلوي الأيمن؛ أي ثلاثة، والعدد سالب خمسة وبعد ذلك نتابع الطرح. بعد طرح سالب اثنين في سالب ثلاثة، نضرب سالب اثنين في قيمة هذا المحدد؛ أي ثلاثة في أربعة ناقص سالب اثنين في ثلاثة. والآن سنقوم بالتبسيط. يصبح لدينا إذن ثلاثة في سالب ثلاثة ناقص اثنين في سالب ٢١ ناقص اثنين في ١٨؛ ومن ثم نحصل على سالب ثلاثة، وهو قيمة محدد مصفوفة المعاملات. إذن، يمكننا التعويض عن كل المقامات بسالب ثلاثة.
والآن سنأخذ مصفوفة المعاملات، باستثناء عمود معاملات ﺱ، الذي يحل محله عمود النواتج. بعد ذلك، سنكرر خطواتنا لإيجاد قيمة محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة. سنضرب واحدًا في محدد هذه المصفوفة ناقص اثنين مضروبًا في محدد هذه الأعداد زائد سالب اثنين في محدد هذه الأعداد. سنبدأ الآن في إيجاد قيمة ذلك كما فعلنا من قبل. بعد التبسيط، نحصل على الناتج سالب تسعة. وبينما نوجد قيمة ﺱ، نجد أن لدينا سالب تسعة مقسومًا على سالب ثلاثة؛ ما يعني أن ﺱ يساوي ثلاثة.
هيا نكرر العملية نفسها بالضبط، لكن مع ﺹ. سنأخذ مصفوفة المعاملات، ولكن سيحل عمود النواتج محل عمود معاملات ﺹ. نحصل من ذلك على ثلاثة مضروبًا في محدد هذه الأعداد ناقص واحد في محدد هذه الأعداد زائد سالب اثنين في محدد هذه الأعداد. والآن يمكننا حساب قيم المحددات ثم نضرب ونبسط، فنحصل على ٧٥. ٧٥ مقسومًا على سالب ثلاثة يعني أن ﺹ يساوي سالب ٢٥.
وأخيرًا، هيا نوجد قيمة ﻉ. سنتابع، ونجعل عمود النواتج يحل محل عمود معاملات ﻉ. دعونا نحسب قيمة ذلك الآن. حسنًا، لدينا ثلاثة مضروبًا في محدد هذه الأعداد ناقص اثنين مضروبًا في محدد هذه الأعداد زائد واحد مضروبًا في محدد هذه الأعداد. بعد إيجاد قيمة ذلك، سنقوم بالضرب والتبسيط، لنحصل بذلك على ٦٣. ٦٣ مقسومًا على سالب ثلاثة يساوي سالب ٢١.
إذن، بعد حل نظام المعادلات هذا باستخدام المحددات، وجدنا أن ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي سالب ٢٥، وﻉ يساوي سالب ٢١.
