فيديو السؤال: إيجاد مساحة قطاع دائري بمعلومية طول نصف قطره وقياس زاوية القطاع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة الجزء الملون في الرسم الموضح لأقرب منزلة عشرية.

لنلق نظرة على الشكل المعطى. إنه يتكون من قطاعين دائريين: قطاع طول نصف قطره يساوي ١٥ سنتيمترًا، وقطاع طول نصف قطره يساوي سبعة سنتيمترات. الزاوية المركزية لهذين القطاعين — أي الزاوية المحصورة بين نصفي القطر اللذين يشكلان جزءًا من محيط كل قطاع — تساوي ٦٠ درجة. المطلوب منا هو إيجاد مساحة الجزء الملون في الشكل، الذي يمكننا ملاحظة أنه سيكون الفرق بين مساحتي القطاعين. إذن مساحة هذا الجزء الملون تساوي مساحة القطاع الأكبر — الذي طول نصف قطره ١٥ سنتيمترًا — ناقص مساحة القطاع الأصغر، الذي طول نصف قطره سبعة سنتيمترات.

مساحة أي قطاع طول نصف قطره نق، وزاويته المركزية 𝜃 مقيسة بالدرجات؛ يساوي 𝜃 على ٣٦٠ مضروبًا في ‏𝜋‏‎نق تربيع. وقد حصلنا على هذه الصيغة بضرب مساحة الدائرة الكاملة، ‏𝜋‏‎نق تربيع، في النسبة 𝜃 على ٣٦٠، التي تقابل الجزء من الدائرة الذي يمثله هذا القطاع. وهكذا، يمكننا إيجاد مساحتي القطاعين الأكبر والأصغر بالتعويض بـ 𝜃 يساوي ٦٠ في كل منهما، والتعويض بـ نق يساوي ١٥ في القطاع الأكبر، ونق يساوي سبعة في القطاع الأصغر.

إذن، لدينا ٦٠ على ٣٦٠ مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في ١٥ تربيع ناقص ٦٠ على ٣٦٠ مضروبًا في ‏𝜋‏‎ مضروبًا في سبعة تربيع. في كلتا الحالتين، يمكن تبسيط الكسر ٦٠ على ٣٦٠ إلى سدس بحذف العامل المشترك ٦٠ من البسط والمقام. ويمكننا أخذ ‏𝜋‏‎ على ستة عاملًا مشتركًا من هذين التعبيرين إذا أردنا ذلك. ومن ثم يصبح لدينا ‏𝜋‏‎ على ستة مضروبًا في ١٥ تربيع ناقص سبعة تربيع. ‏١٥ تربيع يساوي ٢٢٥، وسبعة تربيع يساوي ٤٩. و٢٢٥ ناقص ٤٩ يساوي ١٧٦. إذن، يصبح لدينا ١٧٦‏‏𝜋‏‎ على ستة.

يحدد نص السؤال أننا يجب أن نقرب الناتج لأقرب منزلة عشرية. لذا، علينا إيجاد قيمة ذلك في صورة عدد عشري. وهو ما يساوي ٩٢٫١٥٣٣ وهكذا مع توالي الأرقام. القيمة في المنزلة العشرية الثانية هي خمسة. لذا، سنقرب لأعلى. وحدة قياس الأطوال في هذا السؤال هي السنتيمتر. لذا فإن وحدة المساحة ستكون بالسنتيمتر المربع.

إذن، عبر إدراك أن الجزء الملون في الشكل هو الفرق بين مساحتي قطاعين دائريين، نجد أن مساحة الجزء الملون لأقرب منزلة عشرية هي ٩٢٫٢ سنتيمترًا مربعًا.