فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند نقطة معطاة باستخدام قاعدة الضرب | نجوى فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند نقطة معطاة باستخدام قاعدة الضرب | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند نقطة معطاة باستخدام قاعدة الضرب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في حصص الرياضيات المباشرة على نجوى كلاسيز وتعلم المزيد حول هذا الدرس من أحد مدرسينا الخبراء!

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺱ^٢ﺹ^٢ − ٤ﺱ + ٢ﺹ − ٢٠ = ٠ عند النقطة (١‎، ٤).

٠٦:٣١

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة العمودي على المنحنى ﺱ تربيع في ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ٢٠ يساوي صفرًا عند النقطة واحد، أربعة.

يطلب منا السؤال إيجاد معادلة العمودي على منحنى معرف ضمنيًّا عند النقطة واحد، أربعة. لإيجاد معادلة العمودي، نفترض أن مماس المنحنى عند النقطة ﻥ له الميل ﻡ. وفي هذه الحالة، فإن ميل العمودي على المنحنى عند النقطة ﻥ يساوي سالب واحد مقسومًا على ﻡ. وهذا لأن مستقيمي المماس والعمودي متعامدان بعضهما على بعض.

في الواقع، هذا يخبرنا أنه إذا كان المستقيم المماس أفقيًّا، فإن المستقيم العمودي سيكون رأسيًّا، والعكس صحيح. لذا، يمكننا استخدام ميل المماس لإيجاد ميل العمودي.

لإيجاد ميل المماس عند النقطة واحد، أربعة، سنستخدم الاشتقاق. سنشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ لمساعدتنا في إيجاد تعبير للميل ﺩﺹ على ﺩﺱ. هذا يعطينا مشتقة ﺱ تربيع ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ٢٠ بالنسبة إلى ﺱ يساوي مشتقة صفر بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا اشتقاق كل حد على حدة. نعلم أن مشتقة صفر بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. ومشتقة سالب ٢٠ بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا أيضًا. ومشتقة سالب أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب أربعة. لاشتقاق الحدين المتبقيين، نتذكر أن ﺹ دالة في المتغير ﺱ. ومن ثم يمكننا اشتقاق كلا الحدين باستخدام قاعدة السلسلة.

تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﺹ دالة في المتغير ﺱ، فإن مشتقة ﺩ لـ ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺩ بالنسبة إلى ﺹ مضروبة في مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا استخدام هذه القاعدة لإيجاد مشتقة اثنين ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إنها تساوي مشتقة اثنين ﺹ بالنسبة إلى ﺹ مضروبة في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ونحن نعرف أن مشتقة اثنين ﺹ بالنسبة إلى ﺹ تساوي اثنين.

نلاحظ أن الحد المتبقي الذي علينا اشتقاقه هو حاصل ضرب دالتين. لذا علينا استخدام قاعدة الضرب. تنص قاعدة الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين هما ﻉ وﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. ومن ثم يمكننا استخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة معًا لاشتقاق ﺱ تربيع ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

بتطبيق قاعدة الضرب، نحصل على ﺱ تربيع مضروبًا في مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ زائد ﺹ تربيع مضروبًا في مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا اشتقاق ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة السلسلة. وهي مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ. هذا يساوي اثنين ﺹ مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ويمكننا إيجاد مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ وهي تساوي اثنين ﺱ.

إذن، حصلنا على اثنين ﺱ تربيع ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد اثنين ﺱ ﺹ تربيع ناقص أربعة زائد اثنين ﺩﺹ على ﺩﺱ زائد صفر يساوي صفرًا. نريد إيجاد تعبير لميل المماس. إذن، علينا إعادة كتابة هذا التعبير بحيث يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع.

أولًا: سنطرح اثنين ﺱﺹ تربيع ونضيف أربعة إلى طرفي المعادلة. ثم نخرج العامل المشترك ﺩﺹ على ﺩﺱ بين الحدين المتبقيين. هذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع ﺹ زائد اثنين مضروبًا في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص اثنين ﺱﺹ تربيع.

وأخيرًا، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على اثنين ﺱ تربيع ﺹ زائد اثنين، وبهذا يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ناقص اثنين ﺱﺹ تربيع، الكل مقسوم على اثنين ﺱ تربيع ﺹ زائد اثنين. نريد إيجاد معادلة العمودي على المنحنى عند النقطة واحد، أربعة. وهذا يكون عند ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي أربعة. إذن، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي أربعة في تعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ لإيجاد ميل مماس المنحنى عند النقطة واحد، أربعة. إنه يساوي أربعة ناقص اثنين في واحد في أربعة تربيع، الكل مقسوم على اثنين في واحد تربيع في أربعة زائد اثنين.

يمكننا حساب قيمة ذلك، وبهذا نحصل على الناتج سالب ١٤ مقسومًا على خمسة. لكن، هذا هو ميل مماس المنحنى عند هذه النقطة. ونحن نريد ميل العمودي على المنحنى عند هذه النقطة. يمكننا فعل ذلك بضرب سالب واحد في مقلوب هذه القيمة. مقلوب سالب ١٤ مقسومًا على خمسة هو سالب خمسة مقسومًا على ١٤. ثم نضرب هذا في سالب واحد لنحصل على خمسة مقسومًا على ١٤.

بما أننا وجدنا أن ميل المستقيم العمودي يساوي خمسة مقسومًا على ١٤، يمكننا كتابته على الصورة القياسية للخط المستقيم. ‏ﺹ يساوي خمسة مقسومًا على ١٤ﺱ زائد ﺏ. نعلم من السؤال أن المستقيم العمودي يجب أن يمر بالنقطة واحد، أربعة. وبما أن المستقيم يمر بالنقطة واحد، أربعة، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي أربعة لإيجاد قيمة ﺏ.

نطرح خمسة مقسومًا على ١٤ من الطرفين. ومن ثم نجد أن ﺏ يساوي ٥١ مقسومًا على ١٤. وهكذا، نحصل على المطلوب باستخدام حقيقة أن ﺏ يساوي ٥١ على ١٤، ثم بإعادة ترتيب المعادلة. وعليه، فإن معادلة العمودي على المنحنى ﺱ تربيع ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹ ناقص ٢٠ يساوي صفرًا عند النقطة واحد، أربعة هي ﺹ ناقص خمسة ﺱ على ١٤ ناقص ٥١ على ١٤ يساوي صفرًا.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية