نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعرف على ما يسمى باختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد. وسوف نتعلم كيفية استخدام الاختبار لإثبات أن المتسلسلة متباعدة، ونلقي نظرة على ما يحدث عند فشل الاختبار. كما سنتناول ما يمكن أن يخبرنا به هذا الاختبار عن المتسلسلات المتقاربة.
نبدأ باسترجاع أن المتتابعة تكون متقاربة إذا كانت قيمة النهاية لمجموع أول عدد 𝑛 من حدودها، حيث يقترب 𝑛 من ما لا نهاية، تساوي عددًا ما محددًا، وهو ما يعرف بمجموع المتسلسلة. وبالمثل، تكون المتتابعة متباعدة إذا كان العكس صحيحًا، أي إذا كان مجموع المتسلسلة ليس له نهاية محددة. فكيف يمكننا اختبار ذلك؟
حسنًا، توجد عدة طرق. في هذا الفيديو، سوف نستخدم ما يسمى باختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد لبيان إذا ما كانت المتسلسلة متباعدة أم أن الاختبار سيفشل. التعريف الأول الذي يعنينا هو أنه إذا كانت المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متقاربة، فإن قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛 عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية تساوي صفرًا. ومن المهم حقًا أن نعلم أنه ليس بالضرورة أن يكون عكس هذه النظرية صحيحًا.
إذا كانت قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛 عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية تساوي صفرًا، فلا يمكننا استنتاج أن المتسلسلة متقاربة. على سبيل المثال، في المتسلسلة التوافقية، وهي المجموع لواحد على 𝑛، لدينا 𝑎𝑛 يساوي واحدًا على 𝑛؛ حيث تقترب قيمته من صفر حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية. ولكن هذه متسلسلة متباعدة.
إذن نأتي إلى اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد. يوضح ذلك أنه إذا كانت النهاية، عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية، غير موجودة أو قيمتها لا تساوي صفرًا، فإن المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متباعدة.
لاحظ، مجددًا، أن هذا يوضح لنا أنه إذا كانت قيمة النهاية تساوي صفرًا، فإننا لا نعلم شيئًا عما إذا كانت هذه المتسلسلة متقاربة أو متباعدة. من المهم جدًا أن ندرك أنه عندما يعطينا اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد الناتج صفرًا، فإننا نقول عندئذ إن الاختبار يفشل. والآن لنتناول مثالًا.
باستخدام اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد، حدد إذا ما كانت المتسلسلة، المجموع لـ 𝑛 على 𝑛 تربيع زائد واحد من 𝑛 يساوي صفرًا إلى ما لا نهاية، متباعدة أم أن الاختبار يفشل.
تذكر أن اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد يشير إلى أنه إذا كانت قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛، حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية، غير موجودة أو إذا كانت قيمة النهاية لا تساوي صفرًا، فإن المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متباعدة. نتذكر أيضًا أنه إذا كانت قيمة النهاية تساوي صفرًا، فلا يمكننا استنتاج إذا ما كانت المتسلسلة متباعدة أم متقاربة، ونقول إن الاختبار يفشل.
والآن، لاحظ أن المجموع في المسألة لدينا هو من 𝑛 يساوي صفرًا إلى ما لا نهاية، بدلًا من أن يكون من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية. من الناحية العملية، هذا لا يهم حقًا. نحن نبحث عن تباعد مطلق، وبصفة أساسية، ما يحدث للمتسلسلة عندما تزداد قيمة 𝑛 أكثر فأكثر. وإذا تأملنا جيدًا، فسنجد أنه عندما 𝑛 تساوي صفرًا، فإن الحد الأول يكون صفرًا أيضًا. ومن ثم، يمكننا تقسيم ذلك إلى صفر زائد المجموع من 𝑛 يساوي واحدًا.
في هذه المسألة، سنجعل 𝑎𝑛 يساوي 𝑛 على 𝑛 تربيع زائد واحد. وسنحسب قيمة النهاية عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية لـ 𝑛 على 𝑛 تربيع زائد واحد. وعند حساب قيمة النهاية، علينا التحقق دائمًا مما إذا كان يمكننا استخدام التعويض المباشر أم لا. في هذه الحالة، إذا عوضنا بـ 𝑛 يساوي ما لا نهاية في التعبير، فإننا نحصل على ما لا نهاية على ما لا نهاية، وهو ما نعلم أنه كمية غير معينة. ولذا، فإننا نبحث بدلًا من ذلك عن طريقة لصياغة التعبير 𝑛 على 𝑛 تربيع زائد واحد. وذلك بقسمة البسط والمقام على 𝑛 تربيع.
تذكر أنه يمكننا القيام بذلك حيث إنه يكون كسرًا مكافئًا. ونختار 𝑛 تربيع حيث إن هذه هي أعلى قوة لـ 𝑛 في المقام. فنحصل على النهاية عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية لـ 𝑛 على 𝑛 تربيع مقسومًا على 𝑛 تربيع على 𝑛 تربيع زائد واحد على 𝑛 تربيع. يبسط ذلك إلى النهاية عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية لواحد على 𝑛 مقسومًا على واحد زائد واحد على 𝑛 تربيع.
نستخدم بعد ذلك قاعدة القسمة في النهايات. يوضح هذا أن النهاية عند اقتراب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑓 لـ 𝑥 على 𝑔 لـ 𝑥 تساوي النهاية عند اقتراب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑓 لـ 𝑥 مقسومًا على النهاية عند اقتراب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑔 لـ 𝑥. وهذا بشرط أن تكون هاتان النهايتان موجودتين، وقيمة النهاية لـ 𝑔 لـ 𝑥 لا تساوي صفرًا. وعليه، فإن هذا يساوي النهاية عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية لواحد على 𝑛 مقسومًا على النهاية عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على 𝑛 تربيع.
ويمكننا الآن التعويض بـ 𝑛 يساوي ما لا نهاية في هذا التعبير. كلما زادت قيمة 𝑛، قلت قيمة واحد على 𝑛. وفي نهاية المطاف، يقترب من صفر. وبالمثل، كلما زادت قيمة 𝑛، اقتربت قيمة واحد على 𝑛 تربيع أيضًا من صفر. إذن تصبح قيمة النهاية صفرًا على واحد زائد صفر، ما يساوي صفرًا ببساطة. وبما أن قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛 حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية تساوي صفرًا، إذن نجد أن الاختبار يفشل.
سنتناول الآن مثالًا آخر.
ما الذي يمكن أن نستنتجه من تطبيق اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد على المتسلسلة، المجموع لثلاثة 𝑛 على الجذر التربيعي لستة 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛 زائد خمسة لقيم 𝑛 من واحد إلى ما لا نهاية؟
تذكر أن اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد يوضح أنه إذا كانت قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛 حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية غير موجودة أو قيمة النهاية لا تساوي صفرًا، فإن المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية متباعدة. كما نتذكر أنه إذا كانت قيمة النهاية تساوي صفرًا، فلا يمكننا استنتاج إذا ما كانت المتسلسلة متباعدة أم متقاربة، ونقول إن الاختبار يفشل.
في هذه المسألة، نفترض أن 𝑎𝑛 يساوي ثلاثة 𝑛 على الجذر التربيعي لستة 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛 زائد خمسة. ومن ثم، علينا حساب قيمة نهاية لهذا التعبير حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية. لا يمكننا استخدام التعويض المباشر. لأننا إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ما لا نهاية على ما لا نهاية، وهو ما نعرف أنه كمية غير معينة. ولذا، فإنه بدلًا من ذلك، علينا إيجاد طريقة لصياغة التعبير ومعرفة إذا كان هذا سيساعدنا في حساب قيمة النهاية.
لتسهيل الأمر، دعونا نطبق قاعدة الضرب في ثابت. وتنص على أن النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لثابت ما في دالة في المتغير 𝑛 تساوي هذا الثابت في نهاية دالة في المتغير 𝑛. وعليه، يمكننا بالأساس نقل الثابت ثلاثة خارج النهاية.
قد تبدو الخطوة التالية غريبة قليلًا. سنقسم كلًا من بسط التعبير ومقامه على 𝑛. ومن ثم، يصبح البسط هو واحد. ويصبح المقام هو واحد على 𝑛 في الجذر التربيعي لستة 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛 زائد خمسة. سننقل واحدًا على 𝑛 إلى داخل الجذر التربيعي. ولكي نفعل ذلك، سيكون علينا تربيعه. ومن ثم، يصبح المقام هو الجذر التربيعي لستة 𝑛 تربيع على 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛 على 𝑛 تربيع زائد خمسة على 𝑛 تربيع. وعندئذ، يمكننا تبسيط ذلك بسهولة كبيرة.
لدينا الآن ثلاثة مضروبًا في النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لواحد على الجذر التربيعي لستة زائد أربعة على 𝑛 زائد خمسة على 𝑛 تربيع. نحن الآن مستعدون لتطبيق التعويض المباشر. كلما ازدادت قيمة 𝑛، قلت قيمة أربعة على 𝑛 وخمسة على 𝑛 تربيع. حيث يقتربان من صفر. واحد وستة لا يعتمدان على 𝑛. ومن ثم، تصبح النهاية هي واحد على الجذر التربيعي لستة.
نريد إنطاق المقام هنا. ولذا، فإننا نضرب كلًا من بسط الكسر ومقامه في الجذر التربيعي لستة. ونجد أن قيمة النهاية لـ 𝑎𝑛 حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية تساوي ثلاثة في الجذر التربيعي لستة على ستة، وهو ما يساوي جذر ستة على اثنين. نلاحظ أن هذا لا يساوي صفرًا. ويقودنا هذا إلى استنتاج أن المتسلسلة، المجموع لثلاثة 𝑛 على الجذر التربيعي لستة 𝑛 تربيع زائد أربعة 𝑛 زائد خمسة بين 𝑛 يساوي واحدًا وما لا نهاية، متباعدة.
سنتناول الآن مثالًا أكثر تعقيدًا يستلزم استخدام قاعدة إضافية لإيجاد النهايات.
ما الذي يمكن استنتاجه بتطبيق اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد على المتسلسلة، المجموع لاثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 مقسومًا على ثلاثة 𝑛 لـ 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية؟
نبدأ بتذكر أن اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد يشير إلى أنه إذا كانت النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لـ 𝑎𝑛 قيمتها لا تساوي صفرًا أو أنها غير موجودة، فإن المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متباعدة. وبالفعل، إذا كانت قيمة النهاية تساوي صفرًا، فلا يمكننا تحديد إذا ما كانت المتسلسلة متقاربة أم متباعدة، ونقول إن الاختبار يفشل.
في المسألة لدينا، سنفترض أن 𝑎𝑛 يساوي اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 على ثلاثة 𝑛. إذن، مهمتنا هي حساب قيمة النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لهذا التعبير. إذا طبقنا التعويض المباشر، فسنجد أن النهاية تساوي ما لا نهاية على ما لا نهاية. وهذه كمية غير معينة بالتأكيد.
ولذا، بدلًا من ذلك، سنسترجع قاعدة لوبيتال. تنص القاعدة على أنه إذا كانت قيمة النهاية حين يقترب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑓 لـ 𝑥 على 𝑔 لـ 𝑥 تساوي ما لا نهاية على ما لا نهاية، فإن النهاية حين يقترب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑓 شرطة لـ 𝑥 على 𝑔 شرطة لـ 𝑥 ستخبرنا بقيمة النهاية حين يقترب 𝑥 من 𝑎 لـ 𝑓 لـ 𝑥 على 𝑔 لـ 𝑥. يمكننا أيضًا استخدام هذه الصيغة إذا كانت قيمة النهاية تساوي صفرًا على صفر. لكن هذه الحالة لا تعنينا.
بالطبع، نحن الآن نستخدم 𝑛. ولذا، سيكون علينا اشتقاق اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 وثلاثة 𝑛 بالنسبة إلى 𝑛. مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 تساوي واحدًا على 𝑛. ومن ثم، عند اشتقاق اثنين في اللوغاريتم الطبيعي لـ 𝑛 بالنسبة إلى 𝑛، نحصل على اثنين على 𝑛. وبذلك، نجد أن مشتقة ثلاثة 𝑛 تساوي ثلاثة ببساطة. وهكذا يمكننا حساب قيمة ذلك حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية.
كلما ازدادت قيمة 𝑛، قلت قيمة اثنين على 𝑛. وبما أن 𝑛 يقترب من ما لا نهاية، فإن قيمة اثنين على 𝑛 تقترب من صفر. نجد أن هذا يساوي صفرًا على ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. وبذلك، نلاحظ أن الاختبار يفشل أو أنه غير حاسم.
في هذا الفيديو، عرفنا أن اختبار الحد ذي الرتبة 𝑛 للتباعد يمكن أن يخبرنا إذا ما كانت المتسلسلة متباعدة أم لا. ويخبرنا الاختبار أنه إذا كانت النهاية لـ 𝑎𝑛 عند اقتراب 𝑛 من ما لا نهاية قيمتها لا تساوي صفرًا أو أنها غير موجودة، فإن المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متباعدة. وعرفنا كذلك أنه إذا كانت المتسلسلة، المجموع لـ 𝑎𝑛 من 𝑛 يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية، متقاربة، فإن قيمة النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لـ 𝑎𝑛 تساوي صفرًا. ولكن من المهم حقًا أن نعلم أن عكس هذه النظرية ليس صحيحًا بالضرورة. فإذا كانت قيمة النهاية حين يقترب 𝑛 من ما لا نهاية لـ 𝑎 لـ 𝑛 تساوي صفرًا، فإنه لا يمكننا استنتاج أن المتسلسلة متقاربة. وفي الواقع، نقول إن الاختبار يفشل.
