نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل جسمًا مستقرًّا على مستوى مائل خشن؛ حيث معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى ﻡﺱ يساوي ٠٫٤٨٧. إذا كان الجسم على وشك الانزلاق على المستوى، فأوجد زاوية الميل 𝜃، مقربًا إجابتك لأقرب دقيقة، إذا لزم الأمر.
علمنا من معطيات هذه المسألة أن معامل الاحتكاك السكوني يساوي ٠٫٤٨٧. ومطلوب منا إيجاد زاوية الميل 𝜃 التي يرتفع عندها هذا المستوى المائل. ويمكننا أن نبدأ الحل بالنظر إلى القوى التي تؤثر على الجسم. نعلم أن الجاذبية تؤثر على هذا الجسم. ويمكننا أن نرسم ذلك كمتجه يشير لأسفل، وأن نحدد تلك القوة للمقدار، والتي تساوي وزن الجسم. وسنسميها ﻭ. كما توجد قوة عمودية تؤثر على الجسم عموديًّا على سطح المستوى. ويمكننا الإشارة إلى هذه القوة بـ ﺭ. وأخيرًا، توجد قوة احتكاك تؤثر على هذا الجسم في اتجاه أعلى المستوى. ويمكننا أن نسمي هذه القوة ﺡ.
علمنا من المعطيات أن الجسم في حالة سكون. فهو لا يتحرك. ويعني هذا أن القوى الثلاث التي حددناها توازن بعضها بعضًا. ومجموعها يساوي صفرًا. ولكي نلقي نظرة أكثر تدقيقًا على هذه القوى، دعونا نضف إلى الشكل محوري الإحداثيات. وسوف نعرف الحركة في اتجاه ﺹ الموجب بأنها حركة في اتجاه أعلى المستوى وعمودية عليه، والحركة في اتجاه ﺱ الموجب هي حركة في اتجاه أعلى المستوى وموازية له. من القوى التي لدينا توجد قوتان، هما ﺭ وﺡ، متحاذيتان تمامًا مع هذين المحورين. ومع ذلك، فإن ﻭ تتضمن مركبتين في الاتجاهين ﺱ وﺹ.
إذا أضفنا المركبتين ﺱ وﺹ إلى الشكل، فسنرى أن هاتين المركبتين، بالإضافة إلى مقدار المتجه نفسه، تشكل معًا مثلثًا قائم الزاوية. والزاوية العلوية في هذا المثلث تساوي 𝜃.
والآن بعد تقسيم القوى الثلاث إلى مركبتي ﺱ وﺹ، فلننظر إلى هاتين المركبتين على طول المحور ﺱ. لدينا قوة الاحتكاك التي تؤثر في اتجاه ﺱ الموجب ناقص المركبة ﺱ لقوة الوزن، والتي سنطلق عليها ﻭﺱ. وهذا الفرق يساوي صفرًا؛ لأن هاتين هما القوتان الوحيدتان اللتان تؤثران في الاتجاه ﺱ. والجسم في حالة اتزان. يمكننا فك هذين التعبيرين، ﺡ وﻭﺱ. سنتناول التعبير ﻭﺱ أولًا.
بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن مركبة قوة الوزن تساوي ﻭ مضروبًا في جيب الزاوية 𝜃. ولذا، نعوض بهذا التعبير المفكوك في المعادلة. بالنسبة إلى التعبير ﺡ، سيساعدنا أن نتذكر تعريف قوة الاحتكاك. إن قوة الاحتكاك ﺡ تساوي معامل الاحتكاك ﻡ، سواء أكان سكونيًّا أو حركيًّا، مضروبًا في القوة العمودية ﺭ. في هذه الحالة، يمكننا كتابة ﻡﺱ؛ لأن الجسم في حالة سكون وليس في حالة حركة. ويمكننا فك الحد ﺭ أكثر من ذلك بناء على الشكل. فإذا تناولنا القوى الموجودة في الاتجاه ﺹ فقط في الشكل، فسنلاحظ أن لدينا قوتين، هما ﺭ، وهي القوة العمودية، ومركبة ﺹ لوزن الجسم. وبما أن الجسم في حالة سكون، فهذا يعني أن مقداري هاتين القوتين متساويان. بعبارة أخرى، ﺭ يساوي ﻭ في جتا 𝜃.
الآن، لدينا معادلة مفكوكة بالكامل تعبر عن القوى في الاتجاه ﺱ. إذا أضفنا ﻭ مضروبًا في جا 𝜃 إلى كلا الطرفين، فسنجد أنه يمكننا حذف قوة الوزن، ﻭ، للجسم من هذا التعبير. ولا يشمله الناتج الذي نحصل عليه. في هذه المرحلة، سيساعدنا تذكر المتطابقة المثلثية. ظل الزاوية 𝜃 يساوي جيب الزاوية نفسها مقسومًا على جيب تمام هذه الزاوية. إذن، إذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على جتا 𝜃، فسيحذف ذلك الحد في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، وباستخدام المتطابقة، سنحصل على ظل الزاوية 𝜃. وإذا حسبنا بعد ذلك الدالة العكسية للظل لكلا طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية للظل لمعامل الاحتكاك السكوني، ﻡﺱ. ولدينا قيمة ﻡﺱ، ويمكننا إدخالها الآن.
عندما نحسب قيمة هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن 𝜃 تساوي ٢٥ درجة و٥٨ دقيقة لأقرب دقيقة. وهذه هي أقصى زاوية ميل للمستوى التي يظل الجسم ساكنًا عندها.