فيديو السؤال: تحديد عدد الدوائر التي تمر عبر ثلاث نقاط الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ما عدد الدوائر التي يمكن أن تمر عبر ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة؟

التعريف الرياضي للدائرة هي أنها مجموعة من النقاط في مستوى تبعد مسافة ثابتة عن نقطة في المركز. سنتناول هنا عدد الدوائر التي يمكن أن تمر عبر ثلاث نقاط. إذن دعونا نتناول أي ثلاث نقاط، ويمكننا تعريفها بالرموز ﺃ وﺏ وﺟ. يمكن أن تمر دائرة عبر هذه النقاط الثلاث إذا كان مركزها على مسافات متساوية من هذه النقاط. على سبيل المثال، الدائرة التي يقع مركزها هنا لن تمر عبر هذه النقاط. الدائرة التي يقع مركزها هنا لن تمر بالنقاط؛ لأنه، كما نلاحظ، المسافة من هذا المركز إلى كل من النقاط ﺃ وﺏ وﺟ غير متماثلة.

ومن ثم، علينا أن نسأل: كيف نحدد مركز الدائرة التي تمر عبر هذه النقاط الثلاث؟ كيف نحدد النقطة الموجودة على مسافات متساوية من هذه النقاط الثلاث؟ دعونا نبدأ برسم قطع مستقيمة بين أي نقطتين. لدينا هنا القطعة المستقيمة ﺃﺏ والقطعة المستقيمة ﺏﺟ. يمكن أيضًا رسم القطعة المستقيمة ﺃﺟ. سنرسم الآن العمودين المنصفين لكل من هذه القطع المستقيمة. لفعل ذلك بدقة، سنحتاج إلى استخدام أداة الفرجار أو البرجل، حسبما تسمى في المكان الذي تعيش فيه.

دعونا نبدأ بالعمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. نأخذ السن المدبب للفرجار ونضعه عند النقطة ﺃ، ثم نفتحه بحيث تكون فتحته أطول من نصف طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ. باستخدام القلم الرصاص، نرسم قوسًا فوق القطعة المستقيمة وأسفلها. ثم نكرر العملية نفسها. هذه المرة، نضع السن المدبب عند النقطة ﺏ ونرسم قوسين آخرين، قوسًا أسفل القطعة المستقيمة وقوسًا أعلاها.

نلاحظ أن كل مجموعة أقواس أعلى القطعة المستقيمة وأسفلها لها نقطة تقاطع. وبرسم خط مستقيم بين نقطتي التقاطع هاتين، نحصل على العمود المنصف. لاحظ كيف يكون هذا الخط زاوية قياسها ٩٠ درجة مع القطعة المستقيمة ﺃﺏ، وأننا قد رسمنا قطعتين مستقيمتين متطابقتين. من الجيد عادة الحفاظ على خطوط الرسم، لكن دعونا نمسحها لنر ما يحدث بالضبط.

الخط المستقيم الذي رسمناه هنا يمثل جميع النقاط التي تقع على مسافات متساوية من ﺃ وﺏ. يمكننا الآن تكرار العملية نفسها بإيجاد العمود المنصف للقطعة المستقيمة ﺏﺟ. يمكننا رسم المجموعة الأولى من الأقواس من النقطة ﺏ والمجموعة الثانية من النقطة ﺟ. وبهذا نكون قد رسمنا العمود المنصف الثاني.

هذا الخط المستقيم يمثل جميع النقاط الواقعة على مسافات متساوية من النقطتين ﺏ وﺟ. لسنا بحاجة إلى رسم القطعة المستقيمة ﺃﺟ وإيجاد العمود المنصف لها. وذلك لأن النقطة التي يتقاطع عندها هذان العمودان المنصفان هي النقطة التي تقع على مسافات متساوية من ﺃ وﺏ وﺟ. لذا، يمكن أن تكون هذه النقطة مركز الدائرة التي تمر عبر النقاط الثلاث. وستبدو الدائرة على هذا النحو.

إذن، كم عدد الدوائر التي تمر عبر النقاط الثلاث؟ نعلم أنه توجد دائرة واحدة؛ لأننا رسمناها بالفعل. لكن هل توجد أي دوائر أخرى؟ يمكننا أن نسأل بدلًا من ذلك: هل هناك أي نقاط أخرى على مسافات متساوية أيضًا من ﺃ وﺏ وﺟ؟ تذكر أن العمود المنصف الأول يمثل جميع النقاط التي تقع على مسافات متساوية من ﺃ وﺏ. والعمود المنصف الثاني يمثل جميع النقاط التي تقع على مسافات متساوية من ﺏ وﺟ. والنقطة التي يتقاطع عندها هذان الخطان هي النقطة الموجودة على مسافات متساوية من جميع النقاط الثلاث.

إذن، هل يمكن أن يتقاطع هذان العمودان المنصفان عند نقطة مختلفة؟ ماذا عن هذا الموضع فوق النقاط الثلاث، أو ربما هذا الموضع أسفل النقاط الثلاث؟ بالطبع، نلاحظ أن كلا هذين الخيارين غير ممكن. فأي خطين مستقيمين لا يمكن أن يتقاطعا إلا عند نقطة واحدة على الأكثر. ومن ثم، فإن هناك دائرة واحدة فقط يمكن أن تمر عبر ثلاث نقاط.

قبل أن ننهي حل المسألة بإعطاء الإجابة، ثمة أمر مهم جدًّا يجب ملاحظته. وهو أن هذه الحالة لا تحدث إلا إذا كانت النقاط الثلاث لا تقع على خط مستقيم. فإذا كانت النقاط ﺃ وﺏ وﺟ تقع على خط مستقيم، فسنجد أنه من المستحيل فعليًّا أن نرسم دائرة تمر عبر النقاط الثلاث جميعها. يمكننا رسم دائرة تمر عبر نقطتين منها، لكنها لن تمر بجميع النقاط الثلاث. عندما تقع النقاط الثلاث على خط مستقيم، فلا يمكن رسم أي دوائر تمر خلالها.

باستثناء هذه الحالة، يمكننا القول بأن دائرة واحدة تمر عبر ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. وأخيرًا، من الجدير بالذكر أن الأمر لا يقتصر على أننا قد نتمكن من رسم دائرة تمر بثلاث نقاط ليست على خط مستقيم. وإنما يمكننا دائمًا رسم دائرة تمر عبر أي ثلاث نقاط ليست على خط مستقيم.