نسخة الفيديو النصية
في الشكل التالي، أوجد قيمة كل من ﺱ، وﺹ.
لنلق نظرة متفحصة على الرسم. لدينا دائرة مركزها ﻡ، والخطان ﺃﺟ وﺃﺏ عبارة عن مماسين للدائرة ويبدآن من النقطة نفسها، وهي ﺃ. يمثل ﺹ قياس القوس الأكبر ﺏﺟ. أما ﺱ فيشير في هذه المسألة لأمرين؛ فهو يستخدم في قياس القوس الأصغر ﺏﺟ، اثنين ﺱ درجة، كما أنه يمثل قياس الزاوية المتكونة عند موضع التقاء المماسين.
لحل هذه المسألة، علينا تذكر معلومات أساسية عن المماسات المتقاطعة خارج الدوائر. المعلومة الأساسية التي نحتاجها هي أنه عند تقاطع مماسين خارج دائرة، يكون قياس الزاوية المتكونة نصف الفرق بين قياس القوسين الأكبر والأصغر. فلنكتب ذلك في صورة معادلة للدائرة المذكورة في هذه المسألة.
قياس الزاوية المتكونة ﺱ درجة، وقياس القوس الأكبر ﺹ درجة، وقياس القوس الأصغر اثنان ﺱ درجة. إذن، الفرق يساوي ﺹ ناقص اثنين ﺱ. وعلينا حساب نصف ذلك. إذن لدينا المعادلة ﺱ يساوي ﺹ ناقص اثنين ﺱ الكل على اثنين.
وهذه معادلة واحدة بها رمزان مجهولان. لذا، لا يمكننا حلها مباشرة. فلنبسطها أولًا. فسنبدأ بضرب كلا الطرفين في اثنين. فنحصل بذلك على المعادلة اثنين ﺱ يساوي ﺹ ناقص اثنين ﺱ.
والآن سأبسط عن طريق تجميع الحدود المتشابهة. سأضيف اثنين ﺱ إلى كلا طرفي المعادلة. يعطينا ذلك أربعة ﺱ يساوي ﺹ. وما زلنا لا نعرف القيم الفعلية لكل من ﺱ وﺹ، لكننا نعرف العلاقة بينهما. ﺹ تساوي أربعة أمثال ﺱ.
ولتحديد قيم كل من ﺱ وﺹ، نحتاج إلى معادلة ثانية. في أي دائرة يكون مجموع قياس القوسين الأكبر والأصغر دائمًا يساوي ٣٦٠ درجة. وبالنسبة للدائرة المذكورة، يعني ذلك أن اثنين ﺱ، وهو قياس القوس الأصغر، زائد ﺹ، وهو قياس القوس الأكبر، يساوي ٣٦٠. ومن ثم، أصبح لدينا معادلة ثانية يمكننا استخدامها.
ويتعين علينا الآن حل هاتين المعادلتين معًا. وبما أننا نعرف أن ﺹ يساوي أربعة ﺱ، يمكننا التعويض بذلك في المعادلة الثانية لنحصل على معادلة بدلالة ﺱ فقط. يعطينا ذلك اثنين ﺱ زائد أربعة ﺱ يساوي ٣٦٠. وبتبسيط الطرف الأيمن من هذه المعادلة، يصبح لدينا ستة ﺱ يساوي ٣٦٠.
ولإيجاد قيمة ﺱ، علينا قسمة كلا الطرفين على ستة. ويعطينا ذلك قيمة ﺱ. إذن ﺱ يساوي ٦٠. والآن علينا إيجاد قيمة ﺹ. تذكر أن لدينا المعادلة ﺹ يساوي أربعة ﺱ. إذن ولحساب ﺹ، نضرب ٦٠ في أربعة. إذن ﺹ يساوي ٢٤٠. وبذلك، أصبح لدينا حل المسألة؛ إذ توصلنا إلى قيم كل من ﺱ وﺹ. وعليه، فإن ﺱ يساوي ٦٠، وﺹ يساوي ٢٤٠.
فلنتذكر المعلومة الأساسية التي استخدمناها في هذه المسألة: عند تقاطع مماسين خارج دائرة، يكون قياس الزاوية المتكونة نصف الفرق بين قياس القوسين الأكبر والأصغر.
