فيديو السؤال: إيجاد معادلة مماس منحنى معادلته البارامترية تتضمن دالة تربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي ﺵ تربيع ناقص ﺵ، وﺹ يساوي ﺵ تربيع زائد ﺵ زائد واحد، عند النقطة صفر، ثلاثة.

أمامنا هنا زوج من المعادلات البارامترية. وكما هو مطلوب منا، سنحاول إيجاد معادلة المماس. لدينا نقطة معطاة، لكننا نريد أيضًا إيجاد قيمة ﺵ. بالتالي، يمكننا استخدام هذه النقطة لإيجاد قيمة ﺵ، حيث ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثلاثة.

إذن يمكننا أن نأخذ الصفر ونعوض به في المعادلة ﺱ يساوي ﺵ تربيع ناقص ﺵ، لأنه كما قلنا، لدينا ﺱ يساوي صفرًا، وبالتالي فإن ﺵ تربيع ناقص ﺵ يساوي صفرًا. وإذا حللنا ذلك، نخرج ﺵ عاملًا مشتركًا، لأن ﺵ عامل من عوامل كل من ﺵ تربيع وﺵ. نحصل على ﺵ، ثم لدينا بين الأقواس ﺵ ناقص واحد يساوي صفرًا. بالتالي، يمكننا القول إن ﺵ يساوي صفرًا أو واحدًا. فإذا كان ﺵ يساوي صفرًا، فسنحصل على صفر في سالب واحد، ما يعطينا صفرًا. أما إذا كان ﺵ يساوي واحدًا، فسنحصل على واحد مضروبًا في واحد ناقص واحد، ما يساوي صفرًا، وبذلك سنحصل على صفر مرة أخرى.

حسنًا، رائع! وجدنا إذن قيمتين محتملتين لـ ﺵ باستخدام قيمة ﺱ التي لدينا. والآن دعونا نستخدم قيمة ﺹ التي لدينا، وتساوي ثلاثة. إذا عوضنا بـ ﺹ يساوي ثلاثة في المعادلة ﺹ يساوي ﺵ تربيع زائد ﺵ زائد واحد، فسنحصل على ﺵ تربيع زائد ﺵ زائد واحد يساوي ثلاثة. لقد أعدت كتابتها مثل المعادلة الأولى بهذه الطريقة؛ لأن ذلك يسهل علينا الحل. ثم إذا طرحت ثلاثة من كلا طرفي المعادلة، فسأحصل على ﺵ تربيع زائد ﺵ ناقص اثنين يساوي صفرًا.

ومرة أخرى، يمكنني الحل باستخدام التحليل. وها قد حللت بالفعل ﺵ تربيع زائد ﺵ ناقص اثنين. أصبح لدي ﺵ زائد اثنين مضروبًا في ﺵ ناقص واحد. وقد فعلت ذلك بإيجاد عددين أو عاملين يعطيان سالب اثنين عند ضربهما معًا. إذن موجب اثنين في سالب واحد يساوي سالب اثنين. وإذا جمعت اثنين وسالب واحد، تحصل على واحد، الذي هو معامل ﺵ.

بالتالي فإن الحلين المحتملين هنا هما سالب اثنين وواحد، أي إن ﺵ يساوي سالب اثنين أو واحدًا. وذلك لأننا، مرة أخرى، إذا عوضنا بسالب اثنين في القوس الأول، فسنحصل على سالب اثنين زائد اثنين، ما يعطينا صفرًا، وبالتالي تكون النتيجة صفرًا. وبالمثل، إذا عوضنا بواحد في القوس الثاني، فسنحصل على واحد ناقص واحد، ما يعطينا صفرًا. وبالتالي تكون النتيجة صفرًا. حسنًا! إذن فقد حصلنا على قيم ﺵ المحتملة. فأي هذه القيم إذن هي قيمة ﺵ التي نريدها؟

نلاحظ أن القيمة المشتركة هي الواحد. بالتالي فإن قيمة ﺵ التي نريد استخدامها هي واحد. حسنًا! عظيم! لدينا الآن جميع المعلومات التي نحتاجها لحل المسألة وإيجاد معادلة المماس. ولأن المنحنى والمماس عند هذه النقطة لهما الميل نفسه، فإن ما يتعين علينا فعله هو حساب قيمة ميل المنحنى عند هذه النقطة. ولكي نفعل ذلك، يمكننا إيجاد دالة الميل، أي ﺩﺹ على ﺩﺱ.

ولإيجاد ذلك باستخدام معادلة بارامترية، سنستخدم هذه العلاقة. وتنص على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﺵ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﺵ. من الناحية العملية، هذا يعني أن دالة الميل ستساوي مشتقة معادلة ﺹ مقسومة على مشتقة معادلة ﺱ. دعونا نكمل ونوجد ﺩﺹ على ﺩﺵ وﺩﺱ على ﺩﺵ. بما أن ﺱ يساوي ﺵ تربيع ناقص ﺵ، فإن ﺩﺱ على ﺩﺵ يساوي اثنين ﺵ ناقص واحد.

سأذكركم سريعًا بكيفية الاشتقاق. لدينا المعامل واحد مضروبًا في الأس اثنين، ما يعطينا اثنين، ثم لدينا ﺵ أس اثنين ناقص واحد، ما يعطينا ﺵ أس واحد، أو ﺵ فقط. حسنًا، رائع! فلننتقل الآن إلى ﺹ ونوجد ﺩﺹ على ﺩﺵ. إذا اشتققنا ﺵ تربيع زائد ﺵ زائد واحد، فسنحصل على اثنين ﺵ زائد واحد. حسنًا، رائع! بذلك نكون قد أوجدنا ﺩﺱ على ﺩﺵ وﺩﺹ على ﺩﺵ. ما سنفعله الآن هو أننا سنوجد دالة الميل، حيث نستطيع إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ عن طريق قسمة ﺩﺹ على ﺩﺵ على ﺩﺱ على ﺩﺵ.

بالتالي فإن دالة الميل تساوي اثنين ﺵ زائد واحد على اثنين ﺵ ناقص واحد. حسنًا، رائع! لكننا نريد إيجاد قيمة ذلك. فلكي نوجد الميل فعليًا، علينا التعويض بقيمة ﺵ التي تساوي واحدًا في دالة الميل ﺩﺹ على ﺩﺱ. وبإجراء التعويض نحصل على اثنين في واحد زائد واحد مقسومًا على اثنين في واحد ناقص واحد، ما يعطينا ثلاثة على واحد، وهو ما يساوي ثلاثة. وبذلك نكون قد أوجدنا الميل أو قيمة ﻡ.

إذن، يمكننا القول إن ﻡ أو الميل يساوي ثلاثة. ما وجه الاستفادة من ذلك؟ حسنًا، إنه مفيد لأننا نحاول إيجاد معادلة المماس. والمماس هو في الحقيقة عبارة عن خط مستقيم. فلكي نوجد معادلته، سنستخدم الصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث ﻡ، كما أسلفنا، هو الميل، وﺟ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. بالتالي إذا عوضنا بقيمة ﻡ في المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، فسنحصل على المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ﺟ.

حسنًا، رائع! لكن علينا الآن إيجاد قيمة ﺟ. فكيف سنفعل ذلك؟ يمكننا فعل ذلك بمعلومية نقطة على المماس، وهذه النقطة هي صفر، ثلاثة. بالتالي، يمكننا التعويض بصفر عن ﺱ وبثلاثة عن ﺹ لإيجاد قيمة ﺟ. فإذا عوضنا عن ﺱ بصفر وعن ﺹ بثلاثة، فسنحصل على ثلاثة يساوي ثلاثة في صفر زائد ﺟ، ما يعطينا قيمة ﺟ أو قيمة الجزء المقطوع من المحور ﺹ، وهي تساوي ثلاثة. عظيم! لدينا الآن ﻡ، الميل، وﺟ، الجزء المقطوع من المحور ﺹ.

يمكننا التعويض بقيمتيهما في صيغة المعادلة، لنحصل على معادلة المماس. إذن، يمكننا القول إن معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي ﺵ تربيع ناقص ﺵ، وﺹ يساوي ﺵ تربيع زائد ﺵ زائد واحد، عند النقطة صفر، ثلاثة، هي ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة.