فيديو: إيجاد معامل متغير محدد الدرجة في حاصل ضرب مفكوك ذات حدين

أوجد معامل ‪𝑎⁵‬‏ في مفكوك ‪(𝑎² + (1/𝑎²))³(𝑎 + (1/𝑎))³‬‏‬‏.

٠٦:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد معامل 𝑎 أس خمسة في مفكوك 𝑎 تربيع زائد واحد على 𝑎 تربيع الكل مرفوع للقوة الأسية ثلاثة في 𝑎 زائد واحد على 𝑎 الكل مرفوع للقوة الأسية ثلاثة.

لكي نتمكن من إيجاد معامل 𝑎 أس خمسة في هذا المفكوك، فإن ما سأفعله أولًا هو فك الأقواس كل على حدة. حسنًا، سأبدأ بـ 𝑎 تربيع زائد واحد على 𝑎 تربيع الكل تكعيب. لفك هذه الأقواس، سنستخدم نظرية ذات الحدين. وتنص نظرية ذات الحدين على أنه إذا كان لدينا 𝑎 زائد 𝑏 أس 𝑛، فإن هذا يساوي 𝑛 توافيق صفر 𝑎 أس 𝑛 𝑏 أس صفر زائد 𝑛 توافيق واحد 𝑎 أس 𝑛 ناقص واحد 𝑏 أس واحد، إلى آخره، مع مواصلة هذا النمط حتى 𝑛 توافيق 𝑛 𝑎 أس صفر 𝑏 أس 𝑛. حسنًا، هذا رائع. إذن، دعنا نطبق هذا ونتعرف على ناتج عملية الفك.

عملية الفك تعطينا ثلاثة توافيق صفر 𝑎 تربيع الكل مرفوع للقوة الأسية ثلاثة زائد ثلاثة توافيق واحد 𝑎 تربيع أس اثنين مضروبًا في واحد على 𝑎 تربيع زائد ثلاثة توافيق اثنين 𝑎 تربيع مضروبًا في واحد على 𝑎 تربيع أس اثنين، زائد ثلاثة توافيق ثلاثة واحد على 𝑎 تربيع الكل مرفوع للقوة ثلاثة. حسنًا، ما نريده حاليًا هو حساب معاملات كل حد من الحدود. ولنفعل هذا، لدينا بالفعل، كما هو واضح، ثلاثة توافيق واحد أو ثلاثة توافيق اثنين، إلى آخره. ولإيجاد هذا، نحسبه باستخدام الآلة الحاسبة.

على سبيل المثال، إذا أردت حساب ثلاثة توافيق واحد، أضغط على ثلاثة. ثم أضغط على الزر nCr في الآلة الحاسبة ثم أضغط على واحد. وهذا سيعطينا الحل، وهو ثلاثة. ويمكننا أيضًا التحقق من معاملاتنا باستخدام مثلث باسكال. وكما نرى في الصف الذي ننظر إليه، والذي سيكون الصف الرابع في الأسفل حيث تكون لدينا القوة الأسية ثلاثة، سيكون لدينا معاملات بالقيم واحد، ثلاثة، ثلاثة، واحد. وهكذا بعدما نحسب هذا باستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا أن نتحقق من صحة هذا الناتج بالفعل. حسنًا، دعنا الآن نبدأ التبسيط.

نحصل على 𝑎 أس ستة زائد ثلاثة، وهو المعامل، 𝑎 أس أربعة على 𝑎 أس اثنين زائد ثلاثة 𝑎 تربيع على 𝑎 أس أربعة زائد واحد على 𝑎 أس ستة. الآن، سنبسط هذا. فنحصل على 𝑎 أس ستة زائد ثلاثة 𝑎 تربيع. وذلك لأنه إذا كان لدينا ثلاثة 𝑎 أس أربعة مقسومًا على 𝑎 تربيع، فإننا في الواقع نطرح القوى الأسية. إذن، أربعة ناقص اثنين يعطينا اثنين زائد ثلاثة 𝑎 أس سالب اثنين زائد 𝑎 أس سالب ستة. وعلى سبيل التذكير بكيفية حصولنا على ذلك الحد الأخير، مرة أخرى، فإنه ناتج إحدى قواعد الأسس. حسنًا، تنص هذه القاعدة على أن واحدًا على 𝑎 أس 𝑏 يساوي 𝑎 أس سالب 𝑏.

حسنًا، هذا رائع. لقد أتممنا ذلك الآن وفككنا أول قوسين. سننتقل بعد ذلك إلى القوسين التاليين. سنحصل على 𝑎 أس ثلاثة زائد ثلاثة 𝑎 تربيع في واحد على 𝑎. وعلى سبيل التذكير فقط بكيفية حصولنا على ذلك، فإننا نعرف المعامل بالفعل لأننا عرفنا من المعامل السابق أننا حسبنا بالفعل معاملات ذات الحدين. أعطانا واحدًا، ثلاثة، ثلاثة، واحدًا. ولكننا نعرف أيضًا، من خلال مثلث باسكال، أننا نحصل على واحد، ثلاثة، ثلاثة، واحد. لذا، فإن معامل هذا الحد سيكون ثلاثة. وبعد ذلك، نعلم أن أس 𝑎 سيكون اثنين لأنه يساوي 𝑛 ناقص واحد، لأنه الحد الثاني. وأس واحد على 𝑎 سيساوي واحدًا. حسنًا، هذا للتذكير فقط بطريقة حصولنا على هذه القيم. والآن، لننتقل إلى الحدين التاليين.

سيكون الحد التالي زائد ثلاثة 𝑎 في واحد على 𝑎 تربيع. وأخيرًا، زائد واحد على 𝑎 تكعيب. حسنًا، هذا رائع. والآن، ما سنفعله هو التبسيط. هذا سيعطينا 𝑎 تكعيب زائد ثلاثة 𝑎 تربيع على 𝑎 زائد ثلاثة 𝑎 على 𝑎 تربيع زائد 𝑎 أس سالب ثلاثة. بعد ذلك، كما فعلنا في الخطوة الأولى، سنستخدم قاعدة من قواعد الأسس هنا لمزيد من التبسيط؛ لأن لدينا 𝑎 أس 𝑏 على 𝑎 أس 𝑐 يساوي 𝑎 أس 𝑏 ناقص 𝑐. وهذا يعطينا 𝑎 تكعيب زائد ثلاثة 𝑎. وقد حصلنا على ذلك لأنه كان لدينا ثلاثة 𝑎 تربيع على 𝑎، وهو ما يساوي 𝑎 أس واحد، لذا اثنان ناقص واحد يساوي واحدًا، ولهذا نقول ثلاثة 𝑎. ثم، زائد ثلاثة 𝑎 أس سالب واحد. ثم، زائد 𝑎 أس سالب ثلاثة.

حسنًا، لقد أتممنا الآن فك زوجي الأقواس كليهما. ماذا سنفعل بعد ذلك؟ إذا نظرنا إلى رأس المسألة مرة أخرى، فإن ما نريده هو معامل 𝑎 أس خمسة. حسنًا، إذا رجعنا إلى قاعدة أخرى من قواعد الأسس، والتي تنص على أن 𝑎 أس 𝑏 مضروبًا في 𝑎 أس 𝑐 يساوي 𝑎 أس 𝑏 زائد 𝑐، فإننا سنستخدمها إذن لمعرفة أي من حدودنا سوف يعطينا بالفعل 𝑎 أس خمسة. ويمكننا فعل هذا لأننا إذا نظرنا إلى المقدار الأصلي في المسألة، فإننا نلاحظ أن به زوج الأقواس الأول مضروبًا في زوج الأقواس الثاني. إذن، سيضرب كل حد في الحد الآخر.

إذن، أول زوج من الحدود سنتعامل معه هو ثلاثة 𝑎 أس اثنين مضروبًا في 𝑎 أس ثلاثة؛ لأن هذا سيعطينا ثلاثة 𝑎 أس خمسة؛ لأننا إذا جمعنا الأس اثنين مع الأس ثلاثة، فإننا نحصل على خمسة. حسنًا، رائع. إذن هذا هو الحد الأول الذي يتضمن 𝑎 أس خمسة. بعد ذلك، الزوج التالي من الحدود الذي سنتعامل معه هو 𝑎 أس ستة مضروبًا في ثلاثة 𝑎 أس سالب واحد. وهذا لأنه إذا كان لدينا ستة زائد سالب واحد، فهذا سيعطينا خمسة. إذن، 𝑎 أس ستة مضروبًا في ثلاثة 𝑎 أس سالب واحد يعطينا ثلاثة 𝑎 أس خمسة.

إذا ألقينا نظرة على كل زوج من الحدود، فهذان هما الزوجان الوحيدان من الحدود اللذان يضربان معًا ليكون الناتج 𝑎 أس خمسة. إذن، لدينا ثلاثة 𝑎 أس خمسة وثلاثة 𝑎 أس خمسة. لذا، سنجمع هذين الحدين معًا لنحصل على الحد الذي يتضمن 𝑎 أس خمسة. وهذا يعطينا ثلاثة 𝑎 أس خمسة زائد ثلاثة 𝑎 أس خمسة، وهو ما يساوي ستة 𝑎 أس خمسة.

ثم نتحقق مرة أخرى من السؤال. السؤال يقول: ما هو معامل 𝑎 أس خمسة؟ إذن، يمكننا القول إن معامل 𝑎 أس خمسة هو ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.