فيديو السؤال: استخدام قانون جيب التمام لإيجاد طول مجهول يتضمن زوايا انخفاض الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﻫ وﺃ منطادان يحلقان على ارتفاع ١١٧ مترًا و٨٤ مترًا على الترتيب. كانت زاويتا الانخفاض عند النقطة ﺟ على الأرض من ﻫ وﺃ تساويان ٤٠ درجة و٢٩ درجة على الترتيب. أوجد المسافة بين المنطادين لأقرب متر.

دعونا نبدأ بتحديد المعطيات التي لدينا وما نحتاج إليه. لدينا مثلثان قائما الزاوية نعرف طول ضلع وقياس زاوية في كل منهما، وهذا يعني أنه يمكننا حساب أطوال الأضلاع الأخرى إذا لزم الأمر. لدينا أيضًا مثلث غير قائم الزاوية، وهو المثلث ﺃﺟﻫ. المسافة بين ﺃ وﻫ هي ما نحاول إيجاده. إذن، نحن نحاول إيجاد طول أحد أضلاع مثلث غير قائم الزاوية.

عند التعامل مع مثلثات غير قائمة الزاوية، نعلم أننا سنستخدم إما قاعدة الجيب وإما قاعدة جيب التمام لإيجاد طول الضلع الذي يسمى ﺱ. لكن لكي نفعل ذلك، علينا معرفة بعض المعلومات الإضافية. نلاحظ أولًا أن الخط ﺩﺏ الذي يمثل الأرض خط مستقيم. ونعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذا طرحنا ٤٠ و٢٩ من ١٨٠، فسنوجد قياس الزاوية التي أشرنا إليها بـ 𝜃. إنه يساوي ١١١ درجة.

لا يزال هناك بعض المعلومات التي نحتاج إليها لإيجاد طول ﺱ. دعونا نرسم المثلث القائم الزاوية بعيدًا عن الشكل لمساعدتنا في معرفة الخطوة التالية. إنه مثلث قائم الزاوية نعرف قياس زاوية واحدة فيه وطول ضلع واحد. هذا يعني أنه يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد طولي الضلعين الآخرين. يشترك وتر هذا المثلث القائم الزاوية في ضلع مع المثلث الأكبر ﻫﺟﺃ الذي نحاول إيجاد طول ضلع مجهول فيه. لإيجاد طول الوتر، يمكننا استخدام علاقة الجيب؛ حيث جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يعني أنه بالنسبة إلى المثلث القائم الزاوية الأصغر، فإن جا ٤٠ درجة سيساوي ١١٧ على ﻫﺟ.

بضرب طرفي العلاقة في ﻫﺟ، نحصل على: ﻫﺟ في جا ٤٠ درجة يساوي ١١٧. وبقسمة الطرفين بعد ذلك على جا ٤٠ درجة، نحصل على: ﻫﺟ يساوي ١١٧ على جا ٤٠ درجة. ‏ﻫﺟ يساوي ١٨٢٫٠١ وهكذا مع توالي الأرقام. نلاحظ هنا أننا لن نقرب العدد. بدلًا من ذلك، سنستخدم هذه القيمة الدقيقة ونترك التقريب للخطوة الأخيرة. وهذا يقلل من احتمال حدوث خطأ بسبب التقريب في مرحلة مبكرة من الحل.

دعونا نكرر هذه العملية مع المثلث القائم الزاوية الأصغر ﺃﺏﺟ؛ حيث يشترك الوتر ﺃﺟ في ضلع مع المثلث ﺃﺟﻫ. مرة أخرى، نحن نعلم طول الضلع المقابل ونريد إيجاد طول الوتر، وهو ما يعني أننا سنستخدم علاقة الجيب. ‏جا ٢٩ درجة يساوي ٨٤ على ﺃﺟ. بضرب الطرفين في ﺃﺟ، فإن ﺃﺟ في جا ٢٩ درجة يساوي ٨٤. وبقسمة الطرفين على جا ٢٩ درجة، نجد أن ﺃﺟ يساوي ٨٤ على جا ٢٩ درجة. إذن، ﺃﺟ يساوي ١٧٣٫٢٦ وهكذا مع توالي الأرقام.

بالنظر مرة أخرى إلى الشكل، نجد أن لدينا الآن مثلثًا غير قائم الزاوية نعرف طولي ضلعين فيه وقياس زاوية محصورة. بمعلومية ذلك، يمكننا إيجاد طول الضلع الثالث. هذا يعني أنه لإيجاد قيمة ﺱ، يمكننا استخدام قانون جيب التمام، الذي يخبرنا أن ﺟ شرطة تربيع يساوي ﺃ شرطة تربيع زائد ﺏ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺃ شرطة ﺏ شرطة في جتا ﺟ؛ حيث ﺟ شرطة طول الضلع الذي نحاول إيجاده. ونحن نعلم طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي نحاول إيجاد طوله.

في هذه الصيغة، يمكننا استخدام ﻫ شرطة بدلًا من ﺏ شرطة؛ لأننا نتعامل مع المثلث ﺃﻫﺟ، لا مع المثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث ﻫ شرطة يمثل الضلع المقابل للزاوية ﻫ، وﺃ شرطة يمثل الضلع المقابل للزاوية ﺃ، وﺟ شرطة يمثل الضلع المقابل للزاوية ﺟ. بالتعويض بهذه القيم، نحصل على: ﺱ تربيع يساوي ١٨٢٫٠١ وهكذا مع توالي الأرقام تربيع زائد ١٧٣٫٢٦ وهكذا مع توالي الأرقام، تربيع ناقص اثنين في ١٨٢٫٠١ وهكذا مع توالي الأرقام في ١٧٣٫٢٦ وهكذا مع توالي الأرقام، في جتا ١١١ درجة.

عند إدخال هذه القيم في الآلة الحاسبة، تذكر استخدام القيمتين المحفوظتين لـ ﺃ وﻫ. هذا يحافظ على دقة العمليات الحسابية التي نجريها. إذن، ﺱ تربيع يساوي ٨٥٦٢٠٫١٤ وهكذا مع توالي الأرقام. وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على: ﺱ يساوي ٢٩٢٫٦ وهكذا مع توالي الأرقام. تذكر أنه يمكننا تجاهل الجذر التربيعي السالب هنا؛ لأننا نتعامل مع مسافة. ‏٢٩٢٫٦ مقربًا لأقرب متر يساوي ٢٩٣. وفي سياق السؤال، فإن هذا يعني أن المسافة بين المنطادين تساوي ٢٩٣ مترًا.