فيديو السؤال: إيجاد جيب تمام زاوية في مثلث قائم الزاوية بمعلومية طولي الضلع المقابل والوتر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد جتا ﺃ إذا كان ﺃﺏﺟ مثلثًا قائم الزاوية في ﺟ؛ حيث ﺃﺏ يساوي ١٠ سنتيمترات، وﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات.

تطلب منا هذه المسألة إيجاد جتا، أو جيب تمام، الزاوية ﺃ. وتعريف جيب تمام، أو جتا، الزاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية هو: النسبة بين طولي الضلع المجاور والوتر في المثلث. لنستحضر معًا معنى هذه المصطلحات.

الوتر في أي مثلث قائم الزاوية هو الضلع المقابل مباشرة للزاوية القائمة. وهو أيضًا أطول ضلع في المثلث. ويسمى الضلع المواجه للزاوية التي نركز عليها، وهي الزاوية ﺃ في هذه الحالة، بالضلع المقابل. ويسمى الضلع الثالث من المثلث، الذي يقع بين الزاوية التي نركز عليها والزاوية القائمة، بالضلع المجاور. هذا يعني أن جتا الزاوية ﺃ في المثلث لدينا يساوي ﺃﺟ، وهو طول الضلع المجاور، مقسومًا على ﺃﺏ، وهو طول الوتر.

نعرف أن طول الوتر يساوي ١٠ سنتيمترات. وبالتالي، فإن جتا الزاوية ﺃ يساوي ﺃﺟ على ١٠. ولإيجاد جتا الزاوية ﺃ، علينا إيجاد طول ﺃﺟ. لاحظ أن لدينا طول ضلعي المثلث الآخرين. ولأن المثلث قائم الزاوية، فيمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع الثالث.

تقول نظرية فيثاغورس: إنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر مساويًا لمربع طول الوتر. في هذا المثلث، هذا يعني أن ﺃﺟ تربيع زائد ﺏﺟ تربيع يساوي ﺃﺏ تربيع. ‏ﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات، وﺃﺏ يساوي ١٠ سنتيمترات. ومن ثم، يصبح لدينا المعادلة: ﺃﺟ تربيع زائد ستة تربيع يساوي ١٠ تربيع. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد طول ﺃﺟ.

ستة تربيع يساوي ٣٦، و١٠ تربيع يساوي ١٠٠. نحصل إذن على ﺃﺟ تربيع زائد ٣٦ يساوي ١٠٠. وبطرح ٣٦ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على ﺃﺟ تربيع يساوي ٦٤. ولإيجاد قيمة ﺃﺟ، علينا أن نوجد قيمة الجذر التربيعي. ٦٤ عدد مربع. إذن، جذره التربيعي هو ثمانية.

ربما كان بإمكانك اكتشاف ذلك دون الخوض في عملية الحساب باستخدام نظرية فيثاغورس إذا كنت على دراية بثلاثيات فيثاغورس، حيث الثلاثية ستة، ثمانية، ١٠ هي مثال على إحداها. ثلاثية فيثاغورس هي مثلث قائم الزاوية تكون أطوال جميع أضلاعه الثلاثة أعدادًا صحيحة. في الواقع، المثلث ستة، ثمانية، ١٠ هو صورة مكبرة من المثلث ثلاثة، أربعة، خمسة، وهذه هي في الغالب أكثر ثلاثيات فيثاغورس شيوعًا.

وسواء اكتشفت ذلك مباشرة أو اضطررت إلى إجراء عملية الحساب للتوصل إلى ذلك، فنحن نعلم الآن أن طول الضلع المجاور ﺃﺟ يساوي ثمانية سنتيمترات. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في صيغة جتا ﺃ. إذن، جتا ﺃ يساوي ثمانية على ١٠. ويمكن تبسيط هذا الكسر، حيث إن كلًا من البسط والمقام من مضاعفات الاثنين. إذن، فبقسمة كل منهما على اثنين، نحصل على جتا ﺃ يساوي أربعة على خمسة.