نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ يرمز إلى متغير عشوائي متقطع يمكن أن يأخذ القيم سالب واحد، صفرًا، واحدًا. إذا كان ﺱ له دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ تساوي ﺃ على ثلاثة ناقص ﺱ، فأوجد معامل الاختلاف لأقرب نسبة مئوية صحيحة.
لدينا دالة التوزيع الاحتمالي لهذا المتغير العشوائي المتقطع، لكنها بدلالة قيمة مجهولة، وهي ﺃ. قبل أن نتمكن من حساب معامل الاختلاف، علينا تحديد قيمة ﺃ. لنفعل ذلك، علينا تذكر أن مجموع كل الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. وعليه، إذا استطعنا إيجاد مقادير تعبر عن احتمالات القيم الثلاث في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع — وهي سالب واحد، صفر، واحد — وكانت هذه المقادير بدلالة ﺃ، يمكننا إذن تكوين معادلة وحلها لإيجاد قيمة ﺃ.
أولًا، ﺩ لسالب واحد يساوي ﺃ على ثلاثة ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي ﺃ على أربعة. ﺩ لصفر يساوي ﺃ على ثلاثة ناقص صفر، وهو ما يساوي ﺃ على ثلاثة. وأخيرًا، ﺩ لواحد يساوي ﺃ على ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي ﺃ على اثنين. وكما قلنا من قبل، يجب أن يساوي مجموع كل الاحتمالات في التوزيع الاحتمالي واحدًا. إذن لدينا المعادلة ﺃ على أربعة زائد ﺃ على ثلاثة زائد ﺃ على اثنين يساوي واحدًا.
يمكننا كتابة كل حد من هذه الحدود بدلالة المقام المشترك وهو ١٢. لنحصل على ثلاثة ﺃ على ١٢ زائد أربعة ﺃ على ١٢ زائد ستة ﺃ على ١٢ يساوي واحدًا. يمكن تبسيط ذلك إلى ١٣ﺃ على ١٢ يساوي واحدًا. ثم بقسمة كلا الطرفين على ١٣ على ١٢، وهو ما يكافئ الضرب في مقلوب الكسر؛ ١٢ على ١٣، نجد أن ﺃ يساوي ١٢ على ١٣.
يمكننا بعد ذلك إيجاد كل احتمال من الاحتمالات بصورة صريحة. ﺩ لسالب واحد يساوي ﺃ على أربعة. إذن يصبح لدينا ١٢ على ١٣ مضروبًا في أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ثلاثة على ١٣. ﺩ لصفر يساوي ﺃ على ثلاثة. إذن يصبح لدينا ١٢ على ١٣ مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة على ١٣. وقيمة الاحتمال الأخير لـ ﺩ لواحد هي ﺃ على اثنين. وعليه يصبح لدينا ١٢ على ١٣ مضروبًا في اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة على ١٣. يمكننا بعد ذلك التأكد من أن مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة يساوي ١٣ على ١٣، وهو ما يساوي بالفعل واحدًا.
وبهذا نكون قد أوجدنا احتمال كل قيمة في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع. لنكتب الآن التوزيع الاحتمالي في شكل جدول. سنكتب القيم في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الصف العلوي ثم الاحتمالات المرتبطة بها، التي حسبناها للتو، في الصف الثاني.
المطلوب منا في السؤال هو إيجاد معامل الاختلاف لهذا المتغير العشوائي المتقطع. ونحصل عليه من حساب النسبة المئوية للانحراف المعياري من القيمة المتوقعة لـ ﺱ. إذا كان المتغير العشوائي المتقطع ﺱ له متوسط لا يساوي صفرًا، وهو توقع ﺱ، وانحراف معياري 𝜎ﺱ، فإن معامل الاختلاف يعطى بالعلاقة 𝜎ﺱ على توقع ﺱ مضروبًا في ١٠٠.
هنا علينا أن نتذكر أولًا أنه لإيجاد القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي متقطع، فإننا نضرب كل قيمة في مداه في الاحتمال المناظر لها، ثم نوجد مجموع هذه القيم. يمكننا إضافة صف آخر إلى الجدول لحساب هذه القيم. سالب واحد مضروبًا في ثلاثة على ١٣ يساوي سالب ثلاثة على ١٣. صفر مضروبًا في أربعة على ١٣ يساوي صفرًا. وواحد مضروبًا في ستة على ١٣ يساوي ستة على ١٣. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث، وتساوي ثلاثة على ١٣.
نتذكر بعد ذلك أن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي الجذر التربيعي لتباينه. وتباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص مربع القيمة المتوقعة لـ ﺱ. علينا هنا الانتباه للفرق في الترميز. في الحد الثاني، نوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ، وهي ما حسبناها للتو، ثم نقوم بتربيعها، بينما في الحد الأول نحسب توقع ﺱ تربيع. أي نقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا.
صيغة حساب توقع ﺱ تربيع هي مجموع قيم ﺱ تربيع مضروبًا في قيم الاحتمالات، التي نحصل عليها من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. يمكننا إضافة صف آخر إلى الجدول لدينا لقيم ﺱ تربيع، وهي واحد، صفر، واحد مرة أخرى، ثم صف آخر نضرب فيه كل قيمة لـ ﺱ بعد تربيعها في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها. أولًا، لدينا واحد مضروب في ثلاثة على ١٣، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٣؛ ثم صفر مضروب في أربعة على ١٣، وهو ما يساوي صفرًا؛ وأخيرًا، لدينا واحد مضروب في ستة على ١٣، وهو ما يساوي ستة على ١٣.
إذن القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي ثلاثة على ١٣ زائد صفر زائد ستة على ١٣، وهو ما يساوي تسعة على ١٣. بعد ذلك، نحسب تباين ﺱ. وهو يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. أي إنه يساوي تسعة على ١٣. ونطرح من هذا مربع القيمة المتوقعة لـ ﺱ. أي إننا نطرح ثلاثة على ١٣ تربيع. تسعة على ١٣ ناقص ثلاثة على ١٣ تربيع يعطينا الكسر ١٠٨ على ١٦٩.
بذلك نكون قد حسبنا تباين ﺱ، بعد ذلك علينا حساب الانحراف المعياري. هذا يساوي الجذر التربيعي للتباين. وفي صورة دقيقة لهذه القيمة، هذا يساوي ستة جذر ثلاثة على ١٣.
لقد انتهينا تقريبًا. لقد أوجدنا الانحراف المعياري لـ ﺱ والقيمة المتوقعة لـ ﺱ. ولذا يمكننا أخيرًا حساب معامل الاختلاف. لدينا ستة جذر ثلاثة على ١٣ وهي قيمة الانحراف المعياري، مقسومًا على ثلاثة على ١٣ أي قيمة التوقع، مضروبًا في ١٠٠. الآن القسمة على ثلاثة على ١٣ تكافئ الضرب في ١٣ على ثلاثة. يمكننا بعد ذلك أن نختزل بحذف العامل ١٣، وكذلك العامل ثلاثة. ليتبقى لدينا اثنان جذر ثلاثة على واحد مضروبًا في واحد على واحد الكل مضروب في ١٠٠. بحساب القيمة هذه على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٤٦٫٤١ وهكذا مع توالي الأرقام.
ينص السؤال على ضرورة تقريب الإجابة لأقرب نسبة مئوية صحيحة. ومن ثم نقرب لأسفل ليصبح لدينا ٣٤٦ بالمائة. ولا داعي للقلق من أن هذه النسبة المئوية أكبر من ١٠٠ بالمائة. فمعامل الاختلاف الذي يساوي ٣٤٦ بالمائة يعني أن الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي تقريبًا ثلاثة أمثال ونصف قيمته المتوقعة، وهذا ممكن تمامًا. وجدنا إذن أن معامل الاختلاف لـ ﺱ لأقرب نسبة مئوية صحيحة يساوي ٣٤٦ بالمائة.