فيديو: قاعدة كرامر

يوضح الفيديو قاعدة كرامر، وكيفية إيجاد متغيرات نظم المعادلات المربعة باستخدامها، والحالة التي لا يمكن تطبيق القاعدة فيها، وأمثلةً على ذلك.

١٦:٠٤

‏نسخة الفيديو النصية

قاعدة كرامر.

في الفيديو ده هنتكلّم عن قاعدة كرامر لحل نُظُم المعادلات الخطية. قاعدة كرامر هي طريقة لحل نظم المعادلات باستخدام المحدّدات بدلًا من العمليات على الصفوف أو المعكوس الضربي للمصفوفة.

يعني مثلًا لو نظام معادلات من معادلتين ومتغيرين. الشكل أ س زائد ب ص يساوي ل. وَ ج س زائد د ص بيساوي م. فهنستخدم طريقة الحذف على نظام المعادلات عشان نوجد قيمة س. فهنضرب المعادلة الأولى في د فالمعادلة هتبقى أ د س، زائد ب د ص، بيساوي ل د. وهنضرب المعادلة التانية في سالب ب. فهتبقى سالب ب ج س، ناقص ب د ص، هيساوي سالب م ب. وبجمع المعادلتين هيبقى الناتج أ د ناقص ب ج، مضروبين في س، هيساوي ل د ناقص م ب. ومنها هتبقى س بتساوي ل د ناقص م ب، على أ د ناقص ب ج. وباستخدام نفس الطريقة هتبقى قيمة ص بتساوي م أ ناقص ل ج، على أ د ناقص ب ج.

فهنلاحظ إن مقام س ومقام ص، هو نفسه محدّد مصفوفة المعاملات اللي هي أ ب ج د. فبالتالي ممكن نعبّر عن س وَ ص باستخدام المحددات. فلو س بتساوي ل د ناقص م ب، على أ د ناقص ب ج. فده هيساوي محدّد ل ب م د، على محدّد أ ب ج د. ولو ص بتساوي م أ ناقص ل ج، على أ د ناقص ب ج. فده هيساوي محدّد أ ل ج م، على محدّد أ ب ج د.

بالنسبة لِـ س هنلاحظ إن المحدّد اللي في البسط، هو نفسه المحدّد اللي في المقام. ولكن مع إبدال العمود الأول بعمود الثوابت. نفس الكلام بالنسبة لِـ ص. هنلاقي إن المحدّد اللي في البسط هو نفسه المحدّد اللي في المقام، مع إبدال العمود التاني بعمود الثوابت. فبالتالي هنعبّر عن س واللي بتساوي Δ س على Δ؛ حيث Δ هو محدّد المصفوفة. وهنعبّر عن ص بِـ ص بتساوي Δ ص على Δ.

ممكن نستخدم قاعدة كرامر لأي نظام معادلات عدد معادلاته بيساوي عدد متغيراته؛ يعني لأي نظام معادلات مربع. يبقى إذا كانت أ هي مصفوفة المعاملات لنظام معادلات بيتكوّن من ن معادلة في ن من المتغيرات. وكان أ في س بيساوي ب؛ حيث س هي مصفوفة المتغيرات، وَ ب هي مصفوفة الثوابت. وكان محدّد المصفوفة أ لا يساوي صفر. فهيبقى الحل الوحيد لنظام المعادلات س واحد بتساوي Δ س واحد على Δ. س اتنين بتساوي Δ س اتنين على Δ. وهكذا إلى س ن بيساوي Δ س ن على Δ. حيث Δ س واحد هي نفسها محدّد المصفوفة اللي هو Δ، مع إبدال العمود الأول منه بعمود الثوابت. وَ Δ س اتنين هو نفسه محدّد المصفوفة Δ، مع إبدال العمود التاني بعمود الثوابت. وهكذا لحدّ ما نوصل لِـ س ن. فهيبقى Δ س ن هو نفسه محدّد المصفوفة Δ مع إبدال العمود ن بعمود الثوابت.

أما إذا كان محدّد المصفوفة بيساوي صفر. فده معناه إما إن نظام المعادلات ليس له حلول. أو إن نظام المعادلات ليه عدد لا نهائي من الحلول. يبقى إذا كان محدّد المصفوفة بيساوي صفر، فما نقدرش نطبق فاعدة كرامر؛ لأن في الحالة دي هنضطر نقسم على صفر، مما ينتج عنه ناتج غير معرّف.

نحل مثال: باستخدام قاعدة كرامر أوجد حل نظام المعادلات: تلاتة س واحد زائد اتنين س اتنين بيساوي ستة، وسالب أربعة س واحد ناقص س اتنين بيساوي سالب تلتاشر.

أول حاجة هنوجد مصفوفة المعاملات أ. فهتبقى تلاتة اتنين سالب أربعة سالب واحد. بعدين نحسب محدّد المصفوفة. فهيبقى تلاتة في سالب واحد، ناقص اتنين في سالب أربعة. وده هيساوي سالب تلاتة زائد تمنية؛ يعني هيساوي خمسة. يعني محدّد المصفوفة لا يساوي صفر. وبالتالي ممكن نحل بقاعدة كرامر. يبقى س واحد هتساوي … نبدأ بالمقام، هيبقى محدّد المصفوفة هو محدّد تلاتة اتنين سالب أربعة سالب واحد. بما إنها س واحد، يبقى هنبدل العمود الأول بعمود الثوابت. يبقى المحدّد هيبقى ستة اتنين سالب تلتاشر سالب واحد؛ لأن عمود الثوابت هيبقى ستة وتلتاشر. يبقى س واحد هتساوي ستة في سالب واحد، ناقص اتنين في سالب تلتاشر؛ على خمسة. يعني هتساوي عشرين على خمسة؛ يعني هتساوي أربعة.

بنفس الطريقة س اتنين هتساوي محدّد تلاتة ستة سالب أربعة سالب تلتاشر، على محدّد تلاتة اتنين سالب أربعة سالب واحد. وده هيساوي تلاتة في سالب تلتاشر ناقص ستة في سالب أربعة؛ على خمسة. يعني هيساوي سالب خمستاشر على خمسة. يعني هيساوي سالب تلاتة.

يبقى حل نظام المعادلات س واحد بيساوي أربعة. وَ س اتنين تساوي سالب تلاتة. أو ممكن نكتبه على الصورة أربعة وسالب تلاتة. ولو عايزين نتحقق من الإجابة ممكن نعوّض بقيمة س واحد وَ س اتنين في معادلات النظام.

مثال تاني: باستخدام قاعدة كرامر أوجد حل نظام المعادلات: سالب س ناقص اتنين ص بيساوي سالب أربعة ع زائد اتناشر، وتلاتة س ناقص ستة ص زائد ع بيساوي خمستاشر. واتنين س زائد خمسة ص زائد واحد بيساوي صفر.

بعد تنظيم المعاملات هتبقى مصفوفة المعاملات هي أ هتساوي: سالب واحد، سالب اتنين، أربعة؛ تلاتة، سالب ستة، واحد؛ اتنين، خمسة، صفر. يبقى محدّد المصفوفة هيساوي سالب واحد في محدّد سالب ستة وواحد وخمسة وصفر. ناقص سالب اتنين في محدّد تلاتة واحد اتنين صفر. زائد أربعة في محدّد تلاتة سالب ستة اتنين خمسة. وده هيساوي سالب واحد في سالب ستة في صفر. ناقص واحد في خمسة. زائد اتنين في تلاتة في صفر. ناقص واحد في اتنين. زائد أربعة في تلاتة في خمسة. زائد ستة في اتنين. وبعد إجراء الحسابات ده هيساوي مية وتسعة.

يبقى محدّد المصفوفة لا يساوي صفر. وبالتالي نقدر نستخدم قاعدة كرامر. يبقى س هتساوي Δ س على Δ. وَ ص هتساوي Δ ص على Δ. وَ ع هتساوي Δ ع على Δ. نوجد س هتساوي Δ س على Δ. يعني هتساوي الصورة دي. وده هيساوي اتناشر في محدّد: سالب ستة واحد خمسة صفر. ناقص سالب اتنين في محدّد خمستاشر واحد اتنين صفر. زائد أربعة في محدّد خمستاشر سالب ستة اتنين خمسة. على مية وتسعة. وده هيساوي ميتين وتمنتاشر على مية وتسعة. يعني س هتساوي اتنين.

نوجد ص. ص هتساوي Δ ص على Δ. اللي هي هتبقى بالصورة دي. وده هيساوي سالب واحد في محدّد خمستاشر واحد سالب واحد صفر. ناقص اتناشر في محدّد تلاتة واحد اتنين صفر. زائد أربعة في محدّد تلاتة خمستاشر اتنين سالب واحد. على مية وتسعة. بعد إجراء الحسابات ده هيساوي سالب مية وتسعة على مية وتسعة. يعني ص هتساوي سالب واحد.

نوجد قيمة ع. ع هتساوي Δ ع على Δ. اللي هتساوي الصورة دي. وده هيساوي سالب واحد في محدّد سالب ستة وخمستاشر وخمسة وسالب واحد. ناقص سالب اتنين في محدّد تلاتة خمستاشر اتنين سالب واحد. ‏زائد اتناشر في محدّد تلاتة سالب ستة اتنين خمسة. على مية وتسعة. وده هيساوي بعد إجراء الحسابات تلتمية سبعة وعشرين على مية وتسعة. يعني ع هتساوي تلاتة.

يبقى حل نظام المعادلات: س بتساوي اتنين. ص بتساوي سالب واحد. ع بتساوي تلاتة. أو ممكن نكتبه على الصورة: اتنين، سالب واحد، تلاتة.

ولو عاوزين نتحقق من الإجابة هنعوّض بقيم س وَ ص وَ ع في معادلات النظام. ونشوف إذا كانت هتتحقق ولّا لأ. فبالتعويض في المعادلة الأولى، هنلاقي إن سالب اتنين ناقص اتنين في سالب واحد، فعلًا هيساوي سالب أربعة في تلاتة زائد اتناشر. وده معناه إن المعادلة الأولى اتحققت.

وبالتعويض في المعادلة التانية، هنلاقي إن تلاتة في اتنين، ناقص ستة في سالب واحد، زائد تلاتة؛ هيساوي فعلًا خمستاشر. وده معناه إن المعادلة التانية اتحققت.

وبالتعويض في المعادلة التالتة، هنلاقي إن اتنين في اتنين، زائد خمسة في سالب واحد، زائد واحد؛ هتساوي فعلًا صفر. وبالتالي يبقى حققنا المعادلة التالتة.

وبما إن المعادلات التلاتة اتحققت يبقى حل نظام المعادلات صحيح.

يبقى في الفيديو ده اتكلمنا عن قاعدة كرامر. وإزاي بنوجد متغيرات نظم المعادلات المربعة باستخدامها. وعرفنا الحالات اللي ما ينفعش نطبق القاعدة فيها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.