فيديو الدرس: الزوايا الناتجة عن تقاطع المستقيمات في دائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

الزوايا الناتجة عن تقاطع المستقيمات في دائرة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قياسات الزوايا الناتجة عن تقاطع وترين، أو قاطعين، أو مماسين، أو مماس وقاطع في دائرة. للقيام بذلك، دعونا نبدأ بتقاطع وترين داخل دائرة. رسمنا هنا الوتر ﺃﺏ الذي يتقاطع مع الوتر ﺟﺩ. وسنسمي نقطة التقاطع ﻫ.

نريد أن نوجد صيغة لإيجاد قياس إحدى الزوايا المحصورة بين هذين الوترين. فلنحاول إيجاد صيغة لقياس الزاوية ﺏﻫﺟ. ولكي نفعل ذلك، نبدأ بالتوصيل بين النقطتين ﺃ وﺟ، وهو ما يعطينا المثلث ﺃﻫﺟ. أول شيء نلاحظه هو أن الزاويتين ﺃﻫﺟ وﺏﻫﺟ تشكلان خطًّا مستقيمًا. لذا، فإن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة.

لدينا أيضًا المثلث ﺃﻫﺟ. إذن، مجموع قياسات زواياه الداخلية يساوي ١٨٠ درجة. والتعبيران في الطرف الأيمن من المعادلة كلاهما يساوي ١٨٠ درجة. لذلك، فإن الطرف الأيمن في كلتا المعادلتين يجب أن يكون متساويًا. وإذا حذفنا قياس الزاوية ﺃﻫﺟ من طرفي هذه المعادلة، فإن قياس الزاوية ﺏﻫﺟ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﻫ زائد قياس الزاوية ﻫﺃﺟ.

هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي إضافة طرفي المعادلة إلى قياس الزاوية ﺃﻫﺟ للحصول على ١٨٠ درجة. يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة مرة أخرى. لنلق نظرة أولًا على الزاوية ﺃﺟﻫ. نلاحظ أن قياس الزاوية ﺃﺟﻫ هو نفسه قياس الزاوية ﺃﺟﺩ. فهي تقع على محيط الدائرة. وهذه الزاوية تحديدًا يقابلها القوس الأصغر من ﺃ إلى ﺩ. نتذكر أنه عند حدوث ذلك، فإن قياس الزاوية سيساوي نصف قياس القوس. قياس الزاوية ﺃﺟﻫ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺩ. ويمكننا تكرار الأمر نفسه مع الزاوية الأخرى ﻫﺃﺟ. القوس الأصغر من ﺏ إلى ﺟ يقابل هذه الزاوية. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﻫﺃﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺏﺟ.

يمكننا التعويض بهذين التعبيرين عن الزاويتين في المعادلة. وهذا يعطينا قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺩ زائد نصف قياس القوس ﺏﺟ. يمكننا بعد ذلك إخراج العامل نصف للحصول على المعادلة التالية. قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي نصف مجموع قياس القوس ﺃﺩ وقياس القوس ﺏﺟ.

هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي حساب متوسط قياسي القوسين المقابلين للزاوية في الدائرة. وبالطريقة نفسها، يمكن أن نوجد صيغة لإيجاد قياس إحدى الزاويتين الأخريين عند النقطة ﻫ. وبالطريقة نفسها أيضًا، فإن قياس الزاوية يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين للزاوية. فقياس الزاوية ﺃﻫﺟ يساوي نصفًا في قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ.

يمكننا كتابة هذه النتيجة بطريقة منهجية على النحو التالي. إذا التقى الوتران ﺃﺏ وﺟﺩ في دائرة عند النقطة ﻫ، فإن قياس أي زاوية محصورة بين الوترين يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها، وهو ما يعطينا الصيغتين التاليتين. قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺩ زائد قياس القوس ﺏﺟ. وقياس الزاوية ﺃﻫﺟ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺟ زائد قياس القوس ﺏﺩ. هيا نتناول مثالًا على تطبيق هذه النتيجة لإيجاد قياس زاوية محصورة بين وترين في دائرة.

أوجد قيمة ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ. نلاحظ أن ﺱ هي الزاوية المحصورة بين وترين في الدائرة. وهما الوتر ﺃﺏ والوتر ﺟﺩ. يمكننا أن نتذكر الحقيقة التالية. قياس الزاوية المحصورة بين وترين في دائرة يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها. لدينا في الشكل قياس كل من القوسين المقابلين للزاوية ﺱ. وهما القوس ﺃﺟ الذي قياسه ٧٣ درجة، والقوس ﺩﺏ الذي قياسه ١٣٣ درجة. إذن، بتطبيق هذه النتيجة، لا بد أن يكون ﺱ يساوي نصفًا في ٧٣ درجة زائد ١٣٣ درجة. يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. ‏٧٣ زائد ١٣٣ يساوي ٢٠٦، ونصف هذا يساوي ١٠٣ درجات.

وعليه، تمكنا من إثبات أن قياس الزاوية ﺱ الموضحة في الشكل يساوي ١٠٣ درجات.

يمكننا اتباع طريقة مشابهة تمامًا للبرهان الأخير لمساعدتنا في إيجاد قياس زاوية محصورة بين قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة، حيث نتذكر أن القاطع هو الامتداد الخطي للوتر. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الشكل الموضح الذي يتضمن القاطع ﺃﺏ والقاطع ﺟﺩ اللذان يتقاطعان عند النقطة ﻫ. نريد أن نوجد صيغة لإيجاد قياس الزاوية ﺏﻫﺩ. وللقيام بذلك، سنكون مثلثًا مرة أخرى. وهذه المرة، سنكون المثلث برسم خط يصل بين النقطتين ﺃ وﺩ.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها التي اتبعناها في البرهان الأخير لإيجاد صيغة لقياس الزاوية ﺏﻫﺩ. تشكل الزاويتان ﺟﺩﺃ وﺃﺩﻫ خطًّا مستقيمًا؛ إذن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. نعلم كذلك أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث ﺃﺩﻫ سيساوي أيضًا ١٨٠ درجة. وعليه، فإن قياس الزاوية ﺃﻫﺩ زائد قياس الزاوية ﺩﺃﻫ زائد قياس الزاوية ﺃﺩﻫ يساوي ١٨٠ درجة. هذان التعبيران يساويان ١٨٠ درجة. إذن، يمكننا مساواة الطرف الأيمن في كلتا المعادلتين. نلاحظ أيضًا أن الطرف الأيمن في كلتا المعادلتين به الحد الذي يتضمن قياس الزاوية ﺃﺩﻫ؛ ومن ثم يمكننا حذفه. هذا يعطينا قياس الزاوية ﺃﻫﺩ زائد قياس الزاوية ﺩﺃﻫ يساوي قياس الزاوية ﺟﺩﺃ.

إحدى طرق التفكير في ذلك هي أن طرفي المعادلة يضافان إلى قياس الزاوية ﺃﺩﻫ لنحصل على القيمة ١٨٠ درجة. نحن نريد إيجاد صيغة لقياس الزاوية ﺃﻫﺩ. ومن ثم، سنطرح قياس الزاوية ﺩﺃﻫ من طرفي المعادلة. وهذا يعطينا قياس الزاوية ﺃﻫﺩ يساوي قياس الزاوية ﺟﺩﺃ ناقص قياس الزاوية ﺩﺃﻫ.

وأخيرًا، يمكننا إيجاد صيغتين لهاتين الزاويتين؛ نظرًا لأن كل زاوية منهما يقابلها قوس في الدائرة. أولًا، الزاوية ﺩﺃﻫ يقابلها القوس من ﺏ إلى ﺩ. ثانيًا، الزاوية ﺟﺩﺃ يقابلها القوس من ﺃ إلى ﺟ. نتذكر أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺟﺩﺃ يساوي نصف قياس القوس من ﺃ إلى ﺟ، وقياس الزاوية ﺩﺃﻫ يساوي نصف قياس القوس من ﺏ إلى ﺩ. والفرق بين هاتين القيمتين يساوي قياس الزاوية ﺃﻫﺩ.

وأخيرًا، يمكننا إخراج العامل نصف للحصول على قياس الزاوية ﺃﻫﺩ يساوي نصف قياس القوس ﺃﺟ ناقص قياس القوس ﺏﺩ. يمكننا كتابة ذلك بطريقة منهجية أكثر على النحو التالي. إذا كان ﺃﺏ وﺟﺩ قاطعين يتقاطعان عند النقطة ﻫ خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسي القوسين المقابلين لضلعيها. بعبارة أخرى، قياس الزاوية ﺃﻫﺩ يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياس القوس ﺃﺟ وقياس القوس ﺏﺩ. لنتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه الخاصية لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة.

أوجد قيمة ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ. نلاحظ من الشكل أن ﺱ هي الزاوية المحصورة بين قاطعين يتقاطعان خارج الدائرة. ويمكننا إيجاد قياس ﺱ بتذكر الحقيقة التالية. قياس الزاوية المحصورة بين قاطعين في دائرة يتقاطعان خارجها يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسي القوسين المقابلين لضلعيها.

لتطبيق هذه الخاصية، دعونا نقم بذلك خطوة بخطوة. لنحدد أولًا ضلعي الزاوية ﺱ. يمكننا ملاحظة أن ﺱ هي الزاوية المحصورة بين المستقيمين ﺃﺟ وﺃﻫ. إذن، ضلعا الزاوية هما القطعة المستقيمة ﺃﺟ، والقطعة المستقيمة ﺃﻫ. علينا بعد ذلك إيجاد قياسي القوسين اللذين يقطعهما ضلعا الزاوية. الضلع الأول للزاوية يقطع الدائرة عند النقطة ﺏ، والضلع الثاني للزاوية يقطع الدائرة عند النقطة ﺩ. وعليه، فإن أحد القوسين اللذين سنستخدمهما هو القوس من ﺏ إلى ﺩ. وبالمثل، فإن الضلع الأول للزاوية يقطع الدائرة عند النقطة ﺟ، والضلع الثاني للزاوية يقطع الدائرة عند النقطة ﻫ. إذن، القوس الآخر الذي يعنينا هو القوس من ﺟ إلى ﻫ.

وأخيرًا، قياس الزاوية لدينا يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسي هذين القوسين. وبما أن القوس من ﺟ إلى ﻫ أكبر من القوس من ﺏ إلى ﺩ؛ فهذا يعطينا النتيجة التالية. ‏ﺱ يساوي نصفًا مضروبًا في قياس القوس ﺟﻫ ناقص قياس القوس ﺏﺩ. وهاتان القيمتان معطاتان في الشكل. قياس القوس ﺟﻫ يساوي ١٣٢ درجة، وقياس القوس ﺏﺩ يساوي ٣٦ درجة. إذن، نعوض بهاتين القيمتين في الصيغة لدينا. فنحصل على ﺱ يساوي نصفًا مضروبًا في ١٣٢ درجة ناقص ٣٦ درجة. ويمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. ‏١٣٢ ناقص ٣٦ يساوي ٩٦. وإذا ضربنا هذا في نصف، فسنحصل على ٤٨. إذن، ﺱ يساوي ٤٨ درجة.

بذلك، نكون قد تمكنا من إيجاد قيمة ﺱ في الشكل المعطى. وهي تساوي نصف قيمة الفرق بين قياس القوس ﺟﻫ وقياس القوس ﺏﺩ، أي ٤٨ درجة.

دعونا نتناول الآن كيفية إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مماسين لدائرة يتقاطعان عند نقطة خارج الدائرة. على سبيل المثال، لننظر إلى المماسين الموضحين اللذين يتقاطعان عند النقطة ﺟ. نريد إيجاد قياس الزاوية ﺃﺟﺏ. إذا أسمينا مركز الدائرة ﻡ، فسيصبح ﻡﺃﺟﺏ شكلًا رباعيًّا. وقياسات الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي تساوي ٣٦٠ درجة.

إذن، قياس الزاوية ﻡ زائد قياس الزاوية ﺃ زائد قياس الزاوية ﺟ زائد قياس الزاوية ﺏ يساوي ٣٦٠ درجة. وبما أن ﺃ وﺏ هما نقطتا التماس، وﻡ هو مركز الدائرة، فكلتا الزاويتين عند النقطتين ﺃ وﺏ ستكون قائمة. ومن ثم، قياس كل منهما يساوي ٩٠ درجة. يمكننا طرح ١٨٠ درجة من طرفي المعادلة لنحصل على قياس الزاوية ﻡ زائد قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة. نلاحظ في الشكل أن الزاوية ﻡ هي الزاوية المركزية للدائرة ويقابلها القوس من ﺃ إلى ﺟ. ونعلم أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية. وعليه، فإن قياس الزاوية ﻡ هنا يساوي قياس القوس من ﺃ إلى ﺏ.

يمكننا التعويض بذلك في المعادلة ثم إعادة ترتيبها لإيجاد تعبير لقياس الزاوية ﺟ. نجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس من ﺃ إلى ﺏ. ويمكننا أيضًا كتابة النتيجة التي أثبتناها منهجيًّا على النحو التالي. إذا كان لدينا مماسان يمسان الدائرة عند النقطتين ﺃ وﺏ ويتقاطعان عند النقطة ﺟ، فإن قياس الزاوية المحصورة بين المماسين يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس المحصور بين نقطتي التماس. قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس من ﺃ إلى ﺏ.

لنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه هذه الخاصية لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان عند نقطة خارج الدائرة.

أوجد قيمة ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ. يمكننا ملاحظة أن ﺱ هي الزاوية المحصورة بين مماسي الدائرة. وهما المستقيم من ﺃ إلى ﺟ والمستقيم من ﺃ إلى ﺏ. فكلاهما يمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط، إذن هذان المستقيمان مماسان. يمكننا إيجاد قيمة ﺱ بتذكر الخاصية التالية للزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان عند نقطة خارج الدائرة.

نتذكر أن قياس الزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان عند نقطة يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس المحصور بين نقطتي التماس. في هذا الشكل، نقطتا التماس هما ﺏ وﺟ. والقوس المحصور بين ﺏ وﺟ هو القوس الأصغر الموضح. نعلم قياس هذا القوس؛ وهو يساوي ١٥١ درجة. تخبرنا الخاصية أن قيمة ﺱ تساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس ﺏﺟ. إذن، يمكننا التعويض بقياس القوس ﺏﺟ، وهو ١٥١ درجة، لنحصل على ﺱ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ١٥١ درجة، وبحساب ذلك، نحصل على ٢٩ درجة.

باستخدام حقيقة أن قياس الزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان عند نقطة خارج الدائرة يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس المحصور بين نقطتي التماس، تمكنا من إثبات أن ﺱ يساوي ٢٩ درجة.

وأخيرًا، لنحاول إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين مماس وقاطع يتقاطعان خارج الدائرة. في هذا الشكل، المماس هو ﺃﺩ، والقاطع هو ﺟﺏ. نريد إيجاد قياس الزاوية ﺃﺩﺏ. وسنفعل ذلك باستخدام طريقة مشابهة جدًّا للبراهين الثلاثة الأخيرة. سنبدأ بالتوصيل بين ﺃ وﺏ لتكوين المثلث ﺃﺏﺩ. نلاحظ أن الزاويتين ﺟﺏﺃ وﺃﺏﺩ تقعان على خط مستقيم، ومن ثم فإن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺟﺏﺃ زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي ١٨٠ درجة.

لدينا أيضًا مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث، وهو ١٨٠ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺏﺩﺃ زائد قياس الزاوية ﺏﺃﺩ زائد قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي ١٨٠ درجة. أصبح لدينا الآن تعبيران مختلفان عند جمعهما مع قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يكون الناتج ١٨٠ درجة. وعليه، لا بد أن يكون هذان التعبيران متساويين. قياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي قياس الزاوية ﺏﺩﺃ زائد قياس الزاوية ﺏﺃﺩ.

يمكننا طرح قياس الزاوية ﺏﺃﺩ من كلا الطرفين لإيجاد تعبير لقياس الزاوية ﺏﺩﺃ. نعلم أن قياس الزاوية ﺏﺩﺃ يساوي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ ناقص قياس الزاوية ﺟﺏﺃ. يمكننا إيجاد تعبير يمثل قياس الزاوية ﺏﺃﺩ عن طريق إضافة نصفي القطرين التاليين إلى الشكل أولًا. نستخدم بعد ذلك حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للشكل الرباعي ﻡﺃﺩﺏ يساوي ٣٦٠ درجة. وبما أن ﺃ نقطة التماس لخط المماس، فإن الزاوية ﻡﺃﺩ قائمة. إذن، مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذا الشكل الرباعي، أي قياس الزاوية ﺃﻡﺏ زائد ٩٠ درجة زائد قياس الزاوية ﺏﺩﺃ زائد قياس الزاوية ﺩﺏﻡ، يساوي ٣٦٠ درجة.

نعلم أن قياس الزاوية المركزية ﺃﻡﺏ يساوي قياس القوس ﺃﺏ. لذا، يمكننا التعويض بذلك في التعبير لدينا لنحصل على ما هو موضح. وبالنظر إلى الزوايا الداخلية للمثلث ﺃﺏﺩ، فإن مجموع قياساتها يساوي ١٨٠ درجة. لذا، قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي ١٨٠ درجة ناقص مجموع قياسي الزاويتين الأخريين، أي قياس الزاوية ﺏﺃﺩ وقياس الزاوية ﺏﺩﺃ. وأخيرًا، بما أن ﻡﺃ وﻡﺏ نصفا قطرين، فإن هذا يعني أن ﻡﺃﺏ مثلث متساوي الساقين. إذن، قياسا الزاويتين ﻡﺃﺏ وﻡﺏﺃ متساويان. وبما أن الزاوية ﻡﺃﺩ قائمة، فإن قياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ٩٠ ناقص قياس الزاوية ﺏﺃﺩ.

كل ما علينا الآن هو استخدام حقيقة أن قياس الزاوية ﺩﺏﻡ هو مجموع قياسي الزاويتين ﺃﺏﺩ وﻡﺃﺏ. نعوض عن ذلك في التعبير ثم نبسط. فنجد النتيجة التالية. قياس الزاوية ﺏﺃﺩ يساوي نصف قياس القوس من ﺃ إلى ﺏ. ولحساب ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة ونعود إلى المعادلة الموضحة.

يمكننا إيجاد تعبير لقياس لزاوية ﺟﺏﺃ من الشكل لدينا. الزاوية ﺟﺏﺃ يقابلها القوس الأكبر من ﺃ إلى ﺟ. وقياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. ومن ثم، فإن هذا يساوي نصف قياس القوس من ﺃ إلى ﺟ. يمكننا التعويض بالتعبير الذي يمثل قياس الزاوية ﺏﺃﺩ؛ ما يعطينا المعادلة الموضحة، والتي يمكننا إعادة ترتيبها لإيجاد قياس الزاوية ﺏﺩﺃ، فنحصل على ما يلي. قياس الزاوية ﺏﺩﺃ يساوي نصف قياس القوس الأكبر من ﺃ إلى ﺟ ناقص قياس القوس من ﺃ إلى ﺏ.

هناك طريقة سهلة لتذكر ذلك، وهي أن قياس الزاوية يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المقابلين لضلعيها. وبالطبع، نأخذ القيمة الموجبة لهذا الفرق.

قبل أن ننتهي، توجد خاصية أخرى يمكننا توضيحها. لقد أوضحنا بالفعل أن قياس الزاوية المحصورة بين مماسي دائرة يلتقيان عند نقطة يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس الأصغر بين نقطتي التماس. يمكننا ربط ذلك بالنتائج الأخرى بالتفكير في قياس القوس الآخر؛ وسنسميه ﺹ. يشكل هذان القوسان دائرة كاملة، إذن مجموع قياسيهما يساوي ٣٦٠ درجة. بطرح ﺱ من طرفي المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي ٣٦٠ درجة ناقص ﺱ. نريد استخدام هذا لإيجاد نصف الفرق بين هذين القوسين. ما يعني نصف ﺹ ناقص ﺱ.

نعوض عن ﺹ بهذا التعبير في صيغة نصف الفرق. هذا يعطينا نصف ٣٦٠ ناقص ﺱ ناقص ﺱ، وعند تبسيط ذلك، نحصل على ١٨٠ درجة ناقص ﺱ، وباستخدام النتيجة الأولى، فإن هذا يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﺏ. بعبارة أخرى، يمكننا أيضًا التفكير في قياس الزاوية المحصورة بين المماسين اللذين يلتقيان خارج الدائرة على أنه يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين بين نقطتي التماس.

لنراجع النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا أولًا أنه إذا تقاطع وتران عند نقطة في دائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين الوترين يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها. عرفنا أيضًا أنه إذا تقاطع قاطعان، أو مماسان، أو قاطع ومماس عند نقطة خارج الدائرة، فإن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي نصف القيمة الموجبة للفرق بين قياسي القوسين المقابلين لضلعي الزاوية. وأخيرًا، عرفنا أن قياس الزاوية المحصورة بين مماسين يتقاطعان خارج الدائرة يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياس القوس الأصغر بين نقطتي التماس.