تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: الدوال الكثيرات الحدود الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف دالة كثيرة الحدود ذات متغير واحد، ونكتبها، ونوجد قيمتها، ونحدد درجتها ومعاملها الرئيسي

٢١:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف دالة كثيرة الحدود ذات متغير واحد، ونكتبها، ونوجد قيمتها، ونحدد درجتها ومعاملها الرئيسي.

إننا نقرأ هذه الدالة على النحو الآتي: ﺩﺱ؛ حيث ﺩ دالة في متغير واحد وهو ﺱ. ودرجة الدالة ﺩ هي ﻥ، وهي أكبر قوة للمتغير ﺱ، ولا بد أن تكون عددًا صحيحًا غير سالب. وتكون المعاملات ﺃﺭ ثوابت حقيقية؛ حيث تتراوح قيمة ﺭ من صفر إلى ﻥ. بوصولك إلى هذه المرحلة، ستكون قد تعاملت مع بعض الدوال الكثيرات الحدود، ربما دون أن تدرك ذلك. على سبيل المثال، مساحة المربع، التي يمكننا تسميتها ﻡﺱ؛ حيث ﻡ دالة في المتغير ﺱ، تساوي طول ضلعه تربيع. وهذه دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. وتسمى الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة الثانية «دالة تربيعية»، وهذه الدالة؛ أي ﻡﺱ، لها معامل رئيسي يساوي واحدًا.

حجم المكعب، الذي يمكننا تسميته ﺡﺱ، يساوي طول ضلعه تكعيب، وتعد هذه دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة. نسمي هذه الدالة «دالة كثيرة الحدود تكعيبية»، ومعاملها الرئيسي أيضًا في هذه الحالة يساوي واحدًا. تتضمن الأمثلة الأخرى للدوال الكثيرات الحدود الدوال الخطية، وهي من الدرجة الأولى. إذن، الدرجة ﻥ تساوي واحدًا، وتكون الدالة الخطية على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺃ واحد في ﺱ زائد ﺃ صفر. في المثال الموضح، المعامل الرئيسي؛ أي ﺃ واحد، يساوي ثلاثة، والثابت ﺃ صفر يساوي سبعة. بالنسبة إلى أي دالة خطية، بما أن أي عدد أس واحد يساوي العدد نفسه، فإنه يمكننا أن نتجاهل كتابة الأس ﻥ يساوي واحدًا للمتغير ﺱ.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه بما أن قيم أسس ﺱ تتراوح بين صفر وﻥ، فإن ﺱ أس صفر دالة كثيرة الحدود. كل ما هنالك هو أنه بما أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا، وأي عدد مضروب في واحد يساوي العدد نفسه؛ فليس علينا أن نكتب ﺱ أس صفر. لا تتضمن الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة ﻥ بالضرورة جميع القوى الصحيحة غير السالبة لـ ﺱ الأقل من ﻥ. على سبيل المثال، الدالة ﺭﺱ من الدرجة الرابعة، ولكنها تتضمن فقط ﺱ أس أربعة واثنين وصفر، ولا تتضمن ﺱ أس ثلاثة أو واحد.

تذكر أن قيمة الدرجة ﻥ لا بد أن تكون عددًا صحيحًا غير سالب؛ أي عددًا كليًّا موجبًا أو صفرًا. إذن، الدوال مثل ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ ليست دوال كثيرات الحدود. ويرجع ذلك إلى أن الجذر التربيعي لمقدار ما يساوي المقدار أس نصف، إذن لن تكون قيمة أس ﺱ عددًا صحيحًا غير سالب. وبالمثل، فإن الدوال مثل ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ زائد اثنين ليست دوال كثيرات الحدود. وذلك نظرًا لأن واحدًا على مقدار ما يساوي هذا المقدار أس سالب واحد، وهو عدد صحيح سالب.

ومن ناحية أخرى، الدالتان الموضحتان من الدرجة الثانية والثالثة على الترتيب، دالتان كثيرتا الحدود. تعد الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد ١١ﺱ ناقص واحد مثالًا آخر على الدوال التربيعية. والدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ناقص ﺱ أس ثلاثة، أو ﺱ تكعيب، زائد اثنين ﺱ تربيع؛ هي مثال آخر على الدوال التكعيبية. في الحقيقة، يمكن أن تكون لدينا دوال كثيرات الحدود؛ حيث تساوي قيمة ﻥ أي عدد صحيح غير سالب. إذن، يمكن أن تكون درجة الدالة على سبيل المثال ٤٢ أو سبعة، كما هي الحال في المثالين الأخيرين على الترتيب.

لجعل تعريف الدالة الكثيرة الحدود أكثر منهجية، فإننا نعرف «وحيدات الحد»؛ وهي العناصر الأساسية المكونة لكثيرات الحدود، بأنها حاصل ضرب عدد ثابت في متغير واحد أو أكثر، وتكون لهذه المتغيرات قوى صحيحة غير سالبة. انظر إلى قائمة المقادير من (أ) إلى (ز). لنر أي هذه المقادير يصنف من وحيدات الحد.

يمكن إعادة كتابة المقدار (أ) على الصورة ﺱ أس واحد. وبما أن العدد واحدًا هو أس صحيح غير سالب، فإن هذا المقدار يصنف من وحيدات الحد. يتكون المقدار (ب) من المتغير ﻥ أس سالب ستة؛ إذن هذا المقدار أيضًا يصنف من وحيدات الحد؛ حيث إن الأس ستة عدد صحيح موجب. ومن ناحية أخرى، يمكن إعادة كتابة المقدار (ج) على الصورة ﺱ أس ثلث، وهو ليس عددًا صحيحًا غير سالب. إذن، هذا المقدار لا يصنف ضمن وحيدات الحد.

بالنسبة إلى المقدار (د)، يعد الصفر بالفعل من وحيدات الحد؛ إذ يمكن كتابة الصفر على الصورة صفر في ﺱ، أو أي قوة أخرى لـ ﺱ. في الواقع، وكما أشرنا سابقًا، أي ثابت ﺙ يعد من وحيدات الحد؛ حيث يمكن كتابة ﺙ على الصورة ﺙ في ﺱ أس صفر. وهذا يساوي ﺙ في واحد. أما بالنسبة إلى المقدار (هـ)، فإنه ليس من وحيدات الحد؛ إذ يحتوي على أكثر من حد، لكنه يتكون بالفعل من مجموع وحيدتي الحد ﺱ تربيع وواحد. لا يعد المقدار (و) أيضًا من وحيدات الحد؛ لأن سالب اثنين، وهو أس المتغير ﺹ، عدد صحيح سالب.

وأخيرًا، المقدار (ز) من وحيدات الحد. إنه عبارة عن حد واحد، وكل متغير في هذا الحد مرفوع لقوة صحيحة غير سالبة. يمكننا إعادة كتابة هذا المقدار على الصورة الموضحة. وحقيقة أن الثابت ثلاثة على اثنين ليس عددًا صحيحًا غير مهمة؛ إذ المهم هو أن تكون أسس المتغيرات وحدها أعدادًا صحيحة غير سالبة. لاحظ أيضًا أن هذا يمثل وحيدة حد متعددة المتغيرات؛ إذ توجد ثلاثة متغيرات وهي: ﺱ وﺹ وﻉ.

إذن، المقادير أ، ب، د، ز هي وحيدات الحد.

نعرف الدالة الكثيرة الحدود بأنها مقدار مكون من مجموع وحيدات الحد؛ حيث يسمى كل حد فيها وحيدة حد. الدالة المكونة من عدة حدود تسمى «دالة كثيرة الحدود». ونلاحظ أن كل حد في الدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ يكون من وحيدات الحد. لنتناول مثالًا نحدد فيه أي الدوال دوال كثيرات الحدود.

أي من الآتي يمثل دالة كثيرة الحدود؟ الخيار أ: ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد أربعة. الخيار ب: ﺩﺱ تساوي ﺱ مرفوعًا للقوة سالب اثنين زائد اثنين ﺱ زائد أربعة. الخيار ج: ﺩﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. الخيار د: ﺩﺱ تساوي اثنين في ﺱ مرفوعًا للقوة سالب اثنين. الخيار هـ: ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد أربعة.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر وفقًا للتعريف أن كل حد في الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد لا بد أن يكون من وحيدات الحد. هذا يعني أن يكون الحد حاصل ضرب عدد ثابت في متغير واحد مرفوع لقوة صحيحة غير سالبة. لنستعرض الخيارات واحدًا تلو الآخر لنرى إذا ما كانت تطابق هذا التعريف.

أولًا، نرى أن الخيار أ يتضمن الحد جذر ﺱ، ويكافئ ذلك ﺱ مرفوعًا للقوة نصف. بما أن أس المتغير ليس عددًا صحيحًا، فإن الخيار أ لا يمكن أن يكون دالة كثيرة الحدود. إذا تناولنا الآن الخيار ب، فسنجد هذه المرة أن الدالة تحتوي على قوة صحيحة سالبة لـ ﺱ، وهي سالب اثنين. إذن، لا يمكن أن يكون الخيار ب دالة كثيرة الحدود. في الواقع، يتضمن الخيار د قوة ﺱ نفسها. لذا يمكننا استبعاد الخيار د لنفس السبب.

لنتناول الآن الخيار ج. وفقًا لقوانين الأسس، نعرف أنه يمكن كتابة واحد على ﺱ على الصورة ﺱ مرفوعًا للقوة سالب واحد. وبما أن هذا يساوي ﺱ أس عدد صحيح سالب، فإنه لا يمكن أن يكون الخيار ج دالة كثيرة الحدود. وبذلك يتبقى لدينا الخيار هـ.

باستعراض كافة الحدود في الخيار هـ، نجد أولًا أن ﺱ تربيع هو المتغير ﺱ مرفوعًا إلى قوة صحيحة موجبة. ويمكن كتابة اثنين ﺱ على الصورة: اثنان في ﺱ مرفوعًا للقوة واحد، وبذلك يكون هذا الحد حاصل ضرب الثابت اثنين في متغير واحد، وهو ﺱ، مرفوع إلى قوة صحيحة موجبة. والحد الأخير، أي أربعة، هو ثابت يمكن كتابته على الصورة: أربعة في ﺱ مرفوعًا للقوة صفر. وبما أن هذا الحد يعتبر من وحيدات الحد، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد أربعة؛ هي مجموع وحيدات حد. إذن، الخيار هـ فقط يمثل دالة كثيرة الحدود.

لنر الآن كيف يمكننا تكوين دالة كثيرة الحدود من معلومات معطاة في مسألة حياتية.

تبلغ تكلفة خدمة ركوب الحافلات رسومًا ثابتة قدرها خمسة جنيهات مصرية، بالإضافة إلى جنيهين مصريين لكل محطة توقف. اكتب دالة كثيرة الحدود لتمثيل التكلفة الكلية للرحلة.

لتكوين دالة كثيرة الحدود تمثل تكلفة الرحلة بالحافلة، يتعين علينا أولًا استخلاص المعلومات ذات الصلة من السؤال. علمنا من المعطيات أن هناك رسومًا ثابتة مقدارها خمسة جنيهات. ستكون الجنيهات الخمسة ثابتًا في الدالة التي سنكونها. بعد ذلك، علمنا أن هناك رسمًا إضافيًّا مقداره جنيهان لكل محطة توقف.

يعد عدد محطات التوقف كمية متغيرة، لذا دعونا نسمه ﺱ. وتجدر ملاحظة أن ﺱ لا بد أن يكون عددًا صحيحًا موجبًا؛ لأنه يمثل عدد محطات التوقف. هذا يعني أننا إذا مررنا بعدد ﺱ من محطات التوقف، فإن علينا دفع اثنين ﺱ من الجنيهات زائد الرسوم الثابتة التي مقدارها خمسة جنيهات. هذه هي التكلفة الكلية للرحلة بالحافلة. وبكتابة ذلك في صورة دالة في المتغير ﺱ، يصبح لدينا: ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة. ومن ثم، تكون إجابتنا هي: ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة.

من المهم التحقق من أن هذه دالة كثيرة الحدود بالفعل؛ لأن السؤال يطلب منا صراحة كتابة دالة كثيرة الحدود. لنفعل ذلك، دعونا نتذكر تعريفين. أولهما هو تعريف وحيدة الحد. وهو حاصل ضرب عدد ثابت في متغير واحد أو أكثر، ويتضمن هذا المتغير قوى صحيحة غير سالبة. والتعريف الثاني هو تعريف الدالة الكثيرة الحدود. وهو أنها دالة مكونة من مجموع وحيدات حد.

في هذه الحالة، الحد الأول لدينا هو اثنان ﺱ. واثنان ﺱ يساوي بالفعل اثنين في ﺱ مرفوعًا للقوة واحد. إذن، لدينا حاصل ضرب عدد، وهو اثنان، في ﺱ مرفوعًا لقوة صحيحة موجبة، وهي الواحد. ومن ثم، فإن هذا الحد يعد وحيدة حد. والحد الثاني لدينا هو الثابت خمسة. ويمكن كتابة هذا الحد على الصورة: خمسة في ﺱ أس صفر، بتذكر أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. إذن، الحد الثاني خمسة هو أيضًا وحيدة حد، والدالة ﺩﺱ مكونة من مجموع وحيدتي حد.

وعليه، فإن تكلفة الرحلة بالحافلة؛ حيث ﺱ هو عدد محطات التوقف، يمكن تمثيلها على صورة الدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة. تذكر أنه لإيجاد قيمة دالة ما عند قيمة محددة للمتغير ﺱ، لنقل عند ﺱ يساوي ﺃ، فإننا نعوض بالقيمة ﺱ يساوي ﺃ في ﺩﺱ أينما وجدنا ﺱ، ثم نوجد قيمة الناتج. على سبيل المثال، إذا طلب منا إيجاد قيمة ﺩﺱ تساوي سبعة ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة عندما ﺱ يساوي اثنين، فأينما وجدنا ﺱ في الدالة ﺩﺱ، فإننا نعوض عنه بالقيمة ﺱ يساوي اثنين. وبما أن اثنين مرفوعًا للقوة ثلاثة، أو اثنين تكعيب؛ يساوي ثمانية، واثنين تربيع يساوي أربعة؛ فهذا يعطينا ٥٦ ناقص ١٦ زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ٤٣.

لنتناول مثالًا آخر على ذلك.

إذا كانت ﺩﺱ تساوي سالب ثمانية ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة، فأوجد ﺩ لسالب ثلاثة.

مطلوب منا إيجاد القيمة ﺩ لسالب ثلاثة. ونتذكر أن هذا هو ترميز الدالة الذي يمثل قيمة ﺩﺱ عندما ﺱ يساوي سالب ثلاثة. وهذا يعني أنه في الدالة ﺩﺱ التي لدينا، أينما وجدنا ﺱ فإننا نعوض عنه بسالب ثلاثة. إذن، لدينا ﺩ لسالب ثلاثة تساوي سالب ثمانية في سالب ثلاثة تربيع ناقص ثلاثة في سالب ثلاثة زائد أربعة. وهذا يساوي سالب ثمانية في تسعة زائد تسعة زائد أربعة، وقيمة هذا المقدار تساوي سالب ٥٩. وبذلك، فإن ﺩ لسالب ثلاثة تساوي سالب ٥٩.

قبل الانتقال إلى مزيد من الأمثلة، دعونا نذكر أنفسنا ببعض المصطلحات التي ستساعدنا على وصف نوع الدالة الكثيرة الحدود التي نتعامل معها. تذكر أنه بالنسبة إلى الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد، فإن أكبر أس للمتغير في أي حد غير صفري يسمى «درجة الدالة الكثيرة الحدود». ويسمى الحد الذي له أعلى درجة في كثيرة الحدود «الحد الرئيسي» لكثيرة الحدود، والعامل الثابت في الحد الرئيسي في كثيرة الحدود يسمى «المعامل الرئيسي». لنتناول مثالًا.

أوجد الدرجة والمعامل الرئيسي للدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ تربيع زائد سبعة.

للإجابة عن هذا السؤال، نتذكر أنه بالنسبة إلى الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد، فإن درجة كثيرة الحدود تساوي أكبر أس للمتغير في أي حد غير صفري. لإيجاد درجة الدالة الكثيرة الحدود المعطاة، نلاحظ أن المتغير الوحيد هو ﺱ. ويمكننا إعادة كتابة الحد الأخير بحيث يتضمن ﺱ أس صفر؛ حيث إن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. وبذلك يظهر المتغير في كل حد من الحدود غير الصفرية. بعد ذلك، يمكننا ملاحظة أن أسس ﺱ هي: أربعة، وثلاثة، واثنان، وصفر. وأكبر هذه الأسس يساوي أربعة. ومن ثم، فإن هذه الدالة من الدرجة الرابعة.

نلاحظ أيضًا أن الحد الذي له أعلى درجة يسمى «الحد الرئيسي» لكثيرة الحدود. وفي هذه الحالة، فإن الحد الذي له أعلى درجة هو الحد الذي أس ﺱ به يساوي أربعة. وهو ثلاثة في ﺱ أس أربعة. إذن، هذا هو الحد الرئيسي. لكن لم يطلب منا إيجاد الحد الرئيسي للدالة الكثيرة الحدود، ولكن المطلوب منا هو إيجاد المعامل الرئيسي. وهذا هو العامل الثابت في الحد الرئيسي، ويساوي ثلاثة. إذن، الدالة الكثيرة الحدود المعطاة دالة من الدرجة الرابعة، ومعاملها الرئيسي يساوي ثلاثة.

يمكننا الحصول على معلومات عن شكل الدالة الكثيرة الحدود ومدى تعقيدها من درجتها. كما أننا نطلق أسماء معينة على بعض كثيرات الحدود بناء على درجتها. وقد رأينا بعض هذه الأسماء في بداية هذا الفيديو. الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة صفر تسمى «دالة ثابتة». الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة واحد تسمى «دالة خطية». الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة اثنين تسمى «دالة تربيعية». والدالة من الدرجة ثلاثة تسمى «دالة تكعيبية». الدالة الكثيرة الحدود من الدرجة أربعة تسمى «دالة من الدرجة الرابعة». والدالة من الدرجة خمسة تسمى «دالة من الدرجة الخامسة».

وكما رأينا، فإن الدالة الثابتة تكون على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﺃ لعدد حقيقي ﺃ. يمكننا كتابة هذا على الصورة: ﺃ في ﺱ أس صفر؛ حيث ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن الدرجة تساوي صفرًا. لكن تجدر ملاحظة أنه في الحالة الخاصة التي يكون فيها ﺃ يساوي صفرًا تسمى الدالة «كثيرة الحدود الصفرية». وبتذكر تعريف الدرجة، وهي أكبر أس للمتغير في أي حد غير صفري، ففي هذه الدالة الخاصة كل حد يساوي صفرًا. ولذلك، نترك درجة كثيرة الحدود الصفرية غير معرفة. هناك أسماء لكثيرات الحدود من الدرجة الأكبر من خمسة، ولكننا لا نستخدمها عادة. لنتناول مثالًا على تحديد نوع الدالة الكثيرة الحدود.

حدد اسم الدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة.

قد نميل إلى تسمية الدالة الكثيرة الحدود بأسماء مثل «فريد» أو «مريم». ولكنها ستكون أسماء سخيفة. بدلًا من ذلك، فإننا نتذكر أننا نسمي الدوال الكثيرة الحدود بناء على درجتها. هذا يعني أنه في الدالة الكثيرة الحدود ذات المتغير الواحد، تكون الدرجة أكبر أس للمتغير في أي حد غير صفري. يمكننا إعادة كتابة الدالة المعطاة على الصورة الموضحة، بحيث يكون كل حد عبارة عن حاصل ضرب قيمة ثابتة في متغير مرفوع لقوة. إذن، الحد الأخير يساوي خمسة ﺱ أس صفر، والحد الذي يسبقه يساوي ثلاثة ﺱ أس واحد.

نلاحظ الآن أن أكبر أس للمتغير ﺱ هو ثلاثة في الحد الثاني. ومن ثم، فإن هذه هي درجة كثيرة الحدود. وأخيرًا، نتذكر أن كثيرات الحدود ذات المتغير الواحد من الدرجة ثلاثة تسمى «دوال تكعيبية». إذن، ﺩﺱ دالة تكعيبية.

لنختتم هذا الفيديو بتلخيص بعض النقاط المهمة التي تناولناها.

أولًا، وحيدة الحد هي حاصل ضرب عدد ثابت في متغير واحد أو أكثر، وتكون لهذه المتغيرات قوى صحيحة غير سالبة. كثيرة الحدود مقدار مكون من مجموع وحيدات حد. كثيرة الحدود ذات المتغير الواحد كثيرة حدود تحتوي على متغير واحد فقط. درجة كثيرة الحدود هي أكبر أس للمتغير في أي حد غير صفري. الحد الرئيسي لكثيرة الحدود هو الحد الذي له أعلى درجة. المعامل الرئيسي هو العامل الثابت للحد الرئيسي.

وأخيرًا، فإن بعض الدوال الكثيرات الحدود لها أسماء محددة بناء على درجتها. كثيرة الحدود من الدرجة صفر تسمى «دالة ثابتة». وكثيرة الحدود من الدرجة واحد تسمى «دالة خطية». وكثيرة الحدود من الدرجة اثنين تسمى «دالة تربيعية». وكثيرة الحدود من الدرجة ثلاثة تسمى «دالة تكعيبية». وكثيرة الحدود من الدرجة أربعة تسمى «دالة من الدرجة الرابعة». وكثيرة الحدود من الدرجة خمسة تسمى «دالة من الدرجة الخامسة».

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.