تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

أوجد أصغر زاوية موجبة تحقق المعادلتين الآتيتين معًا: جتا 𝜃 − √(٢) = ٠، ظا 𝜃 − ١ = ٠.

٠٤:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد أصغر زاوية موجبة تحقق المعادلتين الآتيتين معًا: اثنان جتا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا، وظا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا.

سنبدأ بحل كل من هاتين المعادلتين. أي اثنين جتا 𝜃 ناقص جذر اثنين يساوي صفرًا، وظا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا. نريد إيجاد قيمة 𝜃؛ لذلك، أول ما سنفعله في المعادلة الأولى هو إضافة الجذر التربيعي لاثنين إلى كلا الطرفين. وبذلك، نحصل على اثنين جتا 𝜃 في الطرف الأيمن، وجذر اثنين في الطرف الأيسر. بعد ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين. وبهذه الطريقة، نحصل على جتا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين. الآن، ما يمكننا فعله في هذه المرحلة، هو إيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. وعليه، نجد أن 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ جتا جذر اثنين على اثنين.

لكن، هذه القيمة هي إحدى القيم التي نحفظها عن ظهر قلب. نحن نعلم أن جتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. ومن ثم، نستنتج أنه إذا أردنا الحصول على جتا 𝜃 يساوي جذر اثنين على اثنين، فلا بد أن يكون 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. والآن، إذا فكرنا في دالة جيب التمام، فإننا نعرف أنها دالة دورية. لكنها متماثلة أيضًا حول الخط المستقيم ﺱ يساوي ١٨٠. إذن، في الفترة من صفر إلى ٣٦٠ درجة، يوجد حل آخر. وهذا الحل هو ٣٦٠ ناقص ٤٥، وهو ما يعطينا ٣١٥ درجة. والآن، بما أن دالة جيب التمام، كما قلنا، دالة دورية وتتكرر كل ٣٦٠ درجة، فيمكننا إيجاد حلول أخرى بإضافة مضاعفات ٣٦٠ درجة إلى كلا الحلين. لكن، نحن نحاول إيجاد أصغر زاوية موجبة تحقق كلتا المعادلتين؛ لذا قد يكون هذا كافيًا.

لننتقل إلى المعادلة الثانية. وتتطلب هذه المعادلة خطوات أقل بشكل واضح. سنضيف واحدًا إلى كلا طرفي هذه المعادلة. وهذا يعطينا ظا 𝜃 يساوي واحدًا. مرة أخرى، يمكننا إيجاد الدالة العكسية لـ ظا لكلا طرفي المعادلة؛ حيث 𝜃 يساوي الدالة العكسية لـ ظا واحد. ولكن، نلاحظ أن هذه أيضًا إحدى الزوايا التي نعرفها. ‏ظا ٤٥ يساوي واحدًا؛ لذا لا بد أن 𝜃 يساوي ٤٥ درجة. وهكذا، نلاحظ أننا لم نعد بحاجة إلى إيجاد أي حلول أخرى. نحن نعلم أن 𝜃 يساوي ٤٥ درجة يحقق كلتا هاتين المعادلتين.

وبهذا، يمكننا أن نقنع أنفسنا بأن هذه بالفعل أصغر زاوية موجبة تحقق كلتا المعادلتين بالنظر إلى شكل منحنى دالة الظل لقيم 𝜃 الأكبر من صفر. أحد الحلول لدينا هو أن 𝜃 يساوي ٤٥ درجة، والحل الآخر، في الفترة من صفر إلى ٣٦٠ على الأقل، تكون قيمته أكبر من ذلك فعليًّا. وهو يساوي ١٨٠ زائد ٤٥، أي ٢٢٥ درجة. ومن ثم، فإن أصغر زاوية موجبة تحقق كلتا المعادلتين هي ٤٥ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.