فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال العاشر

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال العاشر

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه أ يساوي واحد، وسالب اتنين، وواحد. والمتجه ب يساوي سالب اتنين، وواحد، واتنين. أوجد المركّبة الاتجاهية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب.

لو بصفة عامة عندنا متجهين؛ المتجه أ، والمتجه ب. والزاوية المحصورة بينهم قياسها Θ. ففي الحالة دي بنسمّي مسقط المتجه أ على المتجه ب: «المركّبة الجبرية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب»، واللي بنقدر نكتبها بالشكل ده. وبتبقى قيمتها عبارة عن معيار المتجه أ في جتا Θ؛ حيث Θ هو قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين أ وَ ب.

وإحنا عارفين إن الضرب القياسي لأيّ متجهين بيساوي معيار المتجه الأول، في معيار المتجه التاني، في جتا الزاوية المحصورة بينهما. وزيّ ما قلنا إن Θ هو قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين. من العلاقة دي هنقدر نستنتج إن جتا Θ هتساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وَ ب، على حاصل ضرب معيار المتجه أ في معيار المتجه ب.

هنعوّض عن جتا Θ من العلاقة دي في العلاقة اللي بتوجد المركّبة الجبرية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب. فهتصبح المركّبة الجبرية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب بالشكل ده. ونقدر نختصرها؛ فهتصبح حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وَ ب، على معيار المتجه ب.

طب إحنا مطلوب منّنا في السؤال إننا نوجد المركّبة الاتجاهية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب. واللي بتبقى عبارة عن حاصل ضرب المركّبة الجبرية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب، في متجه وحدة في اتجاه المتجه ب. وإحنا بالفعل أوجدنا المركّبة الجبرية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب. يبقى هنضربها في متجه وحدة في اتجاه المتجه ب، ويبقى كده حصلنا على المركّبة الاتجاهية المطلوبة.

عشان نوجد متجه وحدة في اتجاه المتجه ب، بنقسم المتجه ب على معيار المتجه ب. ونقدر نعيد صياغة العلاقة دي. فهتصبح عبارة عن حاصل الضرب القياسي للمتجه أ ب، على مربع معيار المتجه ب؛ في المتجه ب.

بعد كده هنعوّض عن إحداثيات المتجه أ والمتجه ب اللي معطاة عندنا في السؤال. هنعوّض عن المتجه أ بواحد، وسالب اتنين، وواحد. والمتجه ب بسالب اتنين، وواحد، واتنين.

أمّا معيار المتجه ب فهو عبارة عن الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركّباته، يعني الجذر التربيعي لأربعة زائد واحد زائد أربعة. إحنا عندنا مربع معيار المتجه ب، فهيبقى عندنا الجذر التربيعي لأربعة زائد واحد زائد أربعة الكل تربيع. وكل اللي ما بين الأقواس دول هيبقى مضروب في المتجه ب مرة أخرى؛ يعني مضروب في سالب اتنين، وواحد، واتنين.

وبإجراء العمليات الحسابية المطلوبة. هنلاقي إن المركّبة الاتجاهية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب هتساوي سالب اتنين على تسعة؛ في سالب اتنين، وواحد، واتنين.

لمّا بنيجي نضرب ثابت في متجه، ده معناها إننا بنضرب الثابت في كل مركّبة من مركّبات المتجه. وبكده هنلاقي إن المركّبة الاتجاهية للمتجه أ في اتجاه المتجه ب؛ هي: أربعة على تسعة، وسالب اتنين على تسعة، وسالب أربعة على تسعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.