فيديو: تحديد نوع القِطْع الذي تمثله المعادلة العامة للقطاعات المخروطية من المميز

يوضح الفيديو ما القطاعات المخروطية، وأنواعها، والصورة العامة لكلٍّ منها، وكيفية التمييز بينها باستخدام المميز، وأمثلةً عليها.

٠٩:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن القطاعات المخروطية، والصورة العامة لمعادلة القطاعات المخروطية. سواء كانت دايرة، أو كان قِطْع ناقص، أو قِطْع مكافئ، أو قِطْع زائد.

بيجي صورة عامة إحنا مش عارفين هي بتمثّل قِطْع إيه. فإحنا بالتالي عايزين نحدّد من خلال شكل المعادلة العامة دي نوع القِطْع اللي هي بتمثّله. عندنا أول حاجة خلّينا نعرف الصورة العامة بتكون شكلها إيه.

الصورة العامة عبارة عن: أ س تربيع، ناقص [زائد]‎ ب س ص، زائد ج ص تربيع. زائد د س، زائد هـ ص، زائد ع؛ يساوي صفر. دي الصورة العامة للأربع قطاعات بتوعنا. زيّ ما إحنا شايفين في الجدول: دايرة، قِطْع ناقص، قِطْع مكافئ، قِطْع زائد.

إزّاي نقدر نحدّد بقى هي بتمثّل إيه؟ خلّينا نشوف في الجدول. خلّينا ناخد بالنا بس إن أ، وَ ب، وَ ج، وَ د، وَ هـ، وَ ع؛ كل دي عبارة عن أعداد، يعني ثوابت. إحنا عندنا المتغيّرين الأساسيّين عبارة عن: س، وَ ص. خلّينا من خلال الجدول بقى نعرف حاجة.

بنعرّف حاجة اسمها: «المميّز» الأول قبل ما نبدأ، وهو عبارة عن: ب تربيع ناقص أربعة أ ج. بنقول: هو ده المميّز اللي بيميّز كل قِطْع. فبنشوف عندنا مثلًا لو عايزين نعرف إذا كانت دايرة ولّا لأ، فبنشوف هل الشرط الأول ده متحقّق. الدايرة بنلاقي إن المميّز فيها أقل من الصفر. وبنلاقي إن ب تساوي صفر زيّ ما إحنا شايفين كده. وبنلاقي إن أ يساوي ج.

يبقى إحنا لو عايزين نعرف إذا كانت معادلة دايرة ولّا لأ، أول حاجة بنشوف هل فعلًا المميّز أقل من الصفر. طب لو طلع أقل من الصفر، نروح نشوف الـ ب بصفر ولّا لأ. فبنلاقي عندنا الـ ب، اللي هي معامل س في ص، وبنشوف لو طلعت بصفر؛ نشوف الشرط اللي بعده. الشرط اللي بعده بيقول إن أ تساوي ج. أ عندنا هي معامل س تربيع، وَ ج هي معامل ص تربيع. يبقى لازم التلات شروط يتحقّقوا: المميّز أقل من الصفر، الـ ب بصفر، أ تساوي ج. عشان نقدر نقول إن المعادلة العامة دي بتمثّل دايرة.

خلّينا نشوف القِطْع اللي بعد كده. إزّاي نعرف إذا كانت المعادلة معادلة قِطْع ناقص، ولّا لأ؟ بنروح برضو نشوف المميّز، والمميّز برضو بيكون أقل من الصفر؛ يعني زيّه زيّ الدايرة. بس بنلاحظ هنا إن ب لا تساوي صفر، وَ أ لا تساوي ج. فلازم التلات شروط دول يتحقّقوا عشان نقول إن هي معادلة قِطْع ناقص.

طب لو جينا نشوف بعد كده القِطْع المكافئ، بنلاقي إن المميّز يساوي صفر؛ ما فيش غير شرط واحد. لو جينا نشوف القِطْع الزائد، فبنلاقي إن المميّز عندنا بيكون أكبر من الصفر.

خلّينا نشوف مثال، وبيكون عندنا معادلة عامة، وإزّاي نقدر من خلالها نحدّد نوع القِطْع. خلّينا نفتح صفحة جديدة مع بعض.

المثال بيقول: بدون كتابة الصورة القياسية للمعادلة التالية حدّد ما هو القِطْع الذي تمثّله المعادلة. ومدّينا المعادلة عبارة عن: ص تربيع، زائد أربعة س تربيع، ناقص تلاتة س ص، زائد أربعة س، ناقص خمسة ص، ناقص تمنية …

أول حاجة خلّينا نطلّع المميّز اللي هو عبارة عن: أ، وَ ب، وَ ج. أ عندنا هي معامل س تربيع، فبنلاقي إن معامل س تربيع بأربعة. بنلاقي إن الـ ب هي معامل س في ص، فَـ س ص المعامل بتاعه بسالب تلاتة؛ يبقى الـ ب بسالب تلاتة. لو جينا نشوف معامل ص تربيع، اللي هو ج، هنلاقي إن هو بواحد. دلوقتي إحنا عرفنا أ، وَ ب، وَ ج؛ خلّينا نكتب المميّز، والمعادلة بتاعته شكلها إيه.

لو جينا نشوف المميّز عبارة عن: ب تربيع ناقص أربعة أ ج. فبنعوّض عن الـ ب، اللي هي بسالب تلاتة، يبقى: سالب تلاتة تربيع، ناقص أربعة … أ بأربعة، وَ ج بواحد. وبكده يكون الناتج عندنا … سالب تلاتة تربيع يعني تسعة، ناقص … أربعة في أربعة عبارة عن ستاشر. يكون المميّز تسعة ناقص ستاشر، وهي عبارة عن: سالب سبعة.

بنلاقي إن السالب سبعة دي … بنلاقي عندنا إن سالب سبعة أقل من الصفر، وبنلاقي برضو إن ب لا تساوي صفر، وبنلاقي إن أ لا تساوي ج. والشروط دي هي فعلًا الشروط بتاعة القِطْع الناقص؛ إذن المعادلة اللي قدّامنا بتمثّل معادلة قِطْع ناقص، خلّينا نكتب كده. كتبنا: إذن المعادلة تمثّل معادلة قِطْع ناقص. حيث أن المميّز أقل من الصفر، وفي نفس الوقت الـ ب لا تساوي صفر، وَ أ لا تساوي ج.

خلّينا مع بعض نحلّ نفس المثال بس باستخدام معادلة تانية، وعايزين نحدّد نوع القِطْع اللي هي بتمثّله. خلّينا نفتح مع بعض صفحة جديدة، ونكتب المعادلة.

نفس المثال السابق بس عندنا معادلة جديدة عبارة عن: أربعة ص تربيع ناقص أربعة س زائد ستة ص ناقص أربعتاشر يساوي صفر. كل اللي إحنا محتاجينه عايزين عناصر المميّز تساوي كام؛ اللي هي: أ، وَ ب، وَ ج. خلّينا نطلّعها مع بعض كده.

فبنقول إن أ يساوي … أ هو عبارة عن معامل س تربيع، زيّ ما إحنا شايفين ما فيش س تربيع أصلًا، فيبقى المعامل بتاعها بصفر. خلّينا نشوف الـ ب. بعد كده بنقول إن الـ ب هي عبارة عن معامل س ص. فبنلاقي هنا إن ما فيش أصلًا حدّ اسمه س ص، فبنكتب إن الـ ب هي كمان بصفر. خلّينا نشوف الـ ج. الـ ج هي عبارة عن معامل ص تربيع، فبنلاقي إن ص تربيع المعامل بتاعها عبارة عن أربعة.

وبكده يبقى إحنا طلّعنا عناصر المميز، ممكن بعد كده نقول إن المميّز يساوي … المميّز عبارة عن: ب تربيع ناقص أربعة أ ج. فَـ ب بصفر؛ يبقى صفر تربيع، ناقص أربعة … أ بصفر، ج بأربعة. فبنلاقي صفر ناقص صفر؛ لأن أربعة في صفر في أربعة بصفر. وبكده بنلاقي إن المميّز يساوي صفر؛ يبقى المميّز يساوي صفر.

طبعًا عندنا لو كان المميّز يساوي صفر، فبنقول إن المعادلة تمثّل معادلة قِطْع مكافئ؛ خلّينا نكتب كده. إذن المعادلة تمثّل معادلة قِطْع مكافئ؛ لأن المميّز عندنا يساوي صفر. خلّينا نشوف مع بعض كمان معادلة. نفس المثال برضو؛ عندنا معادلة، وعاوزين نعرف إيه هو القِطْع اللي بتمثّله هذه المعادلة. خلّينا مع بعض في صفحة جديدة.

نفس المثال برضو. المعادلة اللي عندنا: تلاتة س تربيع، ناقص ستة س، زائد أربعة ص، ناقص خمسة ص تربيع، ناقص اتنين س ص، ناقص أربعة …

خلّينا نشوف مع بعض إيه هي المجاهيل بتاعة المميّز، فبنلاقي عندنا إن أ محتاجين نوجد القيمة بتاعته. أ هو عبارة عن معامل س تربيع، فبنلاقي هنا إن معامل س تربيع عبارة عن تلاتة. بنروح نشوف الـ ب، والـ ب هي عبارة عن معامل س ص، فبنلاقي إن هو عبارة عن سالب اتنين. لو رُحنا نشوف بعد كده ج، وَ ج هو عبارة عن معامل ص تربيع. فبنلاقي إن ص تربيع المعامل بتاعها عبارة عن سالب خمسة.

بكده ممكن نعرف قيمة المميّز، فبنكتب … المميّز عندنا: ب تربيع ناقص أربعة أ ج. ب بسالب اتنين لكل تربيع، ناقص أربعة … أ بتلاتة، ج بسالب خمسة، فبنكتب … سالب اتنين تربيع عبارة عن أربعة، ناقص أربعة في تلاتة في سالب خمسة.

زيّ ما إحنا شايفين سالب في سالب بموجب، أربعة في تلاتة في خمسة عبارة عن ستين. وبكده يكون المميّز يساوي … خلّينا نكتب كده: المميّز يساوي أربعة وستين. طبعًا أربعة وستين أكبر من الصفر، وقلنا لو كان المميّز أكبر من الصفر إذن المعادلة تمثّل قِطْع زائد؛ خلّينا نكتب كده. إذن بنكتب: المعادلة تمثّل معادلة قِطْع زائد؛ حيث أن المميّز أكبر من الصفر.

يبقى في الفيديو ده مع بعض قدِرنا نعرف إزّاي نقدر نحدّد المعادلة بتاعتنا، في الصورة العامة بتاعة القطاعات المخروطية، تمثّل أيّ قِطْع. باستخدام المميز، والشروط اللي معاه. يبقى دلوقتي إحنا ما بقيناش محتاجين نحوّل الصورة العامة للقطاعات المخروطية دي للصورة القياسية؛ عشان نقدر نحدّد نوع القِطْع اللي بتمثّله المعادلة. لأ ده إحنا من خلال المميّز ممكن نقدر نعرف المعادلة بتمثّل أيّ قِطْع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.