فيديو السؤال: تبسيط مقدار يتضمن أسسًا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مفكوك سالب واحد في ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠ الكل أس واحد على خمسة؛ حيث ﺃ ثابت حقيقي.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مفكوك مقدار. وعلمنا أن ﺃ هو ثابت حقيقي. للقيام بذلك، دعونا نبدأ بالتفكير فيما علينا فكه. لدينا هنا أسان خارج الأقواس بالأعلى. الأس الداخلي هو عدد صحيح. لذا يمكننا فك الأس خارج هذين القوسين بالأعلى باستخدام صيغة ذات الحدين. ولكن، إن فعلنا ذلك، فسنحصل على مقدار معقد للغاية. فبدلًا من ذلك، دعونا نحاول ونبسط ذلك باستخدام قوانين الأسس أولًا.

لتحديد قانون الأسس الذي علينا استخدامه أولًا، لنبدأ بتناول ترتيب العمليات الحسابية. وفقًا لترتيب العمليات الحسابية، نبدأ بالمقادير داخل القوسين الداخليين. هذا يعني أننا سنبدأ بجمع ﺃ تكعيب وواحد على ﺃ تربيع. بعد ذلك، سننتقل إلى حساب قيمة الأس. وسنضرب هذا في سالب واحد. وأخيرًا، سنوجد الجذر الخامس لهذا المقدار كله. وعليه، فإن العملية الأخيرة هي رفع كل ذلك إلى القوة خمس. وسنرفع كل ما بداخل الأقواس إلى هذه القوة. يمكننا أن نرى أن هذا عبارة عن حاصل ضرب.

لذا، سنبدأ بتوزيع الأس خمس هذا على القوسين. وسنفعل ذلك باستخدام أحد قوانين الأسس. وهو ﺏ في ﺟ الكل مرفوع للقوة ﻥ يساوي ﺏ أس ﻥ مضروبًا في ﺟ أس ﻥ. بتطبيق هذا، نحصل على سالب واحد أس واحد على خمسة مضروبًا في ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠ الكل أس واحد على خمسة.

والآن يمكننا حساب قيمة العامل الأول، أي سالب واحد أس واحد على خمسة. لعلنا نتذكر أن هذا يعني الجذر الخامس لسالب واحد. بعبارة أخرى، هو العدد السالب الذي نرفعه للقوة خمسة للحصول على سالب واحد، والذي نعرف أنه يساوي سالب واحد. إذن سيكون العامل الأول هو سالب واحد.

في العامل الثاني، نلاحظ أننا نرفع أساسًا إلى أس ثم نرفع ذلك كله إلى أس آخر. ويمكننا تذكر أنه يمكننا تبسيط ذلك باستخدام أحد قوانين الأسس. عند رفع ﺏ للقوة ﻥ ورفع كل ذلك إلى القوة ﻡ، فإننا نضرب الأسين. وعليه، نحصل على ﺏ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. بتطبيق هذا على ما لدينا، نحصل على أس جديد هو ١٠ مضروب في خمس، وهو ما يساوي اثنين بالطبع.

وبذلك، نكون قد بسطنا هذا المقدار ليصبح لدينا سالب واحد في ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع الكل تربيع. الآن، كل ما علينا فعله هو فك القوسين. يمكننا فعل ذلك باستخدام صيغة ذات الحدين أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. سنستخدم طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. سنبدأ بضرب الحدين الأولين من كل مقدار ذي حدين. هذا يعطينا ﺃ تكعيب في ﺃ تكعيب. ويمكننا تبسيط ذلك باستخدام أحد قوانين الأسس. وهو أنه عند ضرب مقدارين أسيين لهما الأساس نفسه، فإننا نجمع الأسين. بعبارة أخرى، ﺏ أس ﻥ مضروبًا في ﺏ أس ﻡ يساوي ﺏ أس ﻥ زائد ﻡ. إذن، ﺃ تكعيب في ﺃ تكعيب يساوي ﺃ أس ثلاثة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ﺃ أس ستة. إذن الحد الأول هو ﺃ أس ستة.

بعد ذلك، لنضرب الحدين الخارجيين معًا. وهما ﺃ تكعيب مضروبًا في واحد على ﺃ تربيع. وهناك طريقتان لحساب قيمة هذا المقدار. يمكننا طرح الأسين أو يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة واحد على ﺃ تربيع على الصورة ﺃ أس سالب اثنين. سيسمح لنا هذا بعد ذلك باستخدام القانون الآخر الذي استخدمناه للأسس. أي إنه علينا الآن جمع الأسين معًا. نحصل على ﺃ أس ثلاثة ناقص اثنين، وهو ما يساوي ﺃ أس واحد، أو ﺃ فقط. في كلتا الحالتين، فإننا نحصل على الحد التالي يساوي ﺃ.

تخبرنا الخطوة التالية في طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني بضرب الحدين الداخليين معًا. وهذا يعطينا واحدًا على ﺃ تربيع مضروبًا في ﺃ تكعيب. وهذا يماثل قيمة المقدار الأخير. فهو يساوي أيضًا ﺃ. إذن الحد الثالث هو ﺃ.

وأخيرًا، علينا ضرب الحدين الأخيرين معًا. وهذا يساوي واحدًا على ﺃ تربيع مضروبًا في واحد على ﺃ تربيع، وهو ما يمكننا تبسيطه باستخدام قانون الأسس نفسه. إنه يساوي واحدًا مقسومًا على ﺃ أس اثنين زائد اثنين، وهو ما يساوي ﺃ أس أربعة. إذن، الحد الأخير في هذا المفكوك هو واحد على ﺃ أس أربعة.

والآن، كل ما علينا فعله هو تبسيط هذا المقدار. أولًا، ﺃ زائد ﺃ يساوي اثنين ﺃ. بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو توزيع سالب واحد على ما بداخل القوسين. سنضرب الحدود الثلاثة في سالب واحد، وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن سالب واحد في ﺃ تكعيب زائد واحد على ﺃ تربيع أس ١٠ الكل أس واحد على خمسة يساوي سالب ﺃ أس ستة ناقص اثنين ﺃ ناقص واحد على ﺃ أس أربعة.