تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: معادلة المستوى: الصورة المتجهة والصورة القياسية والصورة العامة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد الصورة المتجهة والصورة القياسية (المعيارية أو التي على صورة مركبات) والصورة العامة (الكارتيزية أو العمودية) لمعادلة المستوى بمعلومية المتجه العمودي وإحدى النقاط الواقعة عليه.

٢١:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، نتحدث عن معادلة المستوى بصورها المتجهة والقياسية والعامة. نعرف أن هناك عدة طرق مختلفة لتمثيل مستوى، وهو عبارة عن سطح ثنائي الأبعاد. وفي هذا الدرس، سوف نتعرف على هذه الصور المختلفة، ونرى كيف يرتبط كل منها بالآخر.

دعونا نبدأ بالتفكير في هذا المستوى. على الرغم من أننا قد رسمنا أضلاعه الأربعة، لكننا نعلم أن هذا المستوى يمتد إلى ما لا نهاية في هذه الاتجاهات كسطح ثنائي الأبعاد. ولتعريف المستوى، يجب أن يكون لدينا إطار مرجعي. وسيمكننا هذا الإطار المرجعي من كتابة معادلة المستوى بمعلومية أمرين عنه. أولًا، نفترض أن لدينا المتجه ﻥ، وهو عمودي على المستوى. ثانيًا، نفترض أيضًا أننا نعرف إحدى النقاط التي تقع في المستوى. وسنسمي هذه النقطة ﻡ صفر. باستخدام هذين العنصرين، يمكننا استخدام المتجهات لتكوين معادلة هذا المستوى على الصورة المتجهة.

بما أن ﻡ صفر نقطة معلومة، فإننا نعرف الإحداثيات الثلاثة لهذه النقطة. وسنسميها ﺱ صفر وﺹ صفر وﻉ صفر. يعني هذا أنه إذا رسمنا متجهًا من نقطة أصل إطار الإحداثيات إلى ﻡ صفر، فإن هذا المتجه، الذي يمكن أن نسميه ﺭ صفر، سيتكون من المركبات ﺱ صفر وﺹ صفر وﻉ صفر. وبهذا يكون لدينا حتى الآن متجهان هما المتجه العمودي وﺭ صفر. لكننا نلاحظ عدم وجود علاقة مكانية محددة بينهما. على سبيل المثال، هذان المتجهان غير متوازيين أو متعامدين.

دعونا الآن نفترض أننا سنحدد نقطة عشوائية تقع في موضع آخر في المستوى. وسنسمي هذه النقطة ﻡ. وبما أن ﻡ نقطة عامة مجهولة، فسنعطيها الإحداثيات العامة ﺱ وﺹ وﻉ. يمكننا أيضًا رسم متجه من نقطة الأصل إلى هذه النقطة. وسنسمي هذا المتجه ﺭ، ويتكون من المركبات ﺱ وﺹ وﻉ. لاحظ ما يمكننا فعله الآن بالمتجهين ﺭ وﺭ صفر. إذا طرحنا هذين المتجهين، وبالتحديد إذا طرحنا المتجه ﺭ صفر من المتجه ﺭ، فسنحصل على متجه محصلة يبدو بهذا الشكل. والمهم هنا هو أن هذه المحصلة، ﺭ ناقص ﺭ صفر، تقع في المستوى. وذلك لأنها تكون خطًا مستقيمًا من إحدى النقاط الواقعة في المستوى إلى نقطة أخرى.

لعلنا نتذكر أن المتجه ﻥ عمودي على المستوى، وعليه، لا بد أن يكون ﻥ عموديًا أيضًا على المتجه ﺭ ناقص ﺭ صفر. ويمكننا التعبير عن هذا بالمعادلة التالية. المتجه ﻥ ضرب قياسي المتجه ﺭ ناقص ﺭ صفر يساوي صفرًا. وهذا لأن حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي صفرًا؛ فالمتجهان لا يتداخل أحدهما مع الآخر أبدًا.

بتكوين هذه المعادلة، نكون قد عرفنا هذا المستوى. لاحظ أن هناك صورة أخرى لهذه المعادلة وهي ﻥ ضرب قياسي ﺭ يساوي ﻥ ضرب قياسي ﺭ صفر. وبكتابتها على هذه الصورة، يصبح لدينا ما يسمى عادة بالصورة المتجهة لمعادلة المستوى. وبذلك نكون قد حققنا هدفنا. بمعلومية المتجه العمودي ﻥ والنقطة ﻡ صفر الواقعة في المستوى، تمكنا من تعريف المتجه المحدد ﺭ صفر بدلالة ﻡ صفر، وتعريف المتجه العام ﺭ بدلالة نقطة عامة في المستوى وهي ﻡ، كما جمعنا هذين المتجهين بحيث يصفان هذا المستوى بعينه.

حسنًا، أنجزنا المهمة. لكن دعونا نتذكر أنه بالإضافة إلى الصورة المتجهة للمستوى، نريد أيضًا إيجاد الصورتين القياسية والعامة. وسنتناول هاتين الصورتين على الترتيب. نبدأ في إيجاد الصورة القياسية بتحديد مركبات المتجهات الثلاثة في هذا التعبير، والتي نعرفها بالفعل. مركبات المتجه العمودي ﻥ هي ﺃ، ﺏ، ﺟ ومركبات المتجه ﺭ هي ﺱ، ﺹ، ﻉ ومركبات المتجه ﺭ صفر هي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر. سنجري عمليتي الضرب القياسي بضرب المركبات المتناظرة لكل متجه معًا ثم جمع حاصلي الضرب، لنجد أن ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ يساوي ﺃ في ﺱ صفر زائد ﺏ في ﺹ صفر زائد ﺟ في ﻉ صفر.

وبطرح الطرف الأيسر من كلا طرفي المعادلة ثم تجميع الحدود المتشابهة بدلالة ﺃ وﺏ وﺟ، فسنجد أن ﺃ في الكمية ﺱ ناقص ﺱ صفر زائد ﺏ في الكمية ﺹ ناقص ﺹ صفر زائد ﺟ في الكمية ﻉ ناقص ﻉ صفر يساوي صفرًا. وهذه الصورة هي ما يسمى بالصورة القياسية لمعادلة المستوى. لاحظ أنه للحصول على هذه الصورة من المعادلة، عوضنا عن المتجهات التي لدينا في الصورة المتجهة، ثم أعدنا ترتيب القيم حتى لم يتبق لنا سوى الكميات القياسية. وأحيانًا تسمى الصورة القياسية لمعادلة المستوى بالصورة المعيارية أو صورة المركبات.

وأخيرًا، دعونا نلقي نظرة على ما يسمى الصورة العامة لمعادلة المستوى. لإيجاد هذه الصورة، يمكننا العودة إلى هذه الخطوة، بعد أن أوجدنا حاصل الضرب القياسي لطرفي المعادلة. لنفترض أننا سنرمز للطرف الأيسر بالكامل من هذه المعادلة بالحرف ﺩ. إذا طرحنا ﺩ من كلا الطرفين، فيمكننا القول إن ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ ناقص ﺩ يساوي صفرًا. وبترتيب المعادلة بهذه الطريقة، يصبح لدينا ما يسمى الصورة العامة لمعادلة المستوى.

لدينا الآن الصورة المتجهة والصورة القياسية والصورة العامة لمعادلة المستوى الذي لدينا. ولاحظ أننا أوجدنا الصورة العامة والصورة القياسية من الصورة المتجهة. ويعني هذا أنه إذا فهمنا هذه العلاقة الرياضية، فسنتمكن من تكوين المعادلات الثلاث بسهولة. ونلاحظ أيضًا أن الحقيقة الأساسية التي تستند إليها الصورة المتجهة للمعادلة هي أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي صفرًا.

بعد أن عرفنا هذه المعلومات، دعونا نتدرب عليها من خلال بعض الأمثلة.

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي يكون المتجه ﻥ يساوي ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ متجهًا عموديًا عليه، والنقطة اثنان، ستة، ستة نقطة على المستوى.

حسنًا، لدينا في هذا المثال مستوى. سنفترض أنه بهذا الشكل. ويخبرنا السؤال أنه بالنسبة إلى مجموعة محددة من محاور الإحداثيات، يوجد متجه عمودي على المستوى. إذا عبرنا عن هذا المتجه على الصورة المتجهة، فسنجد أن مركباته هي واحد، واحد، واحد في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب. بالإضافة إلى ذلك، نعرف أيضًا أنه توجد نقطة في المستوى، سنسميها ﻡ صفر، وإحداثياتها هي اثنان، ستة، ستة. وبمعلومية كل ذلك، نريد إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى.

لكتابة معادلة المستوى على هذه الصورة علينا تعريف متجه يقع في المستوى، بحيث إذا أوجدنا حاصل الضرب القياسي لهذا المتجه والمتجه العمودي ﻥ، فإن الناتج سيكون صفرًا. إليك كيفية فعل ذلك. أولًا، هيا نرسم متجهًا من نقطة الأصل إلى النقطة ﻡ صفر. وسنسمي هذا المتجه ﺭ صفر. وبما أنه يبدأ من نقطة الأصل، إذن ستكون مركباته هي اثنان، ستة، ستة. بعد ذلك، دعونا نفعل الآتي. سنختار نقطة عشوائية في المستوى، لنسمها ﻡ، ونفترض أن إحداثيات هذه النقطة هي ﺱ، ﺹ، ﻉ.

لم نحدد قيم إحداثيات هذه النقطة فعليًا، إلا أن وجود هذه النقطة سيساعدنا على الحل؛ حيث أصبح بإمكاننا الآن رسم متجه من نقطة الأصل إلى النقطة ﻡ، سنسمي هذا المتجه ﺭ، ونلاحظ أن مركباته هي ﺱ، ﺹ، ﻉ. إذا طرحنا المتجه ﺭ صفر من المتجه ﺭ، وهو الغرض الأساسي من تعريف المتجه ﺭ في المقام الأول، فسنحصل على المتجه الموضح هنا والذي يقع في المستوى، وهو ما يعني أن هذا المتجه عمودي بالفعل على المتجه العمودي ﻥ. وهذا يعني أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻥ وﺭ ناقص ﺭ صفر يساوي صفرًا.

هناك صيغة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي ﻥ ضرب قياسي ﺭ يساوي ﻥ ضرب قياسي ﺭ صفر. ويمكننا الآن التعويض بالقيم التي نعرفها للمتجه العمودي ﻥ والمتجه ﺭ صفر. وسنفعل ذلك بالأسفل هنا، حيث نرى أن المتجه واحد، واحد، واحد ضرب قياسي المتجه ﺭ يساوي المتجه واحد، واحد، واحد ضرب قياسي المتجه اثنين، ستة، ستة. نلاحظ أن المتجه ﺭ يتكون من المركبات ﺱ، ﺹ، ﻉ. ولكن بما أننا لا نعرف قيم هذه المركبات، فسنترك الطرف الأيمن كما هو. أما في الطرف الأيسر، فيمكننا إيجاد حاصل الضرب القياسي هذا بضرب المركبات المتناظرة معًا، وهو ما يعطينا اثنين زائد ستة زائد ستة.

بما أن مجموع هذه الأعداد يساوي ١٤، يمكننا كتابة المعادلة على صورة مبسطة هكذا. إذن، هذه هي الصورة المتجهة لمعادلة المستوى الذي لدينا.

دعونا نلقي نظرة الآن على مثال آخر نعبر فيه عن معادلة المستوى بصورة مختلفة.

أوجد معادلة المستوى الذي يكون المتجه ١٠، ثمانية، ثلاثة عموديًا عليه، وتقع فيه النقطة ١٠، خمسة، خمسة عليه.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المستوى. ونعلم من المعطيات أن هناك متجهًا عموديًا على المستوى، ومركباته هي ١٠، ثمانية، ثلاثة. وبالإضافة إلى هذا، تقع في المستوى النقطة التي أسميناها ﻡ صفر، وإحداثياتها هي ١٠، خمسة، خمسة. ونريد إيجاد معادلة هذا المستوى. وسنوجد ما يسمى الصورة العامة لهذه المعادلة.

إذا كان لدينا متجه عمودي على المستوى ومركباته هي ﺃ وﺏ وﺟ، فإن الصورة العامة لمعادلة المستوى تعطى بهذه الصيغة، حيث ﺩ يساوي المتجه العمودي ضرب قياسي متجه يسمى ﺭ صفر. بالنسبة للمستوى الذي لدينا، لا يوجد متجه يسمى ﺭ صفر، لكن لدينا النقطة ﻡ صفر. وعليه، إذا رسمنا متجهًا من نقطة أصل إطار الإحداثيات إلى ﻡ صفر، فيمكننا أن نسمي هذا المتجه ﺭ صفر، وستكون مركباته هي نفسها إحداثيات النقطة ﻡ صفر.

بالرجوع إلى الصورة العامة لمعادلة المستوى، نجد أنه لكتابة هذا المقدار لمثال محدد، علينا معرفة مركبات المتجه العمودي ومركبات المتجه ﺭ صفر. وهو ما نعرفه بالفعل عن المستوى، فمركبات المتجه ﻥ هي ١٠، ثمانية، ثلاثة، ومركبات المتجه ﺭ صفر هي ١٠، خمسة، خمسة. هيا إذن نعوض في هذه الصيغة بالمعلومات التي لدينا. ‏‏١٠ﺱ زائد ثمانية ﺹ زائد ثلاثة ﻉ، حيث ١٠ وثمانية وثلاثة هي مركبات المتجه ﻥ، ناقص المتجه العمودي ﻥ ضرب قياسي المتجه ﺭ صفر إلى ﻡ صفر، الكل يساوي صفرًا.

لتبسيط هذا المقدار أكثر، دعونا نوجد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. سنضرب ١٠ في ١٠، وثمانية في خمسة، وثلاثة في خمسة، أي إن حاصل الضرب القياسي يساوي ١٠٠ زائد ٤٠ زائد ١٥. وبجمع هذه القيم معًا، نحصل على ١٥٥. إذن، هذا هو المقدار المعبر عن الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي لدينا.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر، نوجد فيه الصورة العامة لمعادلة المستوى.

أوجد الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي تقع فيه النقاط واحد، صفر، ثلاثة؛ وواحد، اثنان، سالب واحد؛ وستة، واحد، ستة.

نفترض أن هذا هو المستوى الذي لدينا، وهو معرف بالنسبة إلى محاور الإحداثيات هذه. ونعلم أن هناك ثلاث نقاط تقع في المستوى، نرمز إليها بـ ﻡ واحد، وﻡ اثنين، وﻡ ثلاثة. ونعرف إحداثيات هذه النقاط الثلاث. وباستخدام هذه المعطيات، نريد إيجاد معادلة المستوى على الصورة العامة.

لنوجد هذه الصورة من المعادلة، نحتاج إلى أمرين: أولًا، متجهًا عموديًا على المستوى سنسميه ﻥ، وثانيًا، نقطة تقع في المستوى. لدينا بالفعل ثلاث نقاط في المستوى. وبما أن الأمر الثاني يتحقق لدينا، هيا نرى كيف يمكننا إيجاد متجه عمودي على المستوى.

في البداية، لاحظ أنه يمكننا رسم ثلاثة متجهات من نقطة أصل إطار الإحداثيات إلى هذه النقاط الثلاث. ومثلما رمزنا للنقاط بـ ﻡ واحد وﻡ اثنين وﻡ ثلاثة، يمكننا تسمية هذه المتجهات ﺭ واحد وﺭ اثنين وﺭ ثلاثة، على الترتيب. نفترض بعد ذلك أننا نطرح المتجه ﺭ اثنين من المتجه ﺭ واحد. سينتج عن هذا متجه يقع في المستوى بهذا الشكل. وبما أن مركبات المتجه ﺭ واحد هي إحداثيات النقطة ﻡ واحد، ومركبات المتجه ﺭ اثنين هي إحداثيات النقطة ﻡ اثنين، يمكننا الآن حساب مركبات متجه المحصلة هذا.

نجد أن هذه المركبات هي صفر، سالب اثنين، أربعة. إذن، هذا هو أحد المتجهات التي تقع بالكامل في المستوى. يمكننا بعد ذلك تعريف متجه آخر ولكن باستخدام المتجهين ﺭ اثنين وﺭ ثلاثة هذه المرة. إذا طرحنا المتجه ﺭ ثلاثة من المتجه ﺭ اثنين في المستوى، فسنحصل على متجه يبدو بهذا الشكل. ومرة أخرى، يمكننا استخدام إحداثيات النقطتين اللتين تحولتا إلى مركبات متجهين لإيجاد مركبات هذا المتجه. واحد ناقص ستة يساوي سالب خمسة. واثنان ناقص واحد يساوي واحدًا. وسالب واحد ناقص ستة يساوي سالب سبعة. بذلك، أصبحت لدينا الآن مركبات المتجه الثاني الذي يقع أيضًا في المستوى.

بمعلومية هذه المركبات، يمكننا القول إن المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين سيكون عموديًا على كليهما. وبما أن هذين المتجهين يقعان في المستوى، فإن المحصلة ستكون عمودية عليه. بعبارة أخرى، سيكون لدينا المتجه العمودي ﻥ. وهذا أمر جيد؛ لأنه إذا كان لدينا متجه عمودي، فسيكون لدينا جميع المعطيات اللازمة لكتابة معادلة المستوى على الصورة العامة.

دعونا نتذكر أن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين ثلاثيي الأبعاد، ﺃ وﺏ، يساوي قيمة محدد هذه المصفوفة ثلاثة في ثلاثة. لاحظ أن الصف الأول من هذه المصفوفة هو متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، وأن الصفين التاليين هما المركبات المتناظرة للمتجهين ﺃ وﺏ. ينتج عن الضرب الاتجاهي لمتجهين متجه آخر. وكما ذكرنا من قبل، يكون متجه المحصلة هذا عموديًا على المتجهين المستخدمين لحساب المحصلة.

في هذه الحالة، المتجهان هما ﺭ واحد ناقص ﺭ اثنين وﺭ اثنان ناقص ﺭ ثلاثة. وحاصل الضرب الاتجاهي لهما يساوي محدد هذه المصفوفة التي ما زال علينا إكمال صفيها الثاني والثالث. تذكر أنه علينا إكمال هذين الصفين بمركبات المتجهين اللذين نوجد حاصل ضربهما الاتجاهي. إذا نظرنا إلى المتجه الأول وهو ﺭ واحد ناقص ﺭ اثنين، نجد أن المركبة ﺱ له تساوي صفرًا، والمركبة ﺹ تساوي سالب اثنين، والمركبة ﻉ تساوي أربعة.

إذا نظرنا بعد ذلك إلى المتجه الثاني لدينا، وهو ﺭ اثنان ناقص ﺭ ثلاثة، فإننا نجد أن المركبة ﺱ تساوي سالب خمسة، والمركبة ﺹ تساوي واحدًا، والمركبة ﻉ تساوي سالب سبعة. أصبحنا الآن مستعدين لنوجد حاصل الضرب الاتجاهي هذا. وسنبدأ بالمركبة ﺱ. إذا حذفنا الصف والعمود اللذين يحتويان على هذا العنصر، فسنجد أن المركبة ﺱ تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة اثنين في اثنين. سالب اثنين في سالب سبعة يساوي موجب ١٤. ثم نطرح من ذلك أربعة في واحد، أو أربعة. وبالانتقال إلى المركبة ﺹ، نجد أنها تساوي سالب في قيمة محدد هذه المصفوفة اثنين في اثنين، حيث صفر في سالب سبعة يساوي صفرًا. ثم نطرح من ذلك أربعة في سالب خمسة.

وأخيرًا، بالنسبة للمركبة ﻉ، فهي تساوي قيمة محدد هذه المصفوفة، أي تساوي صفرًا في واحد، أو صفرًا، ناقص سالب اثنين في سالب خمسة. وهو ما يساوي موجب ١٠. إذا جمعنا كل هذه المركبات معًا، فإن الناتج هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ واحد ناقص ﺭ اثنين وﺭ اثنين ناقص ﺭ ثلاثة. وهذا يساوي ١٠ﺱ ناقص ٢٠ﺹ ناقص ١٠ﻉ، أو ١٠، سالب ٢٠، سالب ١٠ على الصورة المتجهة. وأخيرًا، أصبح لدينا المتجه ﻥ العمودي على المستوى الذي لدينا. وكما ذكرنا من قبل، إنه عمودي لأن المتجهين اللذين أوجدنا حاصل الضرب الاتجاهي لهما يقعان في المستوى. ووفقًا لخاصية الضرب الاتجاهي، لا بد أن تكون محصلة المتجهين عمودية عليهما.

بعد أن عرفنا مركبات المتجه ﻥ، دعونا نفرغ بعض المساحة ونبدأ بكتابة معادلة المستوى على الصورة العامة. وقد ذكرنا من قبل أنه لنتمكن من ذلك، يجب أن يكون لدينا متجه عمودي، وقد أصبح لدينا الآن بالفعل، بالإضافة إلى نقطة تقع في المستوى. لدينا بالفعل ثلاث نقاط في المستوى. سنستخدم النقطة ﻡ واحد. لعلنا نتذكر أن الصورة المتجهة لمعادلة المستوى تعطى بهذه الصيغة. وتخبرنا أن المتجه عمودي على المستوى ضرب قياسي متجه آخر إلى نقطة عامة في المستوى يساوي هذا المتجه العمودي ضرب قياسي المتجه إلى نقطة معلومة.

عند تطبيق هذه العلاقة، سنستخدم المتجه العمودي ﻥ والمتجه ﺭ، الذي سنفترض أن مركباته هي ﺱ وﺹ وﻉ. بالنسبة إلى المتجه إلى إحدى النقاط المعلومة في المستوى، سنستخدم المتجه الذي عرفناه، وهو ﺭ واحد. وبالتعويض عن ﻥ وﺭ واحد، فإننا نحصل على هذا المقدار. والآن يمكننا الآن إجراء عمليتي الضرب القياسي. بضرب المركبات المتناظرة لهذه المتجهات معًا، نحصل في الطرف الأيمن على ١٠ﺱ ناقص ٢٠ﺹ ناقص ١٠ﻉ، بينما نحصل في الطرف الأيسر على ١٠ في واحد ناقص ٢٠ في صفر ناقص ١٠ في ثلاثة. وهو ما يساوي سالب ٢٠.

لقد اقتربنا من الحل. ولكن لإيجاد معادلة المستوى على الصورة العامة، يجب أن يكون الطرف الأيسر صفرًا. إذا أضفنا موجب ٢٠ إلى طرفي المعادلة، فسيصبح ١٠ﺱ ناقص ٢٠ﺹ ناقص ١٠ﻉ زائد ٢٠ يساوي صفرًا. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ١٠، سنحصل على هذا التعبير. ‏‏ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ﻉ زائد اثنين يساوي صفرًا. هذه هي الصورة العامة لمعادلة المستوى الذي لدينا.

هيا نختتم هذا الدرس بمراجعة بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، عرفنا أنه يمكن تعريف مستوى بعينه بمعلومية متجه عمودي على المستوى وإحدى النقاط الواقعة عليه. بمعلومية المتجه العمودي الذي مركباته هي ﺃ وﺏ وﺟ، والنقطة ﻡ صفر التي تقع في المستوى والتي إحداثياتها هي ﺱ صفر، ﺹ صفر، ﻉ صفر، يمكننا تعريف المتجه ﺭ صفر الذي يبدأ من عند نقطة أصل إطار الإحداثيات إلى النقطة ﻡ صفر. وإذا اخترنا نقطة أخرى عشوائيًا في المستوى وسميناها ﻡ، فيمكننا تعريف متجه آخر إلى هذه النقطة، ونسميه ﺭ. يقع المتجه ﺭ ناقص ﺭ صفر في المستوى، وهو عمودي على المتجه العمودي ﻥ، لذا يمكن كتابة معادلة المستوى على الصورة المتجهة بهذا الشكل، أو على الصورة القياسية بهذا الشكل، أو على الصورة العامة بهذا الشكل. وهذه هي الطرق الثلاث المكافئة لكتابة معادلة المستوى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.