فيديو الدرس: التكامل المحدد باعتباره نهاية مجموع ريمان الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول تعريف التكامل المحدد للدالة باعتباره نهاية لمجموع ريمان بطريقة واضحة. ومن خلال ذلك، سنحدد كيف يمكننا التعبير عن التكاملات المحددة باعتبارها نهايات لمجاميع ريمان، والعكس. وسنوجد كذلك قيمة التكامل المحدد من خلال أخذ نهاية مجموع ريمان المناظر المكتوب برمز المجموع.

تذكر أنه يمكننا تقدير المساحة بين المنحنى والمحور ﺱ المحصورة بين الخطين ﺱ يساوي ﺃ، وﺱ يساوي ﺏ؛ من خلال تقسيم المنطقة إلى ﻥ من المستطيلات، وإيجاد مساحة كل منها. يسمى ذلك بإيجاد مجموع ريمان. ويعرف باستخدام رمز المجموع بأنه المساحة التي تساوي تقريبًا مجموع ﺩﺱﺭ ستار في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. يساوي 𝛥ﺱ هنا ﺏ ناقص ﺃ على ﻥ. وفي هذا السياق، يعطينا ذلك عرض كل مستطيل من المستطيلات. وﺱﺭ ستار هو أي نقطة عينة في الفترة الجزئية من ﺱﺭ ناقص واحد إلى ﺱﺭ.

ومن ثم، كلما ازدادت قيمة ﻥ، أصبح عرض كل مستطيل أصغر. ينتج عن ذلك تقدير أكثر دقة للمساحة. في الواقع، كلما اقتربت قيمة ﻥ من ∞، أي كلما اقترب عدد المستطيلات من ∞، اقتربت نهاية هذا المجموع من المساحة الدقيقة للمنطقة.

يمكننا إذن القول إن المساحة المطلوبة تساوي النهاية حين يقترب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ ستار في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. وفي الواقع، لهذه النهاية أهمية بالغة؛ إذ إنها تتحقق في العديد من الحالات المتنوعة، حتى عندما لا تكون ﺩ دالة موجبة. لذلك نمنحها اسمًا خاصًّا ورمزًا.

ننتقل إلى تعريف التكامل المحدد. إذا كانت ﺩﺱ أكبر من أو يساوي ﺃ وأقل من أو يساوي ﺏ، فيمكننا تقسيم الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ إلى عدد ﻥ من الفترات الجزئية متساوية العرض. نجعل ﺱﺭ ستار نقاط العينة في كل فترة جزئية بحيث يقع ﺱﺭ ستار في الفترة المغلقة من ﺱﺭ ناقص واحد إلى ﺱﺭ. بذلك نقول إن التكامل المحدد لـ ﺩ بالنسبة إلى ﺱ من ﺃ إلى ﺏ يساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ ستار في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. هذا شريطة أن تكون هذه النهاية موجودة وتعطينا القيمة نفسها لجميع نقاط العينة. وإذا كانت هذه النهاية موجودة بالفعل، فإننا نقول إن ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ.

رمز التكامل هذا اقترحه ليبنتز. وهو يشبه حرف ‪𝑆‬‏ معكوس ممدود. لاحظ أن ليس كل الدوال قابلة للتكامل، وإن كانت معظم الدوال الأكثر شيوعًا تتسم بذلك. في الواقع، إذا كانت الدالة ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ أو إذا كان لها عدد محدود فقط من نقاط عدم الاتصال القفزي، تكون الدالة ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. بعبارة أخرى، التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﺱ، بالنسبة إلى ﺱ، موجود.

إذا كانت ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فلا بد أن تكون هذه النهاية موجودة. ولا بد أن تعطينا الناتج نفسه، بغض النظر عن القيمة أو نقطة العينة ﺱﺭ ستار التي نختارها. يمكننا إذن تبسيط العملية الحسابية عن طريق اختيار قيم ﻥ الصحيحة. يمكننا القول إنه إذا كانت ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. و𝛥ﺱ هنا يساوي ﺏ ناقص ﺃ على ﻥ، وﺱﺭ يساوي ﺃ زائد ﺭ في 𝛥ﺱ.

هذا التعريف سنستخدمه على مدار الجزء المتبقي من هذا الفيديو. أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لنتمكن من التعبير عن التكاملات المحددة في صورة نهايات لمجاميع ريمان، والعكس.

عبر عن التكامل المحدد بين ثلاثة وتسعة لثلاثة ﺱ أس ستة بالنسبة إلى ﺱ في صورة نهاية مجاميع ريمان.

تذكر أنه إذا كانت ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يمكن التعبير عنه في صورة نهاية مجاميع ريمان كما هو موضح. فلنقارن كل ما تنص عليه النظرية بالتكامل المعطى في هذه المسألة. الدالة هنا كثيرة الحدود. ونحن نعلم أن جميع الدوال كثيرات الحدود متصلة على مجالها، ما يعني أنها قابلة للتكامل على مجالها. بالتالي، فإن الدالة ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس ستة متصلة؛ ومن ثم قابلة للتكامل على الفترة المغلقة المعرفة بالحد السفلي ثلاثة والحد العلوي تسعة.

سنجعل ﺃ يساوي ثلاثة وﺏ يساوي تسعة. ننتقل الآن إلى تعريف 𝛥ﺱ. وهو ﺏ ناقص ﺃ على ﻥ. وقد قلنا إن ﺏ يساوي تسعة وﺃ يساوي ثلاثة. ونقسم ذلك على ﻥ. فيعطينا 𝛥ﺱ يساوي ستة على ﻥ. يمكننا الآن تعريف ﺱﺭ. إنه يساوي ﺃ زائد ﺭ في 𝛥ﺱ. ‏ﺃ يساوي ثلاثة. ونريد قيمة ﺭ في 𝛥ﺱ، التي توصلنا إلى أنها تساوي ستة على ﻥ. لنكتب ذلك على الصورة ثلاثة زائد ستة ﺭ على ﻥ.

بالنسبة للنهاية، علينا إيجاد قيمة ﺩﺱﺭ. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمة ذلك بالتعويض بمقدار ﺱﺭ في الدالة. وهو ما يعطينا ثلاثة في ثلاثة زائد ستة ﺭ على ﻥ أس ستة. يمكننا الآن التعويض بكل ما نعرفه في تعريف التكامل. عند فعل ذلك، نلاحظ أن التكامل المحدد بين ستة وتسعة لثلاثة ﺱ أس ستة بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ثلاثة في ثلاثة زائد ستة ﺭ على ﻥ أس ستة في ستة على ﻥ لقيم ﺭ بين واحد وﻥ.

وبما أن الضرب عملية إبدالية، فإننا يمكننا إعادة كتابة ثلاثة في ستة على ﻥ بالصورة ١٨ على ﻥ. ولدينا التكامل المحدد معبرًا عنه في صورة نهاية مجاميع ريمان. وهي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ١٨ على ﻥ في ثلاثة زائد ستة ﺭ على ﻥ أس ستة لقيم ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ.

لنلق الآن نظرة على مثال أكثر تعقيدًا.

بدون حساب قيمة النهاية، عبر عن التكامل المحدد بين سالب خمسة واثنين للجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ في صورة نهاية مجاميع ريمان.

تذكر أنه إذا كانت ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. نحسب قيمة 𝛥ﺱ بطرح ﺃ من ﺏ ثم القسمة على ﻥ. وﺱﺭ يساوي ﺃ زائد ﺭ في 𝛥ﺱ.

في هذه المسألة، يمكننا القول إن ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة ﺱ تربيع. والحد السفلي للتكامل هو سالب خمسة. إذن، نجعل ﺃ يساوي سالب خمسة، والحد العلوي يساوي اثنين. لذا، نجعل ﺏ يساوي اثنين. من المنطقي دائمًا أن نوجد بعد ذلك قيمة 𝛥ﺱ. وهي هنا تساوي ﺏ ناقص ﺃ. وذلك يساوي اثنين ناقص سالب خمسة الكل على ﻥ. هذا يعطينا 𝛥ﺱ يساوي سبعة على ﻥ. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺱﺭ. وهي تساوي ﺃ، الذي يساوي سالب خمسة، زائد ﺭ في 𝛥ﺱ، الذي أوجدنا قيمته للتو وهي سبعة على ﻥ. نبسط ذلك إلى سالب خمسة زائد سبعة ﺭ على ﻥ.

بعد ذلك، نوجد قيمة ﺩﺱﺭ. يمكننا إيجاد ذلك بالتعويض بـ ﺱﺭ في التعبير الدال على ﺩﺱ. وهو يساوي الجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة في سالب خمسة زائد سبعة ﺭ على ﻥ تربيع. أصبح لدينا الآن كل ما نحتاج إليه للتعبير عن النهاية. نعوض عن 𝛥ﺱ بسبعة على ﻥ وعن ﺩﺱﺭ بالجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة في سالب خمسة زائد سبعة ﺭ على ﻥ الكل تربيع.

وبذلك، نحصل على التكامل في صورة نهاية لمجاميع ريمان، وهي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع سبعة على ﻥ في الجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة في سالب خمسة زائد سبعة ﺭ على ﻥ تربيع لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. هذا المثال مثير للاهتمام لأن هذه المعادلة غير قابلة للتكامل على الفترة المعطاة. تذكر أنه لتكون الدالة ﺩ قابلة للتكامل، يجب أن تكون متصلة على الفترة من ﺃ إلى ﺏ. والتمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لسبعة ناقص أربعة ﺱ تربيع يبدو هكذا تقريبًا. ومن الواضح هنا أن الدالة ليست متصلة على الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى اثنين. لذلك، لن نتمكن من إيجاد قيمة هذه النهاية.

من المهم أن ندرك أنه بإمكاننا تنفيذ الخطوات والحصول على مجموع ريمان. لكن علينا التأكد من أن الدالة قابلة للتكامل على تلك المنطقة. وعلى الرغم من أن لدينا مقدارًا ناتجًا في هذه الحالة، فهو ليس حلًّا صحيحًا للمسألة. لكن إذا كان معطى لدينا في المسألة، على سبيل المثال، النهايتان سالب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين وموجب الجذر التربيعي لسبعة على اثنين، فسيكون الناتج صحيحًا. دعونا الآن نر كيف يمكننا إجراء العملية العكسية والتعبير عن نهاية في صورة تكامل.

عبر عن النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ﻫ أس ﺱﺭ على اثنين ناقص أربعة ﺱﺭ في 𝛥ﺱﺭ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ في صورة تكامل محدد على الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى سالب ثلاثة.

تذكر أنه إذا كانت ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺏ وﺃ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. يتضح لنا الآن أن الفترة التي لدينا هي من سالب خمسة إلى سالب ثلاثة متضمنة العددين. نبدأ بجعل ﺃ يساوي سالب خمسة وﺏ يساوي سالب ثلاثة.

لنقارن الآن النهاية بالصورة العامة. يمكننا ملاحظة أن ﺩﺱﺭ تساوي ﻫ أس ﺱﺭ على اثنين ناقص أربعة ﺱﺭ. هذا رائع لأنه يعني أن ﺩﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ على اثنين ناقص أربعة ﺱ. وهذا يعني أنه يمكن التعبير عن نهاية مجاميع ريمان في صورة تكامل محدد. وهو التكامل المحدد بين سالب خمسة وسالب ثلاثة لـ ﻫ أس ﺱ على اثنين ناقص أربعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد قيمة التكامل عن طريق إيجاد نهاية مجاميع ريمان.

احسب التكامل المحدد بين سالب أربعة واثنين لسالب ﺱ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﺱ باستخدام نهاية مجاميع ريمان.

تذكر أنه إذا كانت ﺩ دالة قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يعرف على أنه النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. و𝛥ﺱ يساوي ﺏ ناقص ﺃ على ﻥ، وﺱﺭ يساوي ﺃ زائد ﺭ في 𝛥ﺱ.

فلنبدأ بمقارنة هذا التعريف بالتكامل المعطى في المسألة. نلاحظ أن ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص أربعة. وهذه دالة كثيرة الحدود. نعلم أن الدوال كثيرات الحدود متصلة على مجالها. إذن، الدالة سالب ﺱ ناقص أربعة متصلة، وبالتالي قابلة للتكامل، على الفترة المغلقة المعرفة بالحد السفلي سالب أربعة والحد العلوي اثنين.

وبالتالي، نجعل ﺃ يساوي سالب أربعة وﺏ يساوي اثنين. ننظر بعد ذلك إلى تعريف 𝛥ﺱ. وهو ﺏ ناقص ﺃ. هذا يساوي اثنين ناقص سالب أربعة على ﻥ. هذا يعطينا ستة على ﻥ. نعرف بعد ذلك ﺱﺭ. وهو يساوي ﺃ، الذي يساوي سالب أربعة، زائد ﺭ في 𝛥ﺱ، الذي وجدنا قيمته وهي ستة على ﻥ. هذا يعطينا ﺱﺭ يساوي سالب أربعة زائد ستة ﺭ على ﻥ.

وبذلك يمكننا إيجاد ﺩﺱﺭ بالتعويض بهذا المقدار في الدالة. فنحصل على سالب سالب أربعة زائد ستة ﺭ على ﻥ ناقص أربعة. وعند فك الأقواس، نجد أن ﺩﺱﺭ تساوي أربعة ناقص ستة ﺭ على ﻥ ناقص أربعة. وبالطبع، أربعة ناقص أربعة يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن ﺩﺱﺭ تساوي سالب ستة ﺭ على ﻥ.

يمكننا الآن التعويض بكل ما نعرفه في تعريف التكامل. يخبرنا ذلك أن التكامل المحدد بين سالب أربعة واثنين لسالب ﺱ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع سالب ستة ﺭ على ﻥ في ستة على ﻥ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. وسالب ستة ﺭ على ﻥ في ستة على ﻥ يساوي سالب ٣٦ﺭ على ﻥ تربيع. هذا هو المجموع.

هذا العامل، سالب ٣٦ على ﻥ تربيع، لا يعتمد على ﺭ. وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة هذه النهاية في صورة النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لسالب ٣٦ على ﻥ تربيع في مجموع ﺭ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. ورغم أن إثبات ذلك خارج عن نطاق هذا الفيديو، فإننا يمكننا ذكر النتيجة العامة. مجموع ﺭ من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ زائد واحد على اثنين. يعني ذلك أنه يمكننا استبدال هذا المجموع بالكامل بالمقدار ﻥ في ﻥ زائد واحد على اثنين.

ومن ثم، يمكن إيجاد قيمة التكامل المحدد من خلال إيجاد قيمة النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لسالب ٣٦ على ﻥ تربيع في ﻥ في ﻥ زائد واحد على اثنين. ويمكنك أن تلاحظ هنا أنه يمكننا قسمة كل من ٣٦ واثنين على اثنين. يمكننا أيضًا حذف ﻥ واحدة. وبذلك تبسط هذه النهاية إلى النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لسالب ١٨ في ﻥ زائد واحد على ﻥ.

لنفك الأقواس. عند فعل ذلك، نجد أنه يمكن كتابة ذلك بالصورة سالب ١٨ﻥ على ﻥ ناقص ١٨ على ﻥ. وبالطبع، سالب ١٨ﻥ على ﻥ يساوي سالب ١٨. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. عند اقتراب ﻥ من ∞، يقترب سالب ١٨ على ﻥ من الصفر. ومن ثم، فإن النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لسالب ١٨ ناقص ١٨ على ﻥ تساوي سالب ١٨. يمكننا القول إن التكامل المحدد بين سالب أربعة واثنين لسالب ﺱ ناقص أربعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ١٨.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا كتابة التكامل المحدد في صورة نهاية لمجاميع ريمان. وقلنا إنه إذا كانت الدالة ﺩ قابلة للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي النهاية عند اقتراب ﻥ من ∞ لمجموع ﺩﺱﺭ في 𝛥ﺱ لقيم ﺭ من واحد إلى ﻥ. و𝛥ﺱ هنا يساوي ﺏ ناقص ﺃ على ﻥ. وﺱﺭ يساوي ﺃ زائد ﺭ في 𝛥ﺱ.

وعرفنا أنه يمكننا استخدام هذا التعريف لكتابة تكامل في صورة نهاية مجموع، والعكس. وببعض المهارة، يمكننا أيضًا إيجاد قيمة النهايات لمساعدتنا في حساب التكامل.