فيديو: تحديد المحال الهندسية في المستوى المركب باستخدام السعة

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية رسم المحال الهندسية وتفسيرها في المستوى المركب بالتعبير عنها بدلالة السعة.

١٦:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية رسم المحال الهندسية وتفسيرها في المستوى المركب بالتعبير عنها بدلالة السعة. مثلما يمكننا استخدام المقياس لتحديد المحال الهندسية في المستوى المركب من خلال النظر إلى هندسة هذا المستوى، يمكننا أيضًا استخدام سعات العدد المركب لتفسير المحال الهندسية للنقاط التي تستوفي معايير معينة. سنتناول في هذا الفيديو المحال الهندسية لأنصاف المستويات والأقواس الكبرى وأنصاف الدوائر والأقواس الصغرى والمعادلات الكارتيزية التي تناظر هذه المحال.

تذكر أنه بالنسبة لأي عدد مركب ممثل على مخطط أرجاند ويتصل بنقطة الأصل من خلال قطعة مستقيمة أو نصف خط مستقيم، تكون السعة هي الزاوية التي تكونها هذه القطعة المستقيمة مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة. وتقاس دائمًا عكس اتجاه عقارب الساعة. لحساب السعة، نفكر أولًا في الربع الذي ستقع فيه النقطة التي تمثل العدد المركب. فيما يتعلق بأي عدد مركب على الصورة ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏𝑖‬‏، تكون سعته هي الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑏‬‏ مقسومًا على ‪𝑎‬‏، وهذا للأعداد المركبة الممثلة في الربعين الأول والرابع. أما فيما يخص الأعداد المركبة الممثلة في الربع الثاني، فتكون السعة هي الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑏‬‏ مقسومًا على ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝜋‬‏. وإذا كان العدد المركب ممثلًا في الربع الثالث، فستكون سعته هي الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑏‬‏ مقسومًا على ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝜋‬‏.

بدلًا من السؤال عن سعة عدد مركب، يمكن أن يكون سؤالنا هو: ما المحل الهندسي لنقطة ذات سعة ثابتة، مثل سعة ‪𝑧‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان؟ يمثل ذلك مجموعة الأعداد المركبة التي تقع على الشعاع أو نصف الخط المستقيم الذي يكون زاوية قياسها ‪𝜋‬‏ على ثلاثة مع المحور ‪𝑥‬‏ عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالتالي، فإن المحل الهندسي لـ ‪𝑧‬‏ هو نصف الخط المستقيم الواضح أمامنا. لكن تذكر أن السعة تكون غير معرفة عند ‪𝑧‬‏ يساوي صفرًا. وبالتالي، لا يمكن أن يتضمن المحل الهندسي نقطة الأصل.

يمكننا تعميم ذلك على أي نصف خط مستقيم في المستوى المركب من خلال التحويل بطرح عدد مركب ثابت، ‪𝑧‬‏ واحد. ويمكننا القول إن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، حيث سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد تساوي ‪𝜃‬‏، هو نصف خط مستقيم يمتد من النقطة الموجودة عند ‪𝑧‬‏ واحد، لكنه لا يتضمنها. يكون نصف الخط المستقيم هذا زاوية ‪𝜃‬‏ مع نصف الخط المستقيم الأفقي الذي يمتد من ‪𝑧‬‏ واحد في الاتجاه الموجب لمحور ‪𝑥‬‏. وتقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. دعونا نلق نظرة على مثال لذلك.

ارسم المحل الهندسي لـ ‪𝑧‬‏ عندما تكون سعة ‪𝑧‬‏ زائد اثنين زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة.

تذكر أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ عندما تكون سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد تساوي ‪𝜃‬‏ هو نصف خط مستقيم يمتد من النقطة ‪𝑧‬‏ واحد، لكنه لا يتضمنها. نصف الخط المستقيم هذا يكون زاوية ‪𝜃‬‏ مع نصف الخط المستقيم الأفقي في الاتجاه الموجب لمحور ‪𝑥‬‏. ويقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. نبدأ بكتابة سعة ‪𝑧‬‏ زائد اثنين زائد ‪𝑖‬‏ في صورة سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد لنضمن أنه يمكننا تحديد قيمة ‪𝑧‬‏ واحد بشكل صحيح. نأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا، فنحصل على سعة ‪𝑧‬‏ ناقص سالب اثنين ناقص ‪𝑖‬‏. يعني ذلك أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتكون سعة ‪𝑧‬‏ ناقص سالب اثنين ناقص ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة.

يمكننا الآن ملاحظة أن ‪𝑧‬‏ واحد يساوي سالب اثنين ناقص ‪𝑖‬‏. ويمثل ذلك نقطة نهاية الشعاع أو نصف الخط المستقيم. علينا تذكر أن نصف الخط المستقيم لا يتضمن هذه النقطة. في مخطط أرجاند، يمكن تمثيل ‪𝑧‬‏ واحد بالنقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين سالب اثنين وسالب واحد، كما هو موضح. أضفنا هذه الدائرة المفرغة لتوضيح أننا لا نريد تضمين هذه النقطة في المحل الهندسي.

بعد ذلك، نستخدم السعة. سعة ‪𝑧‬‏ زائد اثنين زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة راديان. يعني ذلك أن المحل الهندسي لـ ‪𝑧‬‏ هو مجموعة النقاط التي تكون زاوية قياسها ‪𝜋‬‏ على أربعة راديان عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الأفقي. و‪𝜋‬‏ على أربعة راديان يساوي ‪45‬‏ درجة. فنضيف خطًا مستقيمًا عند هذه الزاوية، كما هو موضح. ويعني ذلك أن المحل الهندسي لـ ‪𝑧‬‏ عندما تكون سعة ‪𝑧‬‏ زائد اثنين زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة يكون بهذا الشكل. يمكننا أيضًا عكس هذه العملية لتكوين المعادلة بمعلومية التمثيل الهندسي لمحل ‪𝑧‬‏ الهندسي.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية التعبير عن المحل الهندسي في صورة معادلة كارتيزية.

أوجد المعادلة الكارتيزية لمحل ‪𝑤‬‏ الهندسي، حيث سعة ‪𝑤‬‏ زائد ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة.

تذكر أن المحل الهندسي بهذه الصورة هو نصف خط مستقيم. نريد إيجاد المعادلة الكارتيزية لنصف الخط المستقيم هذا. إذن، من المنطقي أن نبدأ بإيجاد ميل هذا الخط المستقيم. يمكننا إيجاد ميل هذا الخط المستقيم بالنظر إلى السعة التي تساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان. صيغة معادلة الميل هي التغير الرأسي على التغير الأفقي. وهو ما يماثل طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وبالطبع، يساوي ذلك دالة الظل. يمكننا القول إذن إن ميل الخط المستقيم يساوي ‪tan‬‏ لـ ‪𝜋‬‏ على ثلاثة، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لثلاثة.

مهمتنا التالية هي إيجاد النقطة التي يجب أن يمر بها هذا الخط المستقيم. نستخدم تعريف المحل الهندسي لإعادة كتابة المعادلة. نأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا. يمكننا ملاحظة أن ذلك يساوي سعة ‪𝑤‬‏ ناقص سالب ثلاثة ناقص ‪𝑖‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. ويمكننا كذلك ملاحظة أن الخط المستقيم يبدأ عند النقطة التي تمثل العدد المركب سالب ثلاثة ناقص ‪𝑖‬‏. وهي النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين سالب ثلاثة وسالب واحد. نعوض بهاتين القيمتين في صيغة معادلة الخط المستقيم، ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ واحد.

عند التعويض، نجد أن ‪𝑦‬‏ ناقص سالب واحد يساوي جذر ثلاثة في ‪𝑥‬‏ ناقص سالب ثلاثة. نفك الأقواس ونبسط قدر الإمكان. فنرى أن المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم هي ‪𝑦‬‏ يساوي جذر ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة جذر ثلاثة ناقص واحد. لكن تذكر أن ذلك نصف خط مستقيم. ولا يتضمن النقطة عند سالب ثلاثة، سالب واحد. وبالتالي، علينا وضع قيد على ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏. يمكننا القول إن ‪𝑥‬‏ يجب أن يكون أكبر من سالب ثلاثة. بذلك نكون قد أوجدنا المعادلة الكارتيزية لمحل ‪𝑤‬‏ الهندسي، حيث سعة ‪𝑤‬‏ زائد ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على ثلاثة.

المحل الهندسي التالي الذي يعنينا هو المحل الهندسي للدائرة. يمكننا القول إن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، حيث سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد على ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين يساوي ‪𝜃‬‏، هو قوس الدائرة الذي يقابل الزاوية ‪𝜃‬‏ بين النقطتين الممثلتين بـ ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين، كما هو موضح في المخطط. إذا كان قياس ‪𝜃‬‏ أصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان، يكون المحل الهندسي قوسًا أكبر. وإذا كان قياس ‪𝜃‬‏ يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان، يكون المحل الهندسي نصف دائرة. وإذا كان قياس ‪𝜃‬‏ أكبر من ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان، يكون المحل الهندسي قوسًا أصغر. تذكر أن نقاط الأطراف ليست جزءًا من المحل الهندسي. لذا، نستخدم دوائر مفرغة لتمثيل هذه النقاط، كما هو موضح. لنلق نظرة على مثال يستخدم هذه الفكرة.

يوضح الشكل محلًا هندسيًا للنقطة ‪𝑧‬‏ في المستوى المركب. اكتب معادلة للمحل الهندسي على الصورة: سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ على ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑏‬‏ تساوي ‪𝜃‬‏؛ حيث إن كلًا من ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ وهما عددان مركبان و‪𝜃‬‏ وهي أكبر من صفر وأصغر من أو تساوي ‪𝜋‬‏، ثوابت مطلوب إيجاد قيمتها.

تذكر أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ على هذه الصورة هو قوس دائرة يقابل زاوية ‪𝜃‬‏ بين النقطتين الممثلتين بـ ‪𝑧‬‏ واحد و‪𝑧‬‏ اثنين. ولدينا ثلاثة شروط لـ ‪𝜃‬‏. إذا كان قياسها أصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي قوسًا أكبر. وإذا كان قياسها يساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي نصف دائرة. وإذا كان قياسها أكبر من ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي قوسًا أصغر. تذكر أن نقاط الأطراف ليست جزءًا من هذا المحل الهندسي. بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن محل ‪𝑧‬‏ الهندسي هو القوس الأكبر لدائرة. وهذا منطقي لأن ‪𝜃‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على خمسة راديان.

تقع نقطتا طرف المحل الهندسي عند ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ اللتين لهما الإحداثيات الكارتيزية أربعة، سالب ثلاثة، وسالب ثلاثة، واحد، على الترتيب. تمثل هاتان النقطتان العددين المركبين أربعة ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ وسالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏. تذكر أننا نقيس هذا المحل الهندسي عكس اتجاه عقارب الساعة. بما أن نقطة البداية هي النقطة الممثلة بالعدد المركب أربعة ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏، يمكننا القول إن معادلة المحل الهندسي هي سعة ‪𝑧‬‏ ناقص أربعة ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑧‬‏ ناقص سالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على خمسة. مطلوب منا إيجاد قيمة الثوابت ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ و‪𝜃‬‏. قيمة ‪𝑎‬‏ هي أربعة ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏، وقيمة ‪𝑏‬‏ هي سالب ثلاثة زائد ‪𝑖‬‏، وقيمة ‪𝜃‬‏ هي ‪𝜋‬‏ على خمسة.

في المثال التالي، نتمرن على رسم محل هندسي على هذه الصورة.

تحقق النقطة ‪𝑧‬‏ المعادلة: سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ستة على ‪𝑧‬‏ ناقص ستة ‪𝑖‬‏ تساوي ‪𝜋‬‏ على أربعة. مثل محل ‪𝑧‬‏ الهندسي على مخطط أرجاند.

محل ‪𝑧‬‏ الهندسي هو قوس دائرة يقابل زاوية قياسها ‪𝜋‬‏ على أربعة راديان بين النقطتين الممثلتين بستة وستة ‪𝑖‬‏. تذكر أن هذا المحل يتحدد عكس اتجاه عقارب الساعة من ستة إلى ستة ‪𝑖‬‏. لكنه لا يتضمن هاتين النقطتين أنفسهما. هاتان النقطتان ممثلتان على مستوى أرجاند بالإحداثيات الكارتيزية ستة، صفر؛ وصفر، ستة، على الترتيب. وبما أن ‪𝜋‬‏ على أربعة أصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين، نعلم أن ما لدينا هو قوس أكبر. نبدأ بإضافة النقطتين ستة، صفر؛ وصفر، ستة على مخطط أرجاند.

ثم تواجهنا مشكلة. كيف نعرف موضع القوس الأكبر؟ بالتأكيد هو القوس الأكبر لدائرة. لكن دون معرفة مركز الدائرة، لا يمكننا استخدام هذه المعلومة لمعرفة موضع القوس. فقد يكون أي من هذين القوسين الموضحين. نتذكر هنا حقيقة أن المحل الهندسي يرسم عكس اتجاه عقارب الساعة. ونريد أن يكون القوس الذي يبدأ عند النقطة ستة، صفر وينتهي عند النقطة صفر، ستة قوسًا أكبر عند رسمه في هذا الاتجاه.

يعني ذلك أن علينا اختيار هذا القوس الموجود على اليمين. وبذلك، يكون المحل الهندسي كما هو موضح. ليس من الضروري، في الواقع، إضافة الوترين الموضحين. لكن بفعل ذلك، يمكننا ملاحظة أننا سنحصل على زاوية قياسها أصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين راديان. يمكن أيضًا إيجاد المعادلة الكارتيزية للمحال الهندسية بهذه الصورة. ويمكنك في بعض الأحيان اتباع نهج هندسي. لكن بصفة عامة، النهج الجبري هو النهج المنطقي.

في المثال الأخير، سنتناول أحد هذه النهج الجبرية.

يحقق محل ‪𝑧‬‏ الهندسي المعادلة: سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑧‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏ يساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. مثل هذا المحل الهندسي على مخطط أرجاند، وأوجد معادلته الكارتيزية.

تذكر أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏، حيث سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑧‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏ تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة، هو قوس دائرة يقابل زاوية قياسها اثنان ‪𝜋‬‏ على ثلاثة راديان بين النقطتين الممثلتين بثلاثة ‪𝑖‬‏ وخمسة ‪𝑖‬‏. يبدأ القوس هذه المرة من النقطة ثلاثة ‪𝑖‬‏ ويتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة. اثنان ‪𝜋‬‏ على ثلاثة أكبر من ‪𝜋‬‏ على اثنين. وبذلك نعلم أن ذلك يشكل قوسًا أصغر. وكالمعتاد، نقاط الأطراف ليست جزءًا من المحل الهندسي. النقطتان الممثلتان بثلاثة ‪𝑖‬‏ وخمسة ‪𝑖‬‏ لهما الإحداثيات الكارتيزية صفر، ثلاثة؛ وصفر، خمسة على الترتيب.

عندما نمثل هاتين النقطتين على مخطط أرجاند، كيف يمكننا تحديد موضع القوس الأصغر؟ مرة أخرى، لا نعلم مركز الدائرة. وبالتالي، لا يمكننا استخدام هذه المعلومة لمعرفة موضع القوس. لكننا نعلم أن المحل الهندسي يرسم عكس اتجاه عقارب الساعة. ونريد أن يكون القوس الذي يبدأ من صفر، ثلاثة حتى صفر، خمسة قوسًا أصغر عند رسمه عكس اتجاه عقارب الساعة. يعني ذلك أننا نتحرك بامتداد هذا القوس كما هو موضح.

علينا بعد ذلك إيجاد المعادلة الكارتيزية لهذا المحل الهندسي. في بعض الحالات، يمكننا إيجاد هذه المعادلة من خلال إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها. لكن ذلك ليس بهذه السهولة هنا. علينا التعويض إذن بالصيغة ‪𝑧‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ في المعادلة. عند فعل ذلك، نحصل على سعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏ تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. لنبدأ بإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏. لحل هذه المسألة، علينا ضرب كل من بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام.

لإيجاد مرافق عدد مركب، نغير إشارة الجزء التخيلي. ومن ثم، يكون مرافق ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏ هو ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏. نضرب كلًا من بسط الكسر ومقامه في هذا العدد. فنحصل في البسط على ‪𝑥‬‏ تربيع، ناقص ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑥𝑦‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة في ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة في ‪𝑖‬‏ تربيع. ونحصل في المقام على ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة في ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة في ‪𝑖‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة تربيع ‪𝑖‬‏ تربيع. يمكننا ملاحظة أن سالب ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة في ‪𝑖‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏ ناقص خمسة في ‪𝑖‬‏ يساوي صفرًا.

وباستخدام حقيقة أن ‪𝑖‬‏ تربيع يساوي سالب واحد ثم فك الأقواس، نحصل على المقدار الموضح. بعد ذلك، نجمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية. يمكننا الآن إيجاد سعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝑖‬‏ على ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦𝑖‬‏ ناقص خمسة ‪𝑖‬‏. إذا اعتبرنا أن ‪𝑎‬‏ هو الجزء الحقيقي من العدد المركب و‪𝑏‬‏ هو الجزء التخيلي الذي يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪10𝑥‬‏ زائد ‪25‬‏، يمكننا القول إن ‪𝑏‬‏ مقسومًا على ‪𝑎‬‏، أي الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي، يجب أن يساوي ‪tan‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة. ما يهمنا عادة هو الربع الذي يقع فيه العدد المركب. لكن بما أن الظل دالة دورية وطول دورتها ‪𝜋‬‏ راديان، فإن جمع أو طرح مضاعفات ‪𝜋‬‏ لقيمة ‪𝜃‬‏ لا يؤثر على قيمة ‪tan 𝜃‬‏. لنفسح بعض المساحة للخطوة التالية.

يمكننا القول إن اثنين ‪𝑥‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑦‬‏ زائد ‪15‬‏ يساوي ‪tan‬‏ اثنين ‪𝜋‬‏ على ثلاثة، وهو ما يساوي سالب جذر ثلاثة. نضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ثمانية ‪𝑦‬‏ زائد ‪15‬‏. يمكننا بعد ذلك التبسيط قليلًا بضرب الطرفين في سالب جذر ثلاثة. نضيف، بعد ذلك، اثنين جذر ثلاثة ‪𝑥‬‏ إلى كلا طرفي هذه المعادلة. علينا الآن إكمال المربع لكل من ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏.

تذكر أننا نريد إيجاد معادلة الدائرة. هذا يساوي ‪𝑥‬‏ زائد جذر ثلاثة الكل تربيع ناقص ثلاثة زائد ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع ناقص ‪16‬‏ زائد ‪15‬‏. سالب ثلاثة ناقص ‪16‬‏ زائد ‪15‬‏ يساوي سالب أربعة. نضيف أربعة إلى طرفي المعادلة. فنحصل على ‪𝑥‬‏ زائد جذر ثلاثة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع يساوي أربعة. يمكننا ملاحظة أن مركز الدائرة يقع عند النقطة ذات الإحداثيين الكارتيزيين سالب جذر ثلاثة وأربعة. علينا وضع قيد على ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للتأكد من أن النقطتين ثلاثة ‪𝑖‬‏ وخمسة ‪𝑖‬‏ لا تقعان على المحل الهندسي نفسه. هذا القيد هو أن يكون ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر. إذن، المعادلة الكارتيزية للمحل الهندسي هي أربعة يساوي ‪𝑥‬‏ زائد جذر ثلاثة الكل تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة الكل تربيع، عندما فقط تكون قيمة ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا استخدام السعات مثلما يمكننا استخدام المقياس لتحديد المحال الهندسية في المستوى المركب. عرفنا أيضًا أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ الذي يحقق المعادلة: سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد تساوي ‪𝜃‬‏، هو نصف خط مستقيم ممتد من النقطة ‪𝑧‬‏ واحد، لكنه لا يتضمنها. ويكون زاوية ‪𝜃‬‏ مع نصف الخط المستقيم الأفقي الذي يمتد من ‪𝑧‬‏ واحد في الاتجاه الموجب لمحور ‪𝑥‬‏.

لاحظنا أيضًا أنه يجب قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ عكس اتجاه عقارب الساعة. وعرفنا كيف أن المحل الهندسي للنقطة ‪𝑧‬‏ الذي يحقق المعادلة: سعة ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ واحد على ‪𝑧‬‏ ناقص ‪𝑧‬‏ اثنين تساوي ‪𝜃‬‏، يشكل قوسًا. عندما تكون ‪𝜃‬‏ أصغر من ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي قوسًا أكبر. وعندما تساوي ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي نصف دائرة. وعندما تكون أكبر من ‪𝜋‬‏ على اثنين، يكون المحل الهندسي قوسًا أصغر. كذلك عرفنا أن نقاط الأطراف لا يمكن أن تكون جزءًا من المحل الهندسي. ويقاس المحل الهندسي عكس اتجاه عقارب الساعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.