فيديو السؤال: إيجاد معادلة كرة بمعلومية إحداثيات مركزها وإحداثيات النقطة التي تمر من خلالها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي مما يلي يمثل معادلة الكرة التي مركزها هو النقطة ثمانية، سالب ١٥، ١٠ وتمر من خلال النقطة سالب ١٤، ١٣، سالب ١٤؟ هل هو الخيار (أ) ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي ١,٨٤٤؟ أم الخيار (ب) ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع ناقص ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع ناقص ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي ١,٨٤٤؟ أم الخيار (ج) ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي ٥٦؟ أم الخيار (د) ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع ناقص ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع ناقص ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي ٥٦؟

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد أي المعادلات الأربعة يمثل معادلة كرة. نعلم أن مركز الكرة هو النقطة ثمانية، سالب ١٥، ١٠. ونعلم أيضًا أن هذه الكرة تمر من خلال النقطة سالب ١٤، ١٣، سالب ١٤. توجد عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا النظر إلى الخيارات المعطاة ومحاولة استبعاد بعض هذه الخيارات. لكن، بالنظر إلى هذه الخيارات، يمكننا ملاحظة أنها مشابهة جدًّا للصورة القياسية لمعادلة الكرة. لذا سنكتفي في الإجابة عن هذا السؤال بإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي مركزها ثمانية، سالب ١٥، ١٠ ويمر من خلال النقطة سالب ١٤، ١٣، سالب ١٤.

نتذكر أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ونصف قطرها نق، ولا بد أن يكون موجبًا، معادلتها هي ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. هذا ما يسمى الصورة القياسية لمعادلة الكرة. يمكن تمثيل جميع الكرات على الصورة القياسية. كل ما علينا معرفته لإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة هو مركزها ونصف قطرها. في هذا السؤال، نعلم بالفعل أن مركز الكرة هو النقطة ثمانية، سالب ١٥، ١٠. وعليه، في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، قيمة ﺃ تساوي ثمانية، وقيمة ﺏ تساوي سالب ١٥، وقيمة ﺟ تساوي ١٠.

يمكننا التعويض بهذه القيم في الصورة القياسية لمعادلة الكرة. هذا يعني أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة المعطاة لنا في السؤال يجب أن تكون على الصورة ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي نق تربيع، حيث نق يساوي نصف قطر الكرة. كل ما علينا إيجاده الآن لإيجاد الصورة القياسية لمعادلة الكرة هو إيجاد قيمة نصف القطر نق. ولإيجاد نصف قطر هذا، علينا أن نتذكر ما نعنيه بنصف قطر الكرة بالضبط.

تذكر، الكرة شكل في ثلاثة أبعاد يمثل جميع النقاط التي تقع على مسافات متساوية من نقطة تسمى المركز. هذه المسافة تسمى نصف قطر الكرة. وبما أننا نعلم أن الكرة المعطاة تمر من خلال النقطة سالب ١٤، ١٣، سالب ١٤ ونعلم إحداثيات مركز الكرة، فإن المسافة بين هاتين النقطتين لا بد أن تساوي نصف قطر الكرة. ومن ثم، يمكننا إيجاد نصف قطر هذه الكرة بإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين.

وللقيام بذلك، نتذكر صيغة إيجاد المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد. المسافة بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد والنقطة ﺱ اثنين، ﺹ اثنين، ﻉ اثنين تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع زائد ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين الكل تربيع. ولا يهم الترتيب عند التعويض عن النقطتين؛ فالمسافة بينهما متساوية.

بالتعويض بالنقطة التي على الكرة وبمركز الكرة في صيغة المسافة بين نقطتين في فضاء ثلاثي الأبعاد، نحصل على أن نصف قطر الكرة يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٤ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ١٣ ناقص سالب ١٥ الكل تربيع زائد سالب ١٤ ناقص ١٠ الكل تربيع. وبتبسيط المقدار الموجود داخل علامة الجذر التربيعي، نجد أن نق يساوي الجذر التربيعي لـ ١,٨٤٤.

والآن يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر من ذلك؛ ومع ذلك، تذكر أننا نحاول إيجاد قيمة نق تربيع للصورة القياسية لمعادلة الكرة. هذا يعني أن علينا تربيع طرفي هذه المعادلة على أي حال. وبذلك نحصل على نق تربيع يساوي ١,٨٤٤. وأخيرًا، يمكننا التعويض بقيمة نق تربيع هذه في الصورة القياسية لمعادلة الكرة.

هذا يعطينا أن الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي مركزها النقطة ثمانية، سالب ١٥، ١٠ وتمر من خلال النقطة سالب ١٤، ١٣، سالب ١٤ هي ﺱ ناقص ثمانية الكل تربيع زائد ﺹ زائد ١٥ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ١٠ الكل تربيع يساوي ١,٨٤٤، وهي ما يمكننا أن نلاحظ أنها موضحة في الإجابة (أ).