فيديو: مقدمة إلى ترميز المتجهات

هذا الفيديو بمثابة شرح تمهيدي لمفهوم المتجهات ونظرة عامة على بعض طرق الترميز البديلة المستخدمة لتمثيل المتجهات.

١٢:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول تعريف المتجهات والترميز المستخدم لتمثيلها.

يختلف هذا قليلًا من بلد لآخر. لذا سنعرض لك طرقًا مختلفة توضح ذلك باستخدام ترميزات مختلفة. وما عليك إلا تحديد الترميز المستخدم في بلدك.

المتجه عبارة عن مجموعة من الأعداد التي يمكن تمثيلها في فضاء مناسب من خلال قطعة مستقيمة ذات طول واتجاه محددين. في هذه الحالة، لدينا متجه في فضاء ثنائي الأبعاد يمثل انتقالًا بمقدار ثلاث وحدات في اتجاه ‪𝑥‬‏، أي أننا نتحرك ثلاث وحدات موجبة على امتداد المحور ‪𝑥‬‏ وبمقدار وحدتين في الاتجاه السالب للمحور ‪𝑦‬‏، أي أننا نتحرك بمقدار سالب اثنين في اتجاه ‪𝑦‬‏. إذن للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، نتحرك ثلاث وحدات في اتجاه ‪𝑥‬‏ وسالب اثنين في اتجاه ‪𝑦‬‏.

يرجع استخدام علماء الفلك للمتجهات إلى عام ‪1700‬‏؛ إذ كانوا يستخدمونها في تسجيل حركة الكواكب وتتبعها في السماء ليلًا. يأتي أصل الكلمة من اللاتينية، وتعني «ناقلًا». إذن يمكنك التفكير في المتجهات باعتبارها الاتجاه الذي تتبعه والمسافة التي يجب التحرك بمقدارها إذا أردت الانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ في خط مستقيم. والآن تخيل أن مجموعة التعليمات هذه يمكن تطبيقها على أي موضع بدء لإعادة تمثيل الحركة النسبية نفسها. إذن في هذه الحالة، قد تحركنا لمسافة معينة في اتجاه ‪𝑥‬‏ دون إحداث تغير في اتجاه ‪𝑦‬‏. ولذا، يمكن تطبيق مجموعة التعليمات نفسها من مواضع بدء وانتهاء مختلفة.

عند رسم متجهات، نستخدم قطعة مستقيمة بطول محدد وسهم حتى نتمكن من رؤية اتجاه الحركة الضمني. في التعريفات، غالبًا ما ستجد أن للمتجهات نقطة بداية ونقطة نهاية. ولكن تذكر أنه يمكنك تحديد متجه ووضعه في أي مكان في الفضاء لتمثيل الحركة النسبية نفسها طالما كنت متأكدًا من أنه بالطول وبالاتجاه نفسهما. في الواقع، ليس بالضرورة أن تكون نقطة البداية ونقطة النهاية ثابتتين. فهما فقط تساعدانك في إيجاد اتجاه التحرك والمسافة التي تتحرك بها. إذن إذا أضفت إحداثيات ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ إلى الشكل، فسأجد أنني كنت أتحرك بمقدار أربعة في اتجاه ‪𝑥‬‏ واثنين في اتجاه ‪𝑦‬‏. المتجه عبارة عن مزيج من هاتين المركبتين، مركبة ‪𝑥‬‏ ومركبة ‪𝑦‬‏.

سنرى الآن ما تعنيه هذه الأعداد كلها، وسنفكر في المتجهات بشكل أعمق قليلًا بعد لحظات. ولكن، دعونا أولًا نطرح السؤال: لماذا علينا استخدام المتجهات في الأساس؟ يمكننا قياس عدة أشياء بمجرد استخدام عدد، وفي بعض الأحيان وحدة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكتلة والمساحة والحجم والطول بعدد وأحيانًا بوحدة. على سبيل المثال، ‪10‬‏ كيلوجرامات و‪12‬‏ سنتيمترًا مربعًا و‪1000‬‏ سنتيمتر مكعب وما إلى ذلك. كل هذا يسمى كميات قياسية. تشمل الكميات المتجهة جانبًا إضافيًا عن الكميات القياسية، وهو الاتجاه. ومن ثم يمكنها، مثلًا، توضيح انتقال بمقدار معين في اتجاه معين. على سبيل المثال، الانتقال من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى النقطة ‪𝐵‬‏. ويمكنها كذلك تمثيل السرعة في اتجاه محدد مثلًا. وبالمثل، يمكن استخدامها لتمثيل العجلة أو القوة المبذولة في اتجاه معين. إذن تعبر الكميات المتجهة عن الحالات التي نحتاج فيها إلى عدد لتمثيل مقدار شيء ما، ولكننا نحتاج أيضًا إلى معرفة الاتجاه الذي يتخذه هذا المقدار.

إذن ما الترميز الذي نستخدمه للمتجهات؟ يمكننا معرفة ذلك بيانيًا، حيث يمكننا استخدام قطعة مستقيمة بطول محدد وموجهة في اتجاه معين. ويمكننا أيضًا استخدام الأحرف والأرقام لتمثيل المتجهات، ولكن هناك عدة طرق مختلفة للترميز حسب البلد الذي تعيش فيه. لنفكر في الفضاء الثنائي الأبعاد، بحيث نبدأ منه ثم يمكن بسهولة توسيع النطاق إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد أو الفضاء ذي الأبعاد الأعلى من ذلك بمجرد إضافة الأعداد.

هناك طريقة تسمى بالصورة الإحداثية. نكتب هنا مقدار الانتقال في اتجاه ‪𝑥‬‏ أولًا، ثم مقدار الانتقال في اتجاه ‪𝑦‬‏ ثانيًا. هناك ثلاث صور مختلفة، وكلها شائعة لسوء الحظ. الصورة الأولى بأقواس زاوية، والثانية على صورة متجه العمود، والثالثة تشبه ترميز الزوج الإحداثي. إذا أردنا تسمية المتجهات، فهناك ترميز شائع ومفيد وهو تسمية المتجه باستخدام نقطة بدايته ونقطة نهايته مع وضع سهم أعلاه للتمييز بين كلتا النقطتين. تكون الأحرف عادة كبيرة ونقطة البداية هي الأولى ونقطة النهاية هي الثانية. ووفقًا للبلد الذي تعيش فيه، ستستخدم إما سهمًا وإما حربة بنصف سهم أعلى المتجه. لننظر الآن إلى هذين الترميزين.

بالنسبة لهذين الترميزين، نكتبهما عادة بدقة، حيث يكون لديك الحرفان ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ مكتوبين بأحرف كبيرة مائلة مع وجود سهم حربة فوقهما. وبالنسبة لترميز متجه العمود، فهو يرتبط عادة بالأحرف الكبيرة غير المائلة مع وجود سهم عادي يوضح الاتجاه من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. آمل أن تعرف النظام المستخدم في منطقتك المحلية من خلال الكتب الدراسية أو المعلم نفسه. لذا، إذا أردنا تمثيل انتقال المتجه من ‪𝐵‬‏ إلى ‪𝐴‬‏، فيمكننا استخدام أي صورة من هذه الصور الموجودة هنا على اليسار. ‏‏‪𝐵𝐴‬‏ يساوي سالب ثلاثة، سالب أربعة؛ لأنه للانتقال من ‪𝐵‬‏ إلى ‪𝐴‬‏، علينا التحرك بمقدار سالب ثلاثة في اتجاه ‪𝑥‬‏ وسالب أربعة في اتجاه ‪𝑦‬‏. إذن، فإن ترتيب الأحرف واتجاه السهم وإشارة الأعداد كلها أمور بالغة الأهمية عند كتابة المتجهات.

ما يزيد الالتباس أننا إذا أردنا تحديد حرف ما لمتجه بدلًا من تعيين نقطة بدايته ونقطة نهايته، يمكننا فعل ذلك أيضًا. ولكن مرة أخرى، هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها. ربما يكون من الصعب نوعًا ما كتابة ذلك لتمثيله على الشاشة. ولكن يمكنك عادة استخدام الخط العريض في هذه الطريقة، ويمكنك استخدام الأحرف الكبيرة أو الصغيرة. لذا إذا أسمينا المتجه بـ ‪𝑣‬‏، فإن ‪𝑣‬‏، سواء كان بخط عريض أو مائل، يساوي ثلاثة، أربعة في هذا الترميز بالتحديد.

وبالنسبة إلى الأشخاص الذين يستخدمون ترميز متجه العمود، فهم يكتبون أيضًا الحرف بخط عريض لتمثيل اسم المتجه. لذا، إذا أردنا تسمية المتجه بـ ‪𝑣‬‏، فسيكون الحرف بخط عريض. ولكن عند كتابته بخط اليد، يمكننا كتابته كحرف ‪𝑣‬‏ عادي، ولكن مع وضع خط أسفله لتوضيح أنه متجه. وهذه مجرد طريقة تساعدك في كتابة المتجهات بالترميز المكتوب بخط اليد.

وبالنسبة إلى الأشخاص الذين يستخدمون ترميز الزوج الإحداثي للمتجهات، فإنهم يكتبون أيضًا الحرف بخط عريض، ولكنهم يضعون سهم حربة صغيرًا فوق الحرف لتمثيل المتجه. أو بدلًا من ذلك، يمكنهم كتابة الحرف بخط مائل مع وضع حربة فوقه لتمثيل المتجه أحيانًا.

يبدو الأمر مربكًا بعض الشيء عند الحديث عنه بهذا الشكل. ولكنك ستعرف من سياق السؤال لديك الترميز المستخدم وأنه يمثل المتجهات. فلنلق نظرة إذن على مثالين عن المتجهات.

إذن بالنسبة إلى المتجه ‪𝐴𝐵‬‏، نتحرك بمقدار خمسة في اتجاه ‪𝑥‬‏ للانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ وبمقدار موجب ثلاثة في اتجاه ‪𝑦‬‏، إذن يتم تحديد المتجه على أنه خمسة، ثلاثة. إذن لدينا هنا الطرق الثلاث المختلفة للتعبير عن الانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. في جميع الحالات، نضيف خمسة إلى إحداثي ‪𝑥‬‏ لدينا عند النقطة ‪𝐴‬‏ للانتقال إلى الإحداثي ‪𝑥‬‏ عند النقطة ‪𝐵‬‏. كما نضيف ثلاثة إلى إحداثي ‪𝑦‬‏ لدينا عند ‪𝐴‬‏ للانتقال إلى إحداثي ‪𝑦‬‏ عند النقطة ‪𝐵‬‏. إذن الانتقال هو خمسة، ثلاثة.

والآن، لنفكر في المتجه في الاتجاه المعاكس من ‪𝐵‬‏ إلى ‪𝐴‬‏. كيف يبدو ذلك؟ هذه المرة، ننتقل بمقدار سالب خمسة في اتجاه ‪𝑥‬‏ وسالب ثلاثة في اتجاه ‪𝑦‬‏. ننتقل إلى اليسار ولأسفل. إذن نكتب ذلك بالصورة ‪𝐵𝐴‬‏ يساوي سالب خمسة، سالب ثلاثة بأي صورة تختارها من هذه الصور. ولأن كل مركبة للمتجه ‪𝐵𝐴‬‏ تساوي سالب المركبة المناظرة لدينا في المتجه ‪𝐴𝐵‬‏، يمكننا القول إن ‪𝐵𝐴‬‏ يساوي سالب ‪𝐴𝐵‬‏ أو ‪𝐵𝐴‬‏ يساوي سالب ‪𝐴𝐵‬‏ في هذه الصورة. إذن ما نراه هو سالب المتجه، حيث نتحرك بالمسافة نفسها بالضبط ولكن في الاتجاه المعاكس.

تذكر أن لدينا أيضًا خيار تسمية المتجه باستخدام حرف واحد. إذن يمكن أن يكون لدينا حرف ‪𝑢‬‏ بالخط العريض، أو حرف ‪𝑢‬‏ بخط أسفله، أو حرف ‪𝑢‬‏ بخط عريض وسهم حربة صغير فوقه. إذن بدلًا من استخدام هذا الترميز، يمكننا استخدام الحروف منفردة. فذلك كله يعني الشيء نفسه وكلها أمور من المحتمل أن تواجهها في الأسئلة عند التفكير في المتجهات.

في هذا المثال، يتضمن الانتقال من ‪𝐶‬‏ إلى ‪𝐷‬‏ إضافة ستة إلى إحداثي ‪𝑥‬‏ وطرح أربعة من إحداثي ‪𝑦‬‏ للانتقال من إحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة ‪𝐶‬‏ إلى إحداثي ‪𝑦‬‏ للنقطة ‪𝐷‬‏. إليك إذن الترميزات الثلاثة: أقواس الزاوية، ومتجهات العمود، وما يشبه ترميز الزوج الإحداثي ستة، سالب أربعة، بالإضافة إلى الطرق المختلفة لكتابة ‪𝐶𝐷‬‏ بأسهم مختلفة أو أسهم حربة فوقه. بدلًا من ذلك، يمكننا تسمية ‪𝐶𝐷‬‏ بحرف خاص به؛ إما ‪𝑣‬‏ بخط عريض، أو ‪𝑣‬‏ بخط أسفله، أو ‪𝑣‬‏ بخط عريض وحربة فوقه. ويمكننا كذلك استبدال ‪𝐶𝐷‬‏ بهذه الأحرف. إذن، يمكن استخدام حرف ‪𝑣‬‏ المكتوب بخط عريض بجميع حالاته. ففي بعض الأحيان، يمكنك كتابة ‪𝑣‬‏ بخط غير عريض مع وضع خط تحته، وتحتاج في أحيان أخرى إلى كتابة حرف ‪𝑣‬‏ بخط عريض وحربة صغيرة فوقه.

إذن يمكننا الآن تمثيل المتجهات بعدة طرق. لنفكر أيضًا في ضرب المتجهات في كمية قياسية. يمثل المتجه ‪𝑤‬‏ الانتقال ثلاثة أو موجب ثلاثة في اتجاه ‪𝑥‬‏، وسالب اثنين في اتجاه ‪𝑦‬‏. اثنان ‪𝑤‬‏ هو ببساطة الانتقال مرتين في كل اتجاه. إذن يمكنك تخيل ذلك بالصورة اثنين ‪𝑤‬‏ موضوعين طرفًا لآخر، أي واحدًا تلو الآخر. كل ما فعلناه، لأن لدينا اثنين ‪𝑤‬‏، هو مضاعفة مركبة ‪𝑥‬‏ ومركبة ‪𝑦‬‏. وهذا يساوي ستة، سالب أربعة في كل صورة. ثلاثة ‪𝑤‬‏ يساوي ثلاث نسخ من المتجه موضوعة من طرف لآخر. إذن هذا يساوي تسعة، سالب ستة.

مرة أخرى، مع سالب ‪𝑤‬‏، نوجد سالب كل مركبة. سالب الثلاثة يساوي سالب ثلاثة وسالب سالب اثنين يساوي موجب اثنين. بذلك، يكون لدينا في الصورة الإحداثية سالب ‪𝑤‬‏ يساوي سالب ثلاثة، اثنين.

ولتلخيص ذلك، فإن للمتجهات طولًا واتجاهًا. تمثل المتجهات الانتقال من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏. ولكل متجه مركبة ‪𝑥‬‏ ومركبة ‪𝑦‬‏. استعرضنا عدة صور مختلفة يمكنك استخدامها، حسب البلد الذي تعيش فيه، لتمثيل هذه المركبات. ولدينا خيارات للترميز؛ إما باستخدام نقطة البداية ونقطة النهاية لتسمية المتجه، وإما باستخدام حرف فقط لتمثيل متجه باتجاه معين. كما عرفنا كذلك أن الاتجاه مهم. على سبيل المثال، المتجه ‪𝐵𝐴‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝐴𝐵‬‏. ويكون مقدار المتجه هو نفسه ولكنه يشير في الاتجاه المعاكس. وعرفنا أيضًا أنه عند ضرب المتجه في اثنين أو ثلاثة أو أي عدد آخر، فإننا ببساطة نضرب مركبتي المتجه كل على حدة في هذا العدد. إذن المتجه اثنان ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي اثنين في مركبة ‪𝑥‬‏، واثنين في مركبة ‪𝑦‬‏.

آمل بعد هذه المقدمة السريعة حول المتجهات أن تكون الآن على دراية بالترميزات المختلفة للمتجهات وبما تعنيه المتجهات وفيما نستخدمها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.