فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين جرمين سماويين بمعلومية كتلتيهما وقوة الجاذبية بينهما الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

تيتان هو أكبر أقمار زحل. كتلة تيتان 1.35 في 10 أس 23 كيلوجرام. كتلة زحل 5.68 في 10 أس 26 كيلوجرام. إذا كان مقدار قوة الجاذبية بين تيتان وزحل 3.43 في 10 أس 21 نيوتن، فما المسافة بين مركزي كتلتي زحل وتيتان؟ استخدم القيمة 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا السؤال مطلوب منا إيجاد المسافة بين مركزي كتلتي زحل وأكبر أقماره تيتان. نعرف من المعطيات أن كتلة تيتان تساوي 1.35 في 10 أس 23 كيلوجرام. دعونا نتخيل أن هذه النقطة الوردية هنا هي تيتان. وسنرمز لكتلة تيتان بالرمز ‪𝑚T‬‏. نعرف أيضًا من المعطيات أن كتلة زحل تساوي 5.68 في 10 أس 26 كيلوجرام. لنفترض أن زحل تمثله هذه النقطة البرتقالية الموجودة هنا. وسنرمز لكتلة زحل بالرمز ‪𝑚S‬‏.

نعرف من المعطيات أن مقدار قوة الجاذبية بين زحل وتيتان يساوي 3.43 في 10 أس 21 نيوتن. سنرمز لهذه القوة بالرمز ‪𝐹ST‬‏، للإشارة إلى قوة الجاذبية بين زحل وتيتان. المعطى الأخير في السؤال هو أن علينا استخدام القيمة 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة لثابت الجذب العام. سنرمز إلى هذه القيمة برمزها المعتاد، وهو حرف ‪𝐺‬‏ الكبير. لنرمز إلى القيمة التي نحاول إيجادها، وهي المسافة بين مركزي كتلتي زحل وتيتان، بالرمز ‪𝑟ST‬‏.

بما أننا نتحدث عن قوة الجاذبية بين زحل وتيتان، إذن سيكون قانون الجاذبية لنيوتن مفيدًا في هذه الحالة. ينص هذا القانون على أن قوة الجاذبية بين جسمين، وسنسميها ‪𝐹‬‏، تساوي ثابت الجذب العام، ‪𝐺‬‏، مضروبًا في كتلتي الجسمين، وسنسميهما ‪𝑚‬‏ واحدًا و‪𝑚‬‏ اثنين، مقسومًا على مربع المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين، وسنسميها ‪𝑟‬‏.

في الحالة التي لدينا، نعرف مقدار قوة الجاذبية ونعرف كتلة كلا الجسمين. ما نحاول إيجاده هو قيمة المسافة بين مركزي كتلتيهما. لذا دعونا نعد ترتيب هذه المعادلة لجعل المسافة ‪𝑟‬‏ في طرف بمفردها. سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في ‪𝑟‬‏ تربيع. بعد ذلك، في الطرف الأيمن، يحذف ‪𝑟‬‏ تربيع من البسط مع ‪𝑟‬‏ تربيع من المقام. وبعد ذلك، نقسم كلا الطرفين على ‪𝐹‬‏؛ بحيث يحذف الرمزان ‪𝐹‬‏ من البسط والمقام معًا في الطرف الأيسر.

أخيرًا، سنأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. وبذلك نحصل على معادلة تنص على أن المسافة بين مركزي كتلتي الجسمين تساوي الجذر التربيعي لثابت الجذب العام في كتلتي الجسمين مقسومًا على مقدار قوة الجاذبية بين هذين الجسمين.

في الحالة التي لدينا، الجسمان المذكوران في السؤال هما كوكب زحل وقمره الأكبر تيتان. وعليه، فإن المسافة ‪𝑟ST‬‏ بين مركزي كتلتي زحل وتيتان تساوي الجذر التربيعي لثابت الجذب العام في كتلة زحل في كتلة تيتان، مقسومًا على مقدار قوة الجاذبية بين زحل وتيتان.

علينا الآن التعويض بهذه القيم في هذه المعادلة لحساب هذه المسافة ‪𝑟ST‬‏. عندما نفعل ذلك، نحصل على هذه المعادلة هنا، التي تنص على أن المسافة ‪𝑟ST‬‏ تساوي الجذر التربيعي لـ 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة، وهي قيمة ثابت الجذب العام ‪𝐺‬‏، في 5.68 في 10 أس 26 كيلوجرام، وهي كتلة زحل، في 1.35 في 10 أس 23 كيلوجرام، وهي كتلة تيتان، على 3.43 في 10 أس 21 نيوتن، وهي قوة الجاذبية بين زحل وتيتان.

بحساب ناتج ضرب القيم الموجودة في بسط هذا الكسر، نحصل على 5.114556 في 10 أس 39 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة. في المقام، سنستخدم حقيقة أن وحدة نيوتن تكافئ وحدة كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة لإعادة كتابة وحدة القوة على الصورة: كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة. وهذا سيسهل تبسيط الوحدات بين بسط هذا الكسر ومقامه.

عندما نجري عملية القسمة هذه تحت الجذر التربيعي، نحصل على الناتج 1.4911 في 10 أس 18 ؛ حيث استخدمنا النقاط للإشارة إلى وجود منازل عشرية أخرى. بالنسبة إلى الوحدات، لدينا كيلوجرام في البسط يحذف مع الكيلوجرام الموجود في المقام. ولدينا كذلك واحد على ثانية مربعة في البسط يحذف مع واحد على ثانية مربعة في المقام. ومن ثم، يتبقى لدينا متر مكعب مقسوم على متر، وهو ما يعطينا وحدة المتر المربع. بأخذ الجذر التربيعي، نجد أن المسافة ‪𝑟ST‬‏ تساوي 1.2211 في 10 أس تسعة متر، ومرة أخرى تشير النقاط إلى وجود منازل عشرية أخرى.

بالرجوع إلى السؤال، نجد أن المطلوب منا هو تقريب الإجابة بالصيغة العلمية إلى أقرب منزلتين عشريتين. هذا الناتج مكتوب بالفعل بالصيغة العلمية. وليس علينا سوى تقريبه لأقرب منزلتين عشريتين. عندما نفعل ذلك، نحصل على الإجابة النهائية للسؤال، وهي أن المسافة بين مركزي كتلتي زحل وتيتان تساوي 1.22 في 10 أس تسعة متر.