تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: استخدام خاصيَّتَي الإبدال والدمج لتبسيط المقادير الجبرية

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم المقادير المتكافئة، ومفهوم الحدود المتشابهة، وخاصيتَي الإبدال والدمج، وتبسيط المقادير الجبرية باستخدام خاصيتَي الإبدال والدمج، وباستخدام النماذج، مع أمثلة توضيحية.

١٤:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن استخدام خاصيتي الإبدال والدمج لتبسيط المقادير الجبرية. في الفيديو ده هنعرف إيه المقصود بالمقادير المتكافئة، وكمان هنعرف خاصية الإبدال وخاصية الدمج وإزاي نستخدمهم في تبسيط المقادير الجبرية، وكمان هنعرف إزاي نستخدم النماذج علشان نبسّط المقادير الجبرية. بالنسبة للمقادير المتكافئة، هي عبارة عن المقادير اللي ليها نفس القيمة؛ فمثلًا المقدار أربعين زائد تلاتين زائد خمسين هنلاقي أربعين زائد تلاتين داخل أقواس فهنعمل العملية دي الأول، أربعين زائد تلاتين يساوي سبعين؛ معنى كده إن المقدار بيساوي سبعين زائد خمسين يعني يساوي مية وعشرين. أما المقدار أربعين زائد تلاتين زائد خمسين فهنلاقي إن تلاتين زائد خمسين هي اللي داخل الأقواس، وتلاتين زائد خمسين يساوي تمانين معنى كده إن المقدار بيساوي أربعين زائد تمانين يعني يساوي مية وعشرين. أما المقدار أربعين زائد خمسين زائد تلاتين، فهنلاقي إن خمسين زائد تلاتين هي اللي داخل الأقواس، ولو قارنّا بين المقدار ده والمقدار اللي فوقيه هنلاقي إن حصل تبديل في أماكن العددين تلاتين وخمسين اللي هما داخل الأقواس، وقيمة المقدار أربعين زائد خمسين زائد تلاتين عندنا خمسين زائد تلاتين هي اللي داخل الأقواس، وخمسين زائد تلاتين بتساوي تمانين فهيبقى المقدار بيساوي أربعين زائد تمانين؛ يعني يساوي مية وعشرين.

هنلاحظ إن التلات مقادير اللي عندنا ليهم نفس القيمة؛ وبالتالي المقادير دي مقادير متكافئة. هنلاحظ إن ناتج الجمع واللي هو مية وعشرين ماتغيرش، سواء باختلاف الترتيب اللي بنجمع بيه الأعداد أو باختلاف الطريقة اللي جمّعنا بيها الأعداد داخل الأقواس، معنى كده إن المقادير المتكافئة اللي عندنا بتوضّح لنا خاصيتي الإبدال والدمج؛ فخاصية الإبدال بتوضّح إن الترتيب اللي بنجمع بيه الأعداد أو بنضربها مش هيغيّر ناتج الجمع أو حاصل الضرب، زي مثلًا اتنين زائد أربعة يساوي أربعة زائد اتنين، اتنين زائد أربعة تساوي ستة، وأربعة زائد اتنين تساوي ستة، هنلاحظ إن إحنا غيّرنا الترتيب اللي جمعنا بيه العددين اتنين وأربعة، لكن ناتج الجمع ماتغيرش، نفس الكلام لو استخدمنا رموز، فمثلًا أ زائد ب يساوي ب زائد أ، وهي دي خاصية الإبدال بالنسبة لعملية الجمع.

أما بالنسبة للضرب فهنلاقي اتنين في أربعة يساوي أربعة في اتنين؛ وده لأن اتنين في أربعة يساوي تمنية، وأربعة في اتنين يساوي تمنية. هنلاحظ إن الترتيب اللي ضربنا بيه العددين اتنين وأربعة اتغير لكن حاصل الضرب ماتغيرش، ولو هنستخدم الرموز فهيبقى أ في ب يساوي ب في أ. هي دي خاصية الإبدال بالنسبة لعملية الضرب.

بكده إحنا عرفنا إن خاصية الإبدال بتوضح إن الترتيب اللي بنجمع بيه الأعداد أو بنضربها مش هيغيّر ناتج الجمع أو حاصل الضرب.

أما خاصية الدمج بتوضح إن الطريقة اللي بيتم بيها تجميع الأعداد؛ يعني بنخليها داخل أقواس لما بنجمعها أو بنضربها مش هيغيّر ناتج الجمع أو حاصل الضرب، فمثلًا القوس اتنين زائد أربعة زائد ستة يساوي اتنين زائد القوس أربعة زائد ستة، فالبنسبة للطرف الأيمن اتنين زائد أربعة يساوي ستة وستة زائد ستة يساوي اتناشر، أما الطرف الأيسر أربعة زائد ستة يساوي عشرة واتنين زائد عشرة يساوي اتناشر، هنلاقي فعلًا إن ناتج الجمع ماتغيرش، على الرغم إن إحنا في الطرف الأيمن جمّعنا العددين اتنين وأربعة مع بعض داخل الأقواس، أما في الطرف الأيسر فجمّعنا العددين أربعة وستة، بنفس الطريقة لو استخدمنا الرموز هيبقى القوس أ زائد ب زائد ﺟ يساوي أ زائد القوس ب زائد ﺟ، ده كان بالنسبة لعملية الجمع أما بالنسبة لعملية الضرب، أما عملية الضرب فهيبقى القوس اتنين في أربعة في ستة يساوي اتنين في القوس أربعة في ستة هنلاحظ إن إحنا في الطرف الأيمن جمّعنا اتنين في أربعة داخل الأقواس، أما في الطرف الأيسر جمعنا أربعة في ستة داخل الأقواس، فالبنسبة للقيمة بتاعت الطرف الأيمن فإحنا هنوجد الأول اتنين في أربعة؛ لأنها داخل الأقواس اتنين في أربعة يساوي تمنية، بالتالي الطرف الأيمن هيبقى عبارة عن تمنية في ستة يعني يساوي تمنية وأربعين. وبالنسبة للطرف الأيسر فإحنا هنوجد الأول أربعة في ستة؛ وده لأنها داخل الأقواس، أربعة في ستة يساوي أربعة وعشرين؛ وبالتالي الطرف الأيسر يساوي اتنين في أربعة وعشرين يعني يساوي تمنية وأربعين. هنلاحظ إن قيمة حاصل الضرب ماتغيرتش، على الرغم من اختلاف الطريقة اللي جمّعنا بيها الأعداد وإحنا بنضربها، بنفس الطريقة لو استخدمنا الرموز هيبقى القوس أ في ب في ﺟ يساوي أ في القوس ب في ﺟ. بكده يبقى إحنا عرفنا خاصية الدمج.

بالنسبة لخاصيتي الإبدال والدمج فإحنا بنستخدمهم علشان نبسّط المقادير الجبرية، هنشوف مثال نوضح بيه. عندنا في المثال عايزين نبسّط المقدار تلاتة زائد القوس خمسة زائد س، في المقدار اللي عندنا هنلاقي خمسة زائد س هي اللي داخل الأقواس، وماينفعش نجمع خمسة زائد س، لكن نقدر نجمع تلاتة زائد خمسة، فهنستخدم خاصية الدمج وهنخلي تلاتة زائد خمسة هي اللي داخل الأقواس؛ بالتالي هيبقى المقدار تلاتة زائد القوس خمسة زائد س يساوي القوس تلاتة زائد خمسة زائد س وهي دي خاصية الدمج. بعد كده هنجمع تلاتة زائد خمسة وتلاتة زائد خمسة يساوي تمنية، معنى كده إن المقدار بيساوي تمنية زائد س.

هنشوف مثال كمان، عندنا في المثال عايزين نبسّط المقدار القوس أربعتاشر زائد س زائد اتنين وعشرين. أول حاجة هنعملها إن إحنا نستخدم خاصية الإبدال، وخاصية الإبدال دي بتوضح إن الترتيب اللي بنجمّع بيه الأعداد أو بنضربها مش هيغير ناتج الجمع أو حاصل الضرب؛ معنى كده إن القوس أربعتاشر زائد س يساوي القوس س زائد أربعتاشر؛ بالتالي هيبقى القوس أربعتاشر زائد س زائد اتنين وعشرين، يساوي القوس س زائد أربعتاشر زائد اتنين وعشرين. وهي دي خاصية الإبدال. بعد كده مش هينفع نجمع س زائد أربعتاشر لكن ينفع نجمع أربعتاشر زائد اتنين وعشرين؛ وبالتالي هنستخدم خاصية الدمج علشان نخلي أربعتاشر زائد اتنين وعشرين داخل الأقواس؛ معنى كده إن المقدار هيساوي س زائد القوس أربعتاشر زائد اتنين وعشرين، وهي دي خاصية الدمج. كده نقدر نجمع أربعتاشر زائد اتنين وعشرين، فلما هنجمع هنلاقي المقدار يساوي س زائد ستة وتلاتين. بالنسبة للإجابة اللي عندنا واللي هي س زائد ستة وتلاتين فإحنا نقدر نكتبها على الشكل ستة وتلاتين زائد س، من خلال استخدام خاصية الإبدال اللي بتوضح إن المقدارين س زائد ستة وتلاتين وستة وتلاتين زائد س مقدارين متكافئين.

بعد كده هنشوف مثال كمان، عندنا في المثال عايزين نبسّط المقدار أربعة القوس ستة س. بالنسبة للمقدار اللي عندنا فالأقواس بتشير إلى عملية الضرب؛ يعني أربعة القوس ستة س معناها أربعة في ستة س، وستة س دي معناها ستة في س، بالتالي هيبقى أربعة القوس ستة س يساوي أربعة في القوس ستة في س، هنلاحظ إن إحنا عندنا ستة في س موجودة داخل الأقواس وإحنا نقدر نضرب أربعة في ستة، فهنخلي أربعة في ستة هي اللي داخل الأقواس باستخدام خاصية الدمج، معنى كده أربعة القوس ستة س يساوي القوس أربعة في ستة في س، وهي دي خاصية الدمج. بعد كده هنضرب أربعة في ستة، أربعة في ستة يساوي أربعة وعشرين معنى كده إن المقدار أربعة القوس ستة س يساوي أربعة وعشرين في س؛ يعني يساوي أربعة وعشرين س.

كده إحنا استخدمنا خاصيتي الإبدال والدمج علشان نبسط المقادير الجبرية. بعد كده هنشوف إزاي نستخدم النماذج المختلفة علشان نبسّط المقادير الجبرية، بس في الأول هنعرف يعني إيه حدود متشابهة.

الحدود المتشابهة هي الحدود اللي بتحتوي على نفس المتغيرات، زي مثلًا س واتنين س وتلاتة س وأربعة س هنلاحظ إن الحدود دي بتحتوي على نفس المتغير اللي هو س، وبالتالي هي حدود متشابهة. والحدود المتشابهة دي علشان نمثّلها بنماذج فإحنا بنمثلها بنماذج متشابهة؛ يعني نماذج بيكون ليها نفس الشكل، هنشوف مثال نوضح بيه أكتر. عندنا في المثال عايزين نبسّط المقدار اتنين س زائد أربعة زائد تلاتة س، هنبسط المقدار ده باستخدام النماذج، فبالنسبة لـ س فهنمثل كل س بمستطيل متلوّن باللون الأزرق ومكتوب جواه س، فـ اتنين س هنمثلها بالشكل اللي هيظهر لنا أما بالنسبة لـ أربعة فهنمثلها بأربع مربعات متلونة باللون الأصفر مكتوب جوة كل مربع واحد؛ معنى كده إن كل مربع هيمثل العدد واحد. بعد كده هنمثل تلاتة س بتلات مستطيلات متلونة باللون الأزرق مكتوب جوة كل مستطيل س، هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا إن اتنين س وتلاتة س حدود متشابهة؛ وده لأنهم متمثلين بنماذج ليها نفس الشكل، بكده في الشكل اللي عندنا هنلاقي خمس مستطيلات متلوّنة باللون الأزرق ومكتوب جوة كل مستطيل س، وأربع مربعات متلونة باللون الأصفر مكتوب جوة كل مربع واحد، بالتالي المقدار اتنين س زائد أربعة زائد تلاتة س يساوي خمسة س زائد أربعة. بكده يبقى إحنا عرفنا إزاى نستخدم النماذج علشان نبسط المقادير الجبرية، فيه عندنا ملحوظة وهي إن المقدار خمسة س زائد أربعة لا يكافئ المقدار تسعة س. وده لأن المقدار تسعة س هيتمثل بتسع مستطيلات متلونة باللون الأزرق مكتوب جوه كل مستطيل س، أما المقدار خمسة س زائد أربعة فهيتمثل بخمس مستطيلات متلوّنة باللون الأزرق، وجوة كل مستطيل س وأربع مربعات متلوّنة باللون الأصفر وجوة كل مربع واحد.

بعد كده هنشوف مثال على كتابة المقادير الجبرية وتبسيطها، عندنا في المثال إن فيه تلات أصدقاء هيروحوا متحف علشان يشوفوا عرض مومياء مصرية جديدة، فإذا كان رسم دخول المتحف للفرد هو س جنيه، ولمشاهدة عرض المومياء بيتم إضافة تلات جنيهات للفرد الواحد، وفيه صديق رابع ليهم هيروح المتحف لكن مش هيشاهد عرض المومياء، مطلوب إننا نكتب ونبسط المقدار اللي بيمثّل التكلفة الإجمالية للأصدقاء الأربعة. أول حاجة هنحدّد تكلِفة دخول المتحف ومشاهدة عرض المومياء للفرد الواحد، ومن خلال المعطيات هنلاقي إن رسم دخول المتحف للفرد الواحد هو س جنيه، وبيتم إضافة تلات جنيهات لو هيشاهد عرض المومياء؛ معنى كده إن تكلفة الدخول للمتحف ومشاهدة عرض المومياء للفرد الواحد نقدر نمثلها بالمقدار س زائد تلاتة، وبما إن فيه تلات أصدقاء هيدخلوا المتحف ويشاهدوا عرض المومياء، أما الصديق الرابع فهيدخل المتحف بس؛ بالتالي التكلفة الإجمالية هنقدر نمثّلها بالمقدار تلاتة في القوس س زائد تلاتة زائد س. بالنسبة لـ تلاتة في القوس س زائد تلاتة، هيمثل تكلفة الدخول ومشاهدة عرض المومياء لتلات أصدقاء، أما س فهتمثل تكلفة الدخول لصديقهم الرابع. كدا إحنا كتبنا المقدار المكتوب بعد كده هنبسّطه، فبالنسبة للمقدار اللي عندنا هنلاقي تلاتة مضروبة في القوس س زائد تلاتة، فهنستخدم خاصية التوزيع، فهنضرب التلاتة في الـ س وكمان هنضرب التلاتة في التلاتة، بالتالي المقدار هيساوي تلاتة س زائد تسعة زائد س، بعد كده هنستخدم خاصية الإبدال للعدد تسعة والمتغير س؛ فهنلاقي المقدار يساوي تلاتة س زائد س زائد تسعة، وهي دي خاصية الإبدال.

بعد كده هنستخدم النماذج علشان نمثّل المقدار اللي عندنا ونحدد الحدود المتشابهة، فهنمثّل المتغير س بمستطيل أزرق مكتوب جواه س، بالتالي هنمثل المقدار اللي عندنا بالشكل اللي هيظهر لنا، من خلال الشكل اللي عندها هنلاقي فيه تلات مستطيلات متلوّنة باللون الأزرق مكتوب جوة كل مستطيل س، بيمثلوا تلاتة س وكمان فيه مستطيل متلوّن باللون الأزرق مكتوب جواه س بيمثل س، وفيه تسع مربعات متلوّنة باللون الأصفر مكتوب جوة كل مربع واحد بيمثلوا تسعة. ومن خلال الشكل اللي عندنا هنلاقي تلاتة س وس حدين متشابهين؛ وده لأن إحنا مثّلناهم بنماذج ليها نفس الشكل، وبما إن عندنا أربع مستطيلات متلوّنة باللون الأزرق مكتوب جوة كل مستطيل س وتسع مربعات متلوّنة باللون الأصفر مكتوب جوة كل مربع واحد، فهيبقى المقدار تلاتة في القوس س زائد تلاتة زائد س يساوي أربعة س زائد تسعة، معنى كده إن التكلفة الإجمالية للأصدقاء الأربعة هي أربعة س زائد تسعة جنيهًا.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا إن المقادير المتكافئة هي مقادير ليها نفس القيمة، ومن خلال المقادير المتكافئة دي عرفنا خاصيتي الإبدال والدمج، وخاصية الإبدال بتوضح إن الترتيب اللي بنجمع بيه الأعداد أو نضربها مش هيغير ناتج الجمع أو حاصل الضرب، أما خاصية الدمج فبتوضح إن الطريقة اللي بنجمّع بها الأعداد، بين قوسين يعني، لما بنجمعها أو نضربها مش هتغير ناتج الجمع أو حاصل الضرب، بعد كده استخدمنا خاصيتي الإبدال والدمج علشان نبسط المقادير الجبرية، وكمان عرفنا إن الحدود المتشابهة هي حدود بتحتوي على نفس المتغيرات ولما بنمثلها بنماذج، بنمثلها بنماذج متشابهة يعني بتكون نماذج ليها نفس الشكل، وبعد كده عرفنا إزاي نستخدم النماذج علشان نبسّط المقادير الجبرية.