فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الحادي عشر

امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الحادي عشر

٠٦:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

باستخدام معكوس المصفوفة، حلّ نظام المعادلات الخطية الآتي: اثنان س ناقص ثلاثة ص ناقص ع يساوي تسعة. س زائد اثنين ص زائد ثلاثة ع يساوي خمسة عشر. س ناقص اثنين ع يساوي اثنا عشر.

أول حاجة نكتب نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية في الصورة: أ س يساوي ب. حيث أ هي مصفوفة المعامِلات، وَ س هي مصفوفة المتغيّرات، وَ ب هي مصفوفة الثوابت.

وعشان نوجد حلّ المعادلة المصفوفية، محتاجين نوجد قيم عناصر مصفوفة المتغيّرات س. فهنوجدها باستخدام الصيغة: س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب. وبالتالي محتاجين نوجد معكوس المصفوفة أ. فهنحدّد المصفوفة أ عشان نوجد معكوسها. وده بأننا هنعيد كتابة المعادلات بحيث إنها تحتوي على: س، وَ ص، وَ ع؛ بالترتيب. فالمعادلات هتبقى بالصورة دي.

وبالتالي نقدر نستنتج إن مصفوفة المعامِلات أ هتساوي معامِل س في المعادلة الأولى، اللي هو اتنين. ومعامِل ص في المعادلة الأولى، اللي هو سالب تلاتة. بعد كده معامِل ع في المعادلة الأولى، اللي هو سالب واحد. وبنفس الطريقة مع باقي المعادلات.

أمّا مصفوفة المتغيّرات س فعناصرها هتبقى: س، وَ ص، وَ ع؛ اللي هي المتغيّرات الموجودة في نظام المعادلات. ومصفوفة الثوابت ب هتساوي القيم الثابتة في الطرف الأيسر من المعادلات بالترتيب؛ اللي هي: تسعة، وخمستاشر، واتناشر.

بعد كده نوجد معكوس المصفوفة أ. وبما إن مش كل المصفوفات بيكون ليها معكوس، يبقى محتاجين في الأول نوجد محدّد المصفوفة أ. فإذا كان لا يساوي الصفر، يبقى المصفوفة ليها معكوس.

وعشان نوجد محدّد المصفوفة أ، بنضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول في محدّد مصفوفة العوامل المرافقة ليه. فبالنسبة لاتنين هتبقى عناصر مصفوفة العوامل المرافقة ليه؛ هي: اتنين، وتلاتة، وصفر، وسالب اتنين. وبالنسبة لسالب تلاتة؛ هتبقى: واحد، وتلاتة، وواحد، وسالب اتنين. وبالنسبة لسالب واحد؛ هتبقى: واحد، واتنين، وواحد، وصفر. وما ننساش نضرب سالب تلاتة في سالب واحد.

ده هيساوي اتنين في؛ اتنين في سالب اتنين، ناقص تلاتة في صفر. زائد تلاتة في؛ واحد في سالب اتنين، ناقص تلاتة في واحد. ناقص واحد في صفر، ناقص اتنين في واحد. وده هيساوي سالب تمنية ناقص خمستاشر زائد اتنين، اللي هيساوي سالب واحد وعشرين. وسالب واحد وعشرين لا يساوي الصفر، وبالتالي المصفوفة ليها معكوس.

عشان نوجد معكوس المصفوفة، بنستخدم العلاقة: معكوس المصفوفة أ بيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ، مضروب في المصفوفة الملحقة. المصفوفة الملحقة بتساوي مدوّر مصفوفة المرافقات. ومصفوفة المرافقات بتتكوّن من محدّدات مصفوفات العوامل المقابلة لكل عنصر من عناصر المصفوفة؛ مضروبة في سالب واحد أُسّ، رقم الصف زائد رقم العمود.

فمصفوفة المرافقات في الحالة دي هتبقى … بالنسبة للعنصر الأول سالب واحد أُسّ، واحد زائد واحد؛ يعني سالب واحد أُسّ اتنين. وده بيساوي واحد. وواحد مضروب في المحدّد بيساوي المحدّد.

بعد كده العنصر أ اتنين اتنين هيساوي بالنظر لمصفوفة المعامِلات اتنين. وَ أ اتنين تلاتة هيساوي تلاتة. وَ أ تلاتة اتنين هيساوي صفر. وَ أ تلاتة تلاتة هيساوي سالب اتنين. وبنفس الطريقة مع باقي عناصر المصفوفة. وبعد إجراء العمليات المصفوفة هتبقى بالصورة دي.

بعد كده نوجد المصفوفة الملحقة اللي بتساوي مدوّر مصفوفة المرافقات. يعني هنبدّل الصفوف مع الأعمدة. فالمصفوفة هتبقى بالصورة دي.

بعد كده هنعوّض عن محدّد المصفوفة أ والمصفوفة الملحقة في علاقة معكوس المصفوفة. فهيبقى معكوس المصفوفة أ بيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ اللي بيساوي سالب واحد وعشرين، مضروب في المصفوفة الملحقة.

وبالتعويض بمعكوس المصفوفة أ في العلاقة: س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب. هتبقى المصفوفة س ص ع بتساوي سالب واحد على واحد وعشرين. مضروب في المصفوفة: سالب أربعة، سالب ستة، سالب سبعة؛ خمسة، سالب تلاتة، سالب سبعة؛ سالب اتنين، سالب تلاتة، سبعة. مضروب في المصفوفة: تسعة؛ خمستاشر؛ اتناشر.

وبضرب المصفوفتين ده هيساوي سالب واحد على واحد وعشرين، مضروب في المصفوفة: سالب ميتين وعشرة؛ سالب أربعة وتمانين؛ واحد وعشرين. اللي هيساوي المصفوفة: عشرة؛ أربعة؛ سالب واحد. ده معناه إن س بتساوي عشرة، وَ ص بتساوي أربعة، وَ ع بتساوي سالب واحد.

وبكده نبقى أوجدنا حلّ نظام المعادلات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.